（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 考點(diǎn)規(guī)范練5 函數(shù)的奇偶性與周期性

考點(diǎn)規(guī)范練5函數(shù)的奇偶性與周期性基礎(chǔ)鞏固組1.(2018余姚中學(xué)高三教學(xué)質(zhì)量檢測)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中一定正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案C解析由f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,|g(-x)|=|g(x)|,|f(x)|和|g(x)|都為偶函數(shù),故f(x)g(x)為奇函數(shù),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),f(x)|g(x)|為奇函數(shù),|f(x)g(x)|為偶函數(shù),故選C.2.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=f(x-1),且當(dāng)-1<x<0時(shí),f(x)=2x-1,則f(log220)=()A.14B.-14C.-15D.15答案D解析由f(x+1)=f(x-1)可知函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25)=f(log25-2)=-f(2-log25)=-(22-log25-1)=-45-1=15,故選D.3.已知函數(shù)f(x)=log21-x1+x,若f(a)=12,則f(-a)=()A.2B.-2C.12D.-12答案D解析f(-x)=log21+x1-x=log21-x1+x-1=-f(x),f(x)為奇函數(shù).f(-a)=-f(a)=-12.4.對于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a0,使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()A.f(x)=xB.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)答案D解析由f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)的定義可知,若f(x)的圖象關(guān)于x=a(a0)對稱,則f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù),A,C中兩函數(shù)的圖象無對稱軸,B中函數(shù)圖象的對稱軸只有x=0,而D中f(x)=cos(x+1)的圖象關(guān)于x=k-1(kZ)對稱,故選D.5.(2018杭州高三上學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)f(x)=2ax-1+b(a>0且a1),則函數(shù)f(x)的奇偶性()A.與a無關(guān),且與b無關(guān)B.與a有關(guān),且與b有關(guān)C.與a有關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),但與b有關(guān)答案D解析由ax-10,得x0,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0.由函數(shù)f(x)=2ax-1+b,得f(-x)=2a-x-1+b=-2axax-1+b,當(dāng)b=1時(shí),f(-x)+f(x)=0,此時(shí)f(x)為奇函數(shù),顯然當(dāng)b1時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的奇偶性與a無關(guān),但與b有關(guān),故選D.6.(2017課標(biāo)高考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,則f(2)=. 答案12解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).又因?yàn)楫?dāng)x(-,0)時(shí),f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-2×(-8)+4=12.7.(2018臺州高三一模)若函數(shù)f(x)=a-22x-1(aR)是奇函數(shù),則a=,函數(shù)f(x)的值域?yàn)? 答案-1(-,-1)(1,+)解析函數(shù)f(x)=a-22x-1(aR)是奇函數(shù),f(-x)+f(x)=0,即a-22x-1+a-22-x-1=2a-22x-1+22-x-1=2a-2(1-2x)2x-1=0,解得a=-1,則f(x)=-1-22x-1.令y=-1-22x-11-2x=21+y,即有2x=y-1y+1>0,解得y>1或y<-1,故f(x)=-1-22x-1的值域?yàn)?-,-1)(1,+).8.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是. 答案12,32解析由題意知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上單調(diào)遞減,又f(x)是偶函數(shù),則不等式f(2|a-1|)>f(-2)可化為f(2|a-1|)>f(2),則2|a-1|<2,|a-1|<12,解得12<a<32.故答案為12,32.能力提升組9.已知函數(shù)f(x)=x2+10,x<1,lgx,x1,記f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x),f3(x)=f(f2(x),則f2 019(10)等于()A.10B.lg 110C.0D.1答案A解析由計(jì)算可得f1(10)=1,f2(10)=0,f3(10)=10,f4(10)=1,所以周期為3,f2019(10)=f3(10)=10,故選A.10.(2018嘉興一中高三9月基礎(chǔ)知識測試)已知y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)=1,則f(-2)=()A.2B.3C.4D.5答案D解析因?yàn)閥=f(x)+x是偶函數(shù),所以f(x)+x=f(-x)-x,當(dāng)x=2時(shí),f(2)+2=f(-2)-2,又f(2)=1,所以f(-2)=5,故選D.11.已知函數(shù)f(x)(xR,且x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱,當(dāng)x>1時(shí),f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,則不等式f(x)>1的解集是()A.-3,32B.(-,-3)32,+C.(-,-1)32,+D.(-,-1)1,32答案D解析由題意,f(x)=-f(2-x),當(dāng)x>1時(shí),f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,loga2=-1,a=12,當(dāng)x>1時(shí),不等式f(x)>1可化為log12(x-1)>1,1<x<32,x<1時(shí),2-x>1時(shí),不等式f(x)>1可化為-log12(1-x)>1,x<-1.