（名師導(dǎo)學(xué)）2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù) 第31講 復(fù)數(shù)練習(xí) 文（含解析）新人教A版

第31講復(fù)數(shù)夯實(shí)基礎(chǔ)【p71】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件2了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法，能進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算3了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義【基礎(chǔ)檢測(cè)】1設(shè)i為虛數(shù)單位，則(1i)4()A4 B4 C4i D4i【解析】(1i)4(2i)24，選A.【答案】A2已知復(fù)數(shù)z (i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A1 B0 C1 Di【解析】因?yàn)閦，故虛部為1.故選C.【答案】C3已知復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，若1ix(y1)i，則|z|()A2 B. C. D5【解析】由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件有：即則z12i，|z|.故選C.【答案】C4已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z3i1，則下面說法正確的是()Az在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限B.22iC.的虛部為1D.2【解析】復(fù)數(shù)z3i13i1i13i122i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2，2)落在第二象限，22i，1i，其虛部為1，.因此只有C正確故選C.【答案】C【知識(shí)要點(diǎn)】1復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)：我們把集合Cabi|a，bR中的數(shù)，即形如abi(a，bR)的數(shù)叫作_復(fù)數(shù)_，其中i叫作_虛數(shù)單位_，全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C叫作_復(fù)數(shù)集_(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即zabi(a，bR)這一表示形式叫作復(fù)數(shù)的_代數(shù)形式_，其中a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部(3)復(fù)數(shù)的相等：復(fù)數(shù)z1abi與z2cdi相等的充要條件是_ac且bd_，即abicdiac且bd.(4)復(fù)數(shù)的分類：對(duì)于復(fù)數(shù)abi，當(dāng)且僅當(dāng)_b0_時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)_ab0_時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b0時(shí)，叫作_虛數(shù)_；當(dāng)a0且b0時(shí)，叫作_純虛數(shù)_2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面：如圖，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)zabi可用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面，x軸叫實(shí)軸，y軸叫虛軸顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)(2)復(fù)數(shù)與點(diǎn)：復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義(3)復(fù)數(shù)與向量：復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng))，即復(fù)數(shù)zabi平面向量(a，b)，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義(如圖所示)即有：(4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫作復(fù)數(shù)zabi的_模_，記作|z|或|abi|.特別地，若b0，則zabia是_實(shí)數(shù)_，它的模為|a|(即a的絕對(duì)值)顯然，|z|abi|r_(r0，rR)3復(fù)數(shù)的加減法及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則：設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么z1z2(abi)(cdi)_(ac)(bd)i_，顯然，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)運(yùn)算律：z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3) 幾何意義：設(shè)，分別與復(fù)數(shù)abi，cdi對(duì)應(yīng)，則有(a，b)，(c，d)，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有(ac，bd)，即是與復(fù)數(shù)(ac)(bd)i對(duì)應(yīng)的向量，故復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)加法的幾何意義(2)復(fù)數(shù)的減法法則：(abi)(cdi)_(ac)(bd)i_，顯然，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)的減法滿足向量的三角形法則，如圖所示，_(ac，bd)_，即向量與復(fù)數(shù)_(ac)(bd)i_對(duì)應(yīng)(3)對(duì)于復(fù)數(shù)z而言，|z(abi)|r(r>0)(其中aR，bR)表示復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以(a，b)為圓心，r為半徑的圓4復(fù)數(shù)的乘除法(1)復(fù)數(shù)的乘法法則：設(shè)z1abi，z2cdi是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(abi)(cdi)acbciadibdi2_(acbd)(bcad)i_由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可顯然，兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)運(yùn)算律：z1，z2，z3C，有：z1·z2z2·z1，(z1·z2)·z3z1·(z2·z3)，z1·(z2z3)z1·z2z1·z3.i的運(yùn)算律：特別地，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41，其中nN.(2)共軛復(fù)數(shù)定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)(實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身)如abi與abi互為_共軛復(fù)數(shù)_復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)常記為z.幾何意義：若z1與z2是共軛復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)z1與z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱運(yùn)算：z1abi與z2abi是共軛復(fù)數(shù)，則z1·z2(abi)·(abi)_a2b2_，顯然，z1·z2_|z1|2|z2|2_性質(zhì)：|z1|z2|.