（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 考點(diǎn)規(guī)范練45 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

考點(diǎn)規(guī)范練45直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固組1.過點(diǎn)(3,1)作圓(x-1)2+y2=r2的切線有且只有一條,則該切線的方程為()A.2x+y-5=0B.2x+y-7=0C.x-2y-5=0D.x-2y-7=0答案B解析依題意知,點(diǎn)(3,1)在圓(x-1)2+y2=r2上,且為切點(diǎn).圓心(1,0)與切點(diǎn)(3,1)連線的斜率為12.因此切線的斜率k=-2.故圓的切線方程為y-1=-2(x-3),即2x+y-7=0.2.已知圓C:(x+1)2+y2=r2與拋物線D:y2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=8,則圓C的面積為()A.5B.9C.16D.25答案D解析拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4,而圓心坐標(biāo)為(-1,0),所以圓心到直線的距離為3,所以圓的半徑為5,故圓面積為25.3.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得的弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2-a,可知圓心為(-1,1),半徑r=2-a,因?yàn)閳A心到直線x+y+2=0的距離d=|-1+1+2|2=2,所以r2-d2=4,即2-a-2=4.所以a=-4.故選B.4.直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點(diǎn),則ECF的面積為()A.32B.25C.355D.34答案B解析由題意,圓心為C(2,-3),半徑為r=3,則ECF的高h(yuǎn)=d=|2+2×3-3|1+(-2)2=5,底邊長為l=2r2-d2=29-5=4,所以SECF=12×4×5=25.故選B.5.(2018浙江5校聯(lián)考)已知圓C的方程為x2+y2=1,直線l的方程為x+y=2,過圓C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線交l于點(diǎn)A,則|PA|的最小值為()A.12B.1C.2-1D.2-2答案D解析(方法一)由題意可知,直線PA與坐標(biāo)軸平行或重合,不妨設(shè)直線PA與y軸平行或重合,設(shè)P(cos,sin),則A(cos,2-cos),于是|PA|=|2-cos-sin|=2-2sin+4.故|PA|的最小值為2-2,應(yīng)選D.(方法二)由題意可知圓心(0,0)到直線x+y=2的距離d=22=2,則圓C上一點(diǎn)到直線x+y=2的距離的最小值為2-1.結(jié)合題意可得|PA|min=2(2-1)=2-2.故選D.6.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,且與直線x+y+2=0相切的圓的方程是,圓O與圓x2+y2-2y-3=0的位置關(guān)系是. 答案x2+y2=2相交解析由題意知,所求圓的半徑等于原點(diǎn)O到直線x+y+2=0的距離,即r=21+1=2,則所求圓的方程為x2+y2=2;因圓O與圓x2+y2-2y-3=0的圓心和半徑分別為O(0,0),r1=2,C2(0,1),r2=2,且2-2=r2-r1<|OC2|=1<r1+r2=2+2,故兩圓的位置關(guān)系是相交.7.已知圓C:(x-1)2+y2=25,則過點(diǎn)P(2,-1)的圓C的所有弦中,以最長弦和最短弦為對(duì)角線的四邊形的面積是. 答案C解析易知最長弦為圓的直徑10.又最短弦所在直線與最長弦垂直,且|PC|=2,最短弦的長為2r2-|PC|2=225-2=223.故所求四邊形的面積S=12×10×223=1023.8.已知f(x)=x3+ax-2b,如果f(x)的圖象在切點(diǎn)P(1,-2)處的切線與圓(x-2)2+(y+4)2=5相切,那么3a+2b=. 答案-7解析由題意得f(1)=-2a-2b=-3,f'(x)=3x2+a,f(x)的圖象在點(diǎn)P(1,-2)處的切線方程為y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,|(3+a)×2+4-a-5|(3+a)2+(-1)2=5a=-52,b=14,3a+2b=-7.能力提升組9.圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為2的點(diǎn)共有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案C解析由題意知圓的方程可化為(x+1)2+(y+2)2=8,圓心(-1,-2)到直線x+y+1=0的距離d=|-1-2+1|2=2,半徑是22,結(jié)合圖形可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn).10.過點(diǎn)P(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則AB所在直線的方程為()A.y=-34B.y=-12C.y=-32D.y=-14答案B解析圓(x-1)2+y2=1的圓心為(1,0),半徑為1,以|PC|=(1-1)2+(-2-0)2=2為直徑的圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=1,將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y+1=0,即y=-12.故選B.11.直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|23,則k的取值范圍是()A.-34,0B.-23,0C.-3,3D.-33,33答案D解析當(dāng)|MN|23時(shí),圓心(2,3)到直線y=kx+3的距離為d=|2k-3+3|k2+1=r2-|MN|22=4-3=1,故當(dāng)|MN|23時(shí),d=|2k-3+3|k2+11,求得k-33,33,故選D.12.(2018浙江八校聯(lián)考)已知P(a,b)(ab0)是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn),直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在的直線,直線l的方程為ax+by=r2,則()A.ml,且l與圓相交B.ml,且l與圓相切C.ml,且l與圓相離D.ml,且l與圓相離答案C解析點(diǎn)P(a,b)(ab0)在圓x2+y2=r2內(nèi),a2+b2<r2.