2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八單元 第43講 雙曲線練習(xí) 文（含解析）新人教A版

第43講雙曲線 1.下列雙曲線中,漸近線方程為y=±2x的是()A.x2-y24=1B.x24-y2=1C.x2-y22=1D.x22-y2=12.2018·珠海模擬 若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y-1=0垂直,則雙曲線的離心率為()A.52B.5C.3+12D.3+13.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=24y的焦點(diǎn)重合,其一條漸近線的傾斜角為30°,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x29-y227=1B.y29-x227=1C.y212-x224=1D.y224-x212=14.2018·石嘴山三中月考 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為(3,4),則雙曲線的方程為()A.x216-y29=1B.x23-y24=1C.x24-y23=1D.x29-y216=15.2018·諸暨模擬 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線截橢圓x24+y2=1所得的弦長為433,則此雙曲線的離心率為. 6.2018·寧夏平羅模擬 已知雙曲線C1:x24-y2=1,雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點(diǎn),且OMMF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若SOMF2=16,且雙曲線C1,C2的離心率相同,則雙曲線C2的實(shí)軸長是()A.32B.4C.8D.167.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F(7,0),直線y=x-1與其相交于M,N兩點(diǎn),線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-23,則此雙曲線的方程是()A.x23-y24=1B.x22-y25=1C.x25-y22=1D.x24-y23=18.已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與雙曲線分別交于點(diǎn)A,B,且A(1,3),若ABF2為等邊三角形,則BF1F2的面積為()A.1B.2C.3D.29.已知A(-2,0),B(2,0),斜率為k的直線l上存在不同的兩點(diǎn)M,N,滿足|MA|-|MB|=23,|NA|-|NB|=23,且線段MN的中點(diǎn)為(6,1),則k的值為()A.-2B.-12C.12D.210.如圖K43-1,過雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線,該直線與E的漸近線交于B,C兩點(diǎn),若BC+2BA=0,則雙曲線E的漸近線方程為()圖K43-1A.y=±3xB.y=±4xC.y=±2xD.y=±2x11.2018·河南中原名校檢測(cè) 已知直線x-2y+1=0與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,則該雙曲線的離心率為()A.2B.62C.52D.312.2018·銀川一中月考 已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),拋物線y2=4cx與雙曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)P,若|PF2|=|F1F2|,則雙曲線的離心率為. 13.2018·海南中學(xué)月考 已知雙曲線C的一條漸近線方程是x-2y=0,且雙曲線C過點(diǎn)(22,1).(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,點(diǎn)P(異于A1,A2)為雙曲線C上任意一點(diǎn),直線PA1,PA2分別與直線l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,漸近線方程是y=±255x,點(diǎn)A(0,b),且AF1F2的面積為6.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l:y=kx+m(k0,m0)與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若|AP|=|AQ|,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.15.已知雙曲線1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,橢圓2:x23+y24=1的離心率為e,直線MN過點(diǎn)F2與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),若cosF1MN=cosF1F2M,且|F1M|F1N|=e,則雙曲線1的兩條漸近線的傾斜角分別為()A.30°,150°B.45°,135°C.60°,120°D.15°,165°16.以橢圓x29+y25=1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1),雙曲線C上的點(diǎn)P(x0,y0)(x0>0,y0>0)滿足PF1·MF1|PF1|=F2F1·MF1|F2F1|,則SPMF1-SPMF2=()A.2B.4C.1D.-18課時(shí)作業(yè)(四十三)1.A解析A中雙曲線的漸近線方程為y=±2x;B中雙曲線的漸近線方程為y=±12x;C中雙曲線的漸近線方程為y=±2x;D中雙曲線的漸近線方程為y=±22x.2.B解析 直線x+2y-1=0的斜率k=-12,由題意知ba=2,即b=2a,c2=a2+b2=5a2,雙曲線的離心率e=5,故選B.3.B解析 拋物線x2=24y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),由題意知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,6),可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).雙曲線的漸近線方程為y=±abx,且其中一條漸近線的傾斜角為30°,ab=33,又c=6,c2=a2+b2,a2=9,b2=27,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29-x227=1.4.D解析 由題意得c=32+42=5,因?yàn)榻稽c(diǎn)(3,4)在漸近線y=bax上,所以4=3ba,即ba=43,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以雙曲線的方程為x29-y216=1,故選D.5.3解析 不妨設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為bx-ay=0,由bx-ay=0,x24+y2=1可得x=±2aa2+4b2,y=±2ba2+4b2,這條漸近線截橢圓x24+y2=1所得的弦長為24a2+4b2a2+4b2,由題意可得24a2+4b2a2+4b2=433,整理得2a2=b2,又b2=c2-a2,3a2=c2,e=ca=3.6.D解析 雙曲線C1:x24-y2=1的離心率為52,設(shè)F2(c,0),雙曲線C2的一條漸近線方程為y=bax,可得|F2M|=bca2+b2=b,則|OM|=c2-b2=a,由SOMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,a=8,b=4,c=45,雙曲線C2的實(shí)軸長為16.