故選D.12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意的xR,都有f(x+2)=f(x).當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x2.若直線y=x+a與函數(shù)y=f(x)的圖象在0,2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值是()A.0B.0或-12C.-14或-12D.0或-14答案D解析f(x+2)=f(x),T=2.又0x1時(shí),f(x)=x2,可畫出函數(shù)y=f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖.顯然a=0時(shí),y=x與y=x2在0,2內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).另當(dāng)直線y=x+a與y=x2(0x1)相切時(shí),也恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).由題意知x2=x+a,即x2-x-a=0,=1+4a=0,則a=-14,此時(shí)x=12.綜上,可知a=0或a=-14.13.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且對任意xR都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱,且f(1)=3,則f(2 015)=()A.6B.3C.0D.-3答案D解析因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對稱,f(x)是奇函數(shù),對任意xR都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),令x=0,得f(0+2)=f(2-0)+4f(2),因此f(2)=0,由f(x+2)=f(2-x)=-f(x-2)知f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期為8的周期函數(shù),f(2015)=f(7)=f(-1)=-f(1)=-3.故選D.14.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)為減函數(shù),且f(2)=0,則x|f(x-2)>0=. 答案x|0<x<2,或2<x<4解析奇函數(shù)滿足f(2)=0,f(-2)=-f(2)=0.對于x|f(x-2)>0,當(dāng)x-2>0時(shí),f(x-2)>0=f(2),x(0,+)時(shí),f(x)為減函數(shù),0<x-2<2,2<x<4.當(dāng)x-2<0時(shí),不等式化為f(x-2)<0=f(-2),當(dāng)x(0,+)時(shí),f(x)為減函數(shù),函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,-2<x-2<0,0<x<2.綜上可得:不等式的解集為x|0<x<2,或2<x<4.15.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln (-x)+x;當(dāng)-exe時(shí),f(-x)=-f(x);當(dāng)x>1時(shí),f(x+2)=f(x),則f(8)=. 答案2-ln 2解析由題意,f(8)=f(2×3+2)=f(2)=-f(-2)=-(ln2-2)=2-ln2,故填2-ln2.16.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對任意的xR都有f(1+x)=f(1-x),且當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=2x-1,則當(dāng)x-2,6時(shí),方程f(x)=-12所有根之和為. 答案4解析由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則有f(x+2)=f(-x)=-f(x),從而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4為周期的函數(shù).又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,從而其圖象又關(guān)于直線x=-1對稱,由周期性知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2k+1,kZ對稱.由題意知函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1是增函數(shù),其值域?yàn)?,1,此時(shí)方程f(x)=-12無解,由對稱性知函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2是減函數(shù),其值域?yàn)?,1,此時(shí)方程f(x)=-12也無解.由函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱知方程f(x)=-12在區(qū)間-2,-1和-1,0上各有一根,由對稱性知兩根之和為-2.由周期性知方程f(x)=-12在區(qū)間2,3和3,4上各有一根,由對稱性知兩根之和為6.在區(qū)間4,6上方程f(x)=-12無解,故在區(qū)間-2,6上共有4個(gè)根,其和為4.故答案為4.17.(2018浙江諸暨高三5月適應(yīng)性考試)已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(x)=f(4-x),當(dāng)-2x<0時(shí),f(x)=log3|x|,則f113=. 答案1解析由f(x)=f(4-x)知,f113=f4-113=f13,又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f13=-f-13=-log3-13=1.18.設(shè)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x.(1)求f()的值;(2)當(dāng)-4x4時(shí),求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.解(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),所以f()=f(-1×4+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.又當(dāng)0x1時(shí),f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,則f(x)的圖象如下圖所示.當(dāng)-4x4時(shí),f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4SOAB=4×12×2×1=4.5