(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 理 新人教A版
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(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí) 理 新人教A版
第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程1(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的傾斜角為30°,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l2:cos 3.從坐標(biāo)原點(diǎn)O作射線交l2于點(diǎn)M,點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn),滿足|OM|·|ON|12,記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線l1與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),求|AP|·|AQ|的值解:(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),即(t為參數(shù))設(shè)N(,),M(1,1)(>0,1>0),則,又1cos 13,所以12,即4cos ,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24xy20(x0)(2)設(shè)P,Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中,得(2t)24(2t)(1t)20,即t2t30,13>0,t1,t2為方程的兩個(gè)根,所以t1t23,所以|AP|AQ|t1t2|3|3.2(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并取相同的單位長(zhǎng)度,曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos()1.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)P(0,1)的直線l交曲線C1于A,B兩點(diǎn),當(dāng)|PA|·|PB|8時(shí),求直線l的傾斜角解:(1)消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x24y,曲線C2的極坐標(biāo)方程可化為cos sin 2,化為直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù),為直線l的傾斜角且90°),代入曲線C1的普通方程中得m2cos24msin 40,所以m1m2,所以|PA|·|PB|m1m2|8,得45°或135°,即直線l的傾斜角為45°或135°.3(2019·廣州市綜合檢測(cè)(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線C2的極坐標(biāo)方程為(sin acos )(aR)(1)寫出曲線C1的普通方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程;(一題多解)(2)若直線C2與曲線C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求a的取值范圍解:(1)曲線C1的普通方程為y1x2(1x1),把xcos ,ysin 代入(sin acos ),得直線C2的直角坐標(biāo)方程為yax,即axy0.(2)法一:由直線C2axy0,知直線C2恒過(guò)點(diǎn)M(0,)由y1x2(1x1),知當(dāng)y0時(shí),x±1,則直線MP的斜率為k1,直線MQ的斜率為k2.因?yàn)橹本€C2的斜率為a,且直線C2與曲線C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以k2ak1,即a.所以a的取值范圍為,法二:聯(lián)立,消去y得x2ax0,依題意,得x2ax0在1,1上有兩個(gè)不相等的實(shí)根設(shè)f(x)x2ax,則解得a.所以a的取值范圍為,4(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C:4sin()(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線C與直線l的交點(diǎn)為A,B,Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),求ABQ面積的最大值解:(1)由消去t得xy50,所以直線l的普通方程為xy50.由4sin()4sin 4cos ,得24sin 4cos ,化為直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y2)28.(2)由(1)知,曲線C是以(2,2)為圓心,2為半徑的圓,直線l過(guò)點(diǎn)P(3,2),可知點(diǎn)P在圓內(nèi)將直線l的參數(shù)方程化為,代入圓的直角坐標(biāo)方程,得t29t330.設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t29,t1t233,所以|AB|t2t1|.又圓心(2,2)到直線l的距離d,所以ABQ面積的最大值為××(2).5(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為cos2sin ,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),其中a>0),直線l與曲線C相交于M,N兩點(diǎn)(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)P(0,a)滿足4,求a的值解:(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為2cos2sin ,由,得曲線C的直角坐標(biāo)方程為yx2.(2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入yx2,得t2a0,3a>0.設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則t1t2,t1t2,所以4,化簡(jiǎn)得64a212a10,解得a或a(舍去),所以a.6(2019·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(為參數(shù),實(shí)數(shù)a>0),曲線C2:(為參數(shù),實(shí)數(shù)b>0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:(0,0)與C1交于O,A兩點(diǎn),與C2交于O,B兩點(diǎn),當(dāng)0時(shí),|OA|1;當(dāng)時(shí),|OB|2.(1)求a,b的值;(2)求2|OA|2|OA|·|OB|的最大值解:(1)將C1的參數(shù)方程化為普通方程為(xa)2y2a2,其極坐標(biāo)方程為12acos ,由題意可得,當(dāng)0時(shí),|OA|2a1,所以a.將C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2(yb)2b2,其極坐標(biāo)方程為22bsin ,由題意可得,當(dāng)時(shí),|OB|2b2,所以b1.(2)由(1)可得C1,C2的方程分別為1cos ,22sin ,所以2|OA|2|OA|·|OB|2cos22sin cos sin 2cos 21sin(2)1.因?yàn)椋?,所以0,所以2,所以當(dāng)2,即時(shí),sin(2)1取得最大值,為1.7(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測(cè))已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)P,Q為曲線C上兩點(diǎn),若·0,求的值解:(1)由,得曲線C的普通方程是y21,將xcos ,ysin 代入,得52sin222cos25,即2(2也可得分)(2)因?yàn)?,所以sin2,由·0,得OPOQ,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,),則點(diǎn)Q的極坐標(biāo)可設(shè)為(2,±),所以.8(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos232sin212,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2,),求|PM|·|PN|的值;(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值解:(1)由2cos232sin212得x23y212,故曲線C的直角坐標(biāo)方程為1,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,0),將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程1中,得t2t40,設(shè)點(diǎn)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|PM|·|PN|t1t2|4.(2)由(1)知,曲線C的直角坐標(biāo)方程為1,可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A(2cos ,2sin ),0<<,則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為4(2cos 2sin )16sin(),0<<.因此該內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為16,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值- 7 -