(3)復(fù)數(shù)的除法(abi)÷(cdi)_i_(c2d20)由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商仍是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)對(duì)兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2，有.5常用結(jié)論：i，i，i，(1±i)2±2i.典 例 剖 析【p72】考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念(1)設(shè)復(fù)數(shù)z11i，z2i，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為()A1 B1 Ci Di【解析】11i，1i，虛部為1，故選A.【答案】A(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，則“m1”是“z1z2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【解析】若z1z2，等價(jià)于m2m20m2或m1，“m1”“z1z2”但“z1z2”/“m1”，“m1”是“z1z2”的充分不必要條件【答案】A(3)若復(fù)數(shù)(aR)為純虛數(shù)，則|3ai|()A. B13 C10 D.【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：i，復(fù)數(shù)(aR)為純虛數(shù)，則即a2，|3ai|.故選A.【答案】A【小結(jié)】復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部、虛部滿足的方程即可考點(diǎn)2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算(1)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)zi的共軛復(fù)數(shù)為，則_【解析】復(fù)數(shù)zi的共軛復(fù)數(shù)為i.1.所以i.【答案】i(2)已知i是虛數(shù)單位，則_【解析】原式i6i1 010i6i4×2522i42i2i22.【答案】2【小結(jié)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算關(guān)鍵是兩點(diǎn)：(1)i的周期性；(2)除法中分母實(shí)數(shù)化即共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義(1)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A，則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A1i B1i C1i D1i【解析】因?yàn)閦1i，所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1，1)，關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A(1，1)，故A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1i.【答案】D(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|1，則|z2|的最小值為()A1 B2 C3 D4【解析】由題意，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，要求|z2|的最小值，只需找出圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(2，0)的距離最小的點(diǎn)即可連接圓心(0，0)與點(diǎn)(2，0)，長度為2，故|z2|min1.【答案】A(3)已知復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，且|z2|，則的最大值是_；最小值是_【解析】|z2|，(x2)2y23.表示過圓上的點(diǎn)(x，y)及(0，0)兩點(diǎn)的直線斜率.如圖，當(dāng)過(0，0)的直線與圓相切時(shí)取到斜率的最值，故，.【答案】【小結(jié)】研究復(fù)數(shù)模的問題，可利用數(shù)形結(jié)合法，考慮模的幾何意義求解考點(diǎn)4在復(fù)數(shù)集中的方程問題(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(1i)24i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為_【解析】因?yàn)閦(12i)(1i)3i，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為3i.【答案】3i(2)已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z334i，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若(，R)，則的值是_【解析】由條件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根據(jù)得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，解得1.【答案】1(3)若z·(z1)(z1)|z|，則復(fù)數(shù)z_【解析】設(shè)zxyi(x，yR)，則(xyi)(xyi)(x1)yi·(x1)yi，x2y2(x21)y22yi.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得解得x±1，y0.【答案】±1【小結(jié)】利用復(fù)數(shù)相等實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題向?qū)崝?shù)問題的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想【能力提升】例5對(duì)任意復(fù)數(shù)1，2，定義1*212，其中2是2的共軛復(fù)數(shù)對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3有如下四個(gè)命題：(z1z2)*z3(z1*z3)(z2*z3)；z1*(z2z3)(z1*z2)(z1*z3)；(z1*z2)*z3z1*(z2*z3)；z1*z2z2*z1.則真命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4【解析】由題意得(z1z2)*z3(z1z2)z3z1z3z2z3z1*z3z2*z3，故正確；z1*(z2z3)z1(z2z3)z1z2z1z3(z1*z2)(z1*z3)，故正確；(z1*z2)*z3z1z2z3，而z1*(z2*z3)z1z2z3，故錯(cuò)誤；z1*z2z1z2，而z2*z1z2z1，故不正確故選B.【答案】B【小結(jié)】復(fù)數(shù)與新定義問題結(jié)合，把握好新定義的結(jié)構(gòu)特征是關(guān)鍵方 法 總 結(jié)【p72】1利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法2實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，兩個(gè)純虛數(shù)的積是實(shí)數(shù)3復(fù)數(shù)問題幾何化，利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論，有效利用數(shù)和形的結(jié)合，取得事半功倍的效果走 進(jìn) 高 考【p72】1(2018·全國卷)i(23i)()A32i B32i C32i D32i【解析】i(23i)2i3i232i，故選D.【答案】D2(2018·全國卷)設(shè)z2i，則|z|()A0 B. C1 D.【解析】z2i2i2ii，|z|1.【答案】C3(2018·江蘇)若復(fù)數(shù)z滿足i·z12i，其中i是虛數(shù)單位，則z的實(shí)部為_【解析】復(fù)數(shù)z(12i)(i)2i的實(shí)部是2.【答案】2- 7 -