高三數(shù)學(xué)第二篇 數(shù)學(xué)思想 三 分類討論思想 文

三、分類討論思想三、分類討論思想思想解讀思想解讀思想解讀思想解讀應(yīng)用類型應(yīng)用類型分類討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題,通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略,對(duì)問題實(shí)行分類與整合,分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題),優(yōu)化解題思路,降低問題難度.1.由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論:如絕對(duì)值的意義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.2.由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論:如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零,偶次方根被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求,指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求,不等式中兩邊同乘一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù),三角函數(shù)的定義域,等差、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式等.3.由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論:如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.4.由圖形的不確定性而引起的分類討論:如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等.5.由參數(shù)的變化而引起的分類討論:如某些含有參數(shù)的問題,由于參數(shù)的取值不同而導(dǎo)致所得的結(jié)果不同或由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等.總綱目錄應(yīng)用一 由概念、法則、公式引起的分類討論應(yīng)用二 由圖形位置或形狀引起的分類討論應(yīng)用三 由參數(shù)變化引起的分類討論應(yīng)用一應(yīng)用一 由概念、法則、公式引起的分類討論由概念、法則、公式引起的分類討論例例若函數(shù)f(x)=ax(a0,且a1)在-1,2上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x)=(1-4m)在0,+)上是增函數(shù),則a=.答案答案x14解析解析g(x)=(1-4m)在0,+)上是增函數(shù),應(yīng)有1-4m0,即m1時(shí),f(x)=ax為增函數(shù),由題意知m=,與m矛盾.當(dāng)0a1時(shí),f(x)=ax為減函數(shù),由題意知m=,滿足m0,且a1)中a的范圍沒有確定,故應(yīng)對(duì)a進(jìn)行分類討論.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.已知a,b0,且a1,b1.若logab1,則()A.(a-1)(b-1)0C.(b-1)(b-a)0答案答案Dlogab1logab-logaa0loga0或即或當(dāng)時(shí),0ba1,所以b-10,b-aa1,所以b-10,b-a0.所以(b-1)(b-a)0,故選D.ba01,01aba1,1,aba01,0aba1,.aba01,0aba1,aba2.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和Sn0(n=1,2,3,),則q的取值范圍為.答案答案(-1,0)(0,+)解析解析因?yàn)閍n是等比數(shù)列,Sn0,所以a1=S10,q0,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na10,當(dāng)q1時(shí),Sn=0,即0(n=1,2,3,),則有或由得-1q1.又q0,故q的取值范圍是(-1,0)(0,+).1(1)1naqq11nqq10,10nqq10,10.nqq應(yīng)用二應(yīng)用二 由圖形位置或形狀引起的分類討論由圖形位置或形狀引起的分類討論例例已知變量x,y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域,則實(shí)數(shù)k=()A.-B.C.0D.-或00,2,10 xyxkxy 121212解析解析不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示,由圖可知,因?yàn)椴坏仁浇M表示的平面區(qū)域是直角三角形,所以直線y=kx+1與直線x=0或y=2x垂直.0,2,10 xyxkxy 0,2,10 xyxkxy 答案答案 D結(jié)合圖形可知k的值為0或-.12【技法點(diǎn)評(píng)】【技法點(diǎn)評(píng)】(1)本題中直角頂點(diǎn)的位置不定,影響k的取值,故需按直角頂點(diǎn)不同的位置進(jìn)行討論.(2)涉及幾何問題時(shí),由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性,需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)1.(2017安徽合肥第一次模擬)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則直線l的方程為()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=03答案答案B當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),計(jì)算出弦長為2,符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l的方程為y=kx+3,由弦長為2可知,圓心到該直線的距離為1,從而有=1,解得k=-,綜上,直線l的方程為x=0或3x+4y-12=0,選B.332|2|1kk342.設(shè)F1,F2是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn).已知P,F1,F2是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且|PF1|PF2|,則的值為.29x24y12|PFPF答案答案或272解析解析若PF1F2=90,此時(shí)不符合題意,應(yīng)舍去,若PF2F1=90,則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又由題意可知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,解得|PF1|=,|PF2|=,所以=.若F1PF2=90,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,解得|PF1|=4或2,又|PF1|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.綜上知,的值為或2.51434312|PFPF7212|PFPF12|PFPF72應(yīng)用三應(yīng)用三 由參數(shù)變化引起的分類討論由參數(shù)變化引起的分類討論例例已知函數(shù)f(x)=x2-ax,g(x)=mx+nlnx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為1,曲線y=g(x)在x=2處取得極小值2-2ln2.(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式;(2)若不等式f(x)+g(x)x2-k(x-1)對(duì)任意的x(0,1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析解析(1)f(x)=2x-a,則有f(1)=2-a=1,所以a=1,f(x)=x2-x.因?yàn)間(x)=m+,所以故所以g(x)=x-2lnx.nx0,22ln222ln2,nmmn1,2,mn(2)f(x)+g(x)=x2-2lnx,令h(x)=f(x)+g(x)-x2+k(x-1)=k(x-1)-2lnx,x(0,1,所以h(x)=k-=.當(dāng)k0時(shí),h(x)0,h(x)在(0,1上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(1)=0.當(dāng)02時(shí),h(x)0在上恒成立,所以h(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又由題意得h(x)min=h2x2kxx2k xkx20,k2,1k20,k2,1k2k0,求a的取值范圍.解析解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+).當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f(x)=lnx+-3,f(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為2x+y-2=0.(2)當(dāng)x(1,+)時(shí),f(x)0等價(jià)于lnx-0.設(shè)g(x)=lnx-,則g(x)=-=,g(1)=0.(i)當(dāng)a2,x(1,+)時(shí),x2+2(1-a)x+1x2-2x+10,故g(x)0,g(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,因此g(x)0;(ii)當(dāng)a2時(shí),令g(x)=0得1x(1)1a xx(1)1a xx1x22(1)ax222(1)1(1)xa xx xx1=a-1-,x2=a-1+.由x21和x1x2=1得x11,故當(dāng)x(1,x2)時(shí),g(x)0,g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,因此g(x)0,得x8,f(x)在(8,+)上單調(diào)遞增,令f(x)0,得0 x0),f(x)=+=(x0).(i)當(dāng)a0時(shí),f(x)0恒成立,即f(x)在(0,e2上單調(diào)遞增,無最小值,不滿足題意.8x28x1x28xxax2ax1x2xax(ii)當(dāng)a0時(shí),令f(x)=0,得x=a,所以當(dāng)f(x)0時(shí),xa,當(dāng)f(x)0時(shí),0 xe2,則函數(shù)f(x)在(0,e2上的最小值f(x)min=f(e2)=+lne2-2=,由=2,得a=2e2,滿足ae2,符合題意;若ae2,則函數(shù)f(x)在(0,e2上的最小值f(x)min=f(a)=+lna-2=lna-1,由lna-1=2,得a=e3,不滿足ae2,不符合題意,舍去.綜上可知,存在實(shí)數(shù)a=2e2,使函數(shù)f(x)在(0,e2上有最小值2.2ea2ea2eaaa