圓x2+y2=r2的圓心為O(0,0),由題意得OPm.又kOP=ba,km=-ab.直線l的斜率為kl=-ab=km,圓心O到直線l的距離d=r2a2+b2>r2r=r,ml,l與圓相離.故選C.13.已知圓C:x2+y2=4,點(diǎn)P為直線x+2y-9=0上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn),則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)()A.49,89B.29,49C.(2,0)D.(9,0)答案A解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則PA:x1x+y1y=4;PB:x2x+y2y=4;即x1x0+y1y0=4;x2x0+y2y0=4.因此,在直線x0x+y0y=4上,直線AB方程為x0x+y0y=4,又x0+2y0-9=0,所以(9-2y0)x+y0y=4y0(y-2x)+9x-4=0,即y-2x=0,9x-4=0y=89,x=49,直線AB經(jīng)過定點(diǎn)49,89,選A.14.已知曲線C1:(x-1)2+y2=1與曲線C2:y(y-mx-m)=0,則曲線C2恒過定點(diǎn);若曲線C1與曲線C2有4個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 答案(-1,0)-33,00,33解析由題意得,直線y=mx+m恒過定點(diǎn)(-1,0),故C2過定點(diǎn)(-1,0),顯然直線y=0與圓有公共點(diǎn)(2,0),(0,0),問題等價(jià)于直線y-mx-m=0與圓相交,且不過點(diǎn)(2,0),(0,0).|2m|1+m2<1且m0,m0,-33<m<33,且m0,實(shí)數(shù)m的取值范圍是-33,00,33.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是. 答案43解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).由題意知點(diǎn)(4,0)到直線kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2,即|4k-2|k2+12,整理得3k2-4k0,解得0k43.故k的最大值是43.16.若存在實(shí)數(shù)x,y同時(shí)滿足x2+y21,|x-a|+|y-1|1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 答案-2,2解析由存在實(shí)數(shù)x,y同時(shí)滿足x2+y21,|x-a|+|y-1|1,則-1y1,則|x-a|+|y-1|1等價(jià)于|x-a|y,作出x2+y21與|x-a|y對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,當(dāng)a<0,x>a,直線方程為y=x-a,當(dāng)此直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離d=|a|2=1,|a|=2,a=-2,點(diǎn)B(-2,0);當(dāng)a>0,x<a,直線方程為y=-(x-a),當(dāng)此直線與圓相切時(shí),圓心到直線的距離d=|a|2=1,|a|=2,a=2,點(diǎn)B(2,0).由存在實(shí)數(shù)x,y同時(shí)滿足x2+y21,|x-a|+|y-1|1,則-2a2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2,2.17.已知定點(diǎn)M(0,2),N(-2,0),直線l:kx-y-2k+2=0(k為常數(shù)).(1)若點(diǎn)M,N到直線l的距離相等,求實(shí)數(shù)k的值;(2)對(duì)于l上任意一點(diǎn)P,MPN恒為銳角,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解(1)點(diǎn)M,N到直線l的距離相等,lMN或l過MN的中點(diǎn).M(0,2),N(-2,0),直線MN的斜率kMN=1,MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(-1,1).直線l:kx-y-2k+2=0過定點(diǎn)D(2,2),當(dāng)lMN時(shí),k=kMN=1;當(dāng)l過MN的中點(diǎn)時(shí),k=kCD=13.綜上可知,k的值為1或13.(2)對(duì)于l上任意一點(diǎn)P,MPN恒為銳角,l與以MN為直徑的圓相離,即圓心(-1,1)到直線l的距離大于半徑,d=|-k-1-2k+2|k2+1>2,解得k<-17或k>1.18.已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在圓C外,過點(diǎn)P作圓C的切線,設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(1,3)處,求此時(shí)切線l的方程;(2)求滿足條件|PM|=|PO|的點(diǎn)P的軌跡方程.解把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4,可知圓心為C(-1,2),半徑r=2.(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),此時(shí)直線l的方程為x=1,點(diǎn)C到l的距離d=2=r,滿足條件.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,得l的方程為y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,則|-k-2+3-k|1+k2=2,解得k=-34.直線l的方程為y-3=-34(x-1),即3x+4y-15=0.綜上,滿足條件的切線l的方程為x=1或3x+4y-15=0.(2)設(shè)P(x,y),則|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,|PM|=|PO|,(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0.點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+1=0.5