故選D.7.B解析 設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),將y=x-1代入雙曲線的方程,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),易知b2-a20,則x1+x2=2a2a2-b2,所以x1+x22=a2a2-b2=-23.又由c2=a2+b2=7,得a2=2,b2=5,所以雙曲線的方程是x22-y25=1.8.C解析 由題意知A在雙曲線的右支上,根據(jù)雙曲線的定義,可得|AF1|-|AF2|=2a,ABF2是等邊三角形,|AF2|=|AB|,|BF1|=2a.又|BF2|-|BF1|=2a,|BF2|=|BF1|+2a=4a.在BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,F1BF2=120°,|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×-12=28a2,即c2=7a2,b2=c2-a2=6a2,雙曲線的方程為x2a2-y26a2=1.又點(diǎn)A(1,3)在雙曲線上,1a2-36a2=1,a=22,BF1F2的面積為12×2a×4a×sin120°=23a2=3.9.D解析 由題意知M,N是雙曲線的右支上的兩點(diǎn),設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則a=3,c=2,b=1,雙曲線方程為x23-y2=1.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1>3,x2>3且x1x2,則x1+x2=12,y1+y2=2.將點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別代入雙曲線方程,得x123-y12=1,x223-y22=1,作差可得13×12×(x1-x2)-2(y1-y2)=0,k=y1-y2x1-x2=2.10.D解析 由題易知A(a,0),直線l:y=-x+a與漸近線l1:bx-ay=0交于點(diǎn)Ba2a+b,aba+b,直線l:y=-x+a與漸近線l2:bx+ay=0交于點(diǎn)Ca2a-b,-aba-b.BC+2BA=0,AC=3AB,a2a-b-a=3a2a+b-a,b=2a,雙曲線E的漸近線方程為y=±2x.11.B解析 因?yàn)橹本€x-2y+1=0與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,所以M(1,1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=12,y1+y2x1+x2=1,將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,兩式相減,整理得1a2-1b2·y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=0,可得b2a2=12,所以a=2b,c=3b,雙曲線的離心率為ca=32=62,故選B.12.1+2解析 拋物線y2=4cx的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)F2(c,0)相同,拋物線y2=4cx的準(zhǔn)線方程為x=-c,|PF2|=|F1F2|,結(jié)合拋物線的定義可知,P(c,2c),點(diǎn)P在雙曲線上,c2a2-4c2b2=1,e2-4e2e2-1=1,e4-6e2+1=0,又e>1,e=1+2.13.解:(1)由漸近線方程可知,雙曲線C的方程為x2-4y2=k(k0),把(22,1)代入可得k=4,所以雙曲線C的方程為x24-y2=1.(2)分析可知,當(dāng)|MN|取到最小值時(shí),點(diǎn)P在雙曲線的右支上.由題可得A1(-2,0),A2(2,0),根據(jù)雙曲線方程可得yx-2·yx+2=14,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,設(shè)直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2(k1,k2>0),可得k1k2=14.直線PA1的方程為y=k1(x+2),令x=1,得y=3k1,即M(1,3k1),直線PA2的方程為y=k2(x-2),令x=1,得y=-k2,即N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k223k1k2=3,當(dāng)且僅當(dāng)3k1=k2,即k1=36,k2=32時(shí)等號(hào)成立,所以|MN|的最小值為3.14.解:(1)由題可知ba=255,SAF1F2=12×2c·b=6,又a2+b2=c2,由可得a2=5,b2=4,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x25-y24=1.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)為D(x0,y0).將y=kx+m與x25-y24=1聯(lián)立,消去y,整理得(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k20及>0,得4-5k20,m2-5k2+4>0,所以x1+x2=10km4-5k2,x1·x2=-5m2+204-5k2,x0=x1+x22=5km4-5k2,y0=kx0+m=4m4-5k2.由|AP|=|AQ|知,ADPQ,又A(0,2),所以kAD=y0-2x0=4m4-5k2-25km4-5k2=-1k,化簡得10k2=8-9m.將代入,解得m<-92或m>0,又由10k2=8-9m>0,得m<89.綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是-,-920,89.15.C解析 設(shè)雙曲線1的半焦距為c.由cosF1MN=cosF1F2M,可得F1MN=F1F2M,|MF1|=|F1F2|=2c,由雙曲線的定義可得|MF2|=|MF1|-2a=2c-2a.橢圓2:x23+y24=1的離心率e=4-32=12,|F1M|F1N|=e=12,|NF1|=4c,|NF2|=4c-2a.在MF1F2中,由余弦定理得cosF1F2M=4c2+(2c-2a)2-4c22·2c·(2c-2a)=c-a2c,在NF1F2中,由余弦定理得cosF1F2N=4c2+(4c-2a)2-16c22·2c·(4c-2a)=a2+c2-4ac2c(2c-a),F1F2M+F1F2N=180°,cosF1F2M+cosF1F2N=0,即c-a2c+a2+c2-4ac2c(2c-a)=0,整理得2a2+3c2-7ac=0,設(shè)雙曲線的離心率為e1,則3e12-7e1+2=0,解得e1=2或e1=13(舍去),a2+b2a2=4,3a2=b2,即ba=3,雙曲線的漸近線方程為y=±3x,雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為60°,120°.故選C.16.A解析 由題意知雙曲線的方程為x24-y25=1.由PF1·MF1|PF1|=F2F1·MF1|F2F1|,可得MF1在PF1與F2F1方向上的投影長度相等,過點(diǎn)M作MAF1F2交F1F2于A,過點(diǎn)M作MBF1P,交F1P于B,則|F1A|=|F1B|,MF1A=MF1B,tanMF1A=|MA|F1A|=15,tanPF1A=2tanMF1A1-tan2MF1A=251-125=512,直線PF1的方程為y=512(x+3),即5x-12y+15=0.由5x-12y+15=0,x24-y25=1得x=-6331,y=2562或x=3,y=52,又點(diǎn)P在第一象限,P3,52,又F2(3,0),PF2x軸,過點(diǎn)M作MGPF2交PF2于G,則|MG|=1,又|MB|=|MA|=1,SPMF1-SPMF2=12(|PF1|-|PF2|)×1=12×4×1=2.故選A.