（廣西課標(biāo)版）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練16 橢圓、雙曲線、拋物線 文

專題能力訓(xùn)練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓(xùn)練1.(2018全國,文4)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()A.13B.12C.22D.2232.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A.13B.12C.23D.323.(2019黑龍江大慶二模,8)已知F是拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),過點(diǎn)R(2,1)的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),R為線段AB的中點(diǎn).若|FA|+|FB|=5,則直線l的斜率為()A.3B.1C.2D.124.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為()A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=15.(2018全國,文11)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1PF2,且PF2F1=60°,則C的離心率為()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-16.(2019全國,文10)已知F是雙曲線C:x24-y25=1的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|OP|=|OF|,則OPF的面積為()A.32B.52C.72D.927.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是. 8.已知直線l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,拋物線C:y2=16x,P是C上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到l1與l2距離之和的最小值為. 9.如圖,已知拋物線C1:y=14x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn).10.如圖,動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0),B(1,0)構(gòu)成MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q,R,且|PQ|<|PR|,求|PR|PQ|的取值范圍.11.設(shè)橢圓x2a2+y23=1(a>3)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O為原點(diǎn),e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)H.若BFHF,且MOA=MAO,求直線l的斜率.二、思維提升訓(xùn)練12.(2019四川成都外國語學(xué)校月考,11)已知點(diǎn)F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B.若|AF1|=2a,F1AF2=23,則SAF1F2SABF2=()A.1B.12C.13D.2313.(2019全國,文12)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=114.已知拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為F,雙曲線x24-y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn),則|PF|+|PF1|的最小值為. 15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為. 16.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點(diǎn)B(1,0),點(diǎn)A是圓C上的動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線與線段AC交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程;(2)設(shè)M0,15,N為拋物線C2:y=x2上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點(diǎn),求MPQ面積的最大值.17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)C是橢圓:x2a+y2=1(a>1)上的任意一點(diǎn),AB是圓G:x2+(y-2)2=94的一條直徑(A,B是端點(diǎn)),CA·CB的最大值是314.(1)求橢圓的方程.(2)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1,F2,過點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).在線段OF2上是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.專題能力訓(xùn)練16橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓(xùn)練1.C解析因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以其焦點(diǎn)在x軸上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=22,所以橢圓C的離心率e=ca=22.2.D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=±3,所以PF=3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),故APF的面積為12×3×(2-1)=32,故選D.3.B解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)镽(2,1)為線段AB的中點(diǎn),所以x1+x2=2×2=4.根據(jù)拋物線的定義可知|FA|+|FB|=x1+x2+p=2×2+p=5,解得p=1.所以拋物線方程為y2=2x.所以y12=2x1,y22=2x2,兩式相減并化簡得y2-y1x2-x1=2y1+y2=22×1=1,即直線l的斜率為1,故選B.4.D解析雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,且OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設(shè)點(diǎn)A在漸近線y=bax上,c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.5.D解析不妨設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90°,PF2F1=60°,3c+c=2a,即(3+1)c=2a.e=ca=23+1=2(3-1)(3-1)(3+1)=3-1.6.B解析設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x024-y025=1.又|OP|=|OF|=4+5=3,x02+y02=9.由得,y02=259,即|y0|=53.SOPF=12|OF|·|y0|=12×3×53=52.故選B.7. 2解析由題意不妨設(shè)AB=3,則BC=2.設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,如圖,則在RtBMN中,MN=2,故BN=BM2+MN2=322+22=52.由雙曲線的定義可得2a=BN-BM=52-32=1,而2c=MN=2,所以雙曲線的離心率e=2c2a=2.8.922解析在同一坐標(biāo)系中畫出直線l1,l2和曲線C如圖.P是C上任意一點(diǎn),由拋物線的定義知,|PF|=d2,d1+d2=d1+|PF|,顯然當(dāng)PFl1,即d1+d2=|FM|時(shí),距離之和取到最小值.|FM|=922,所求最小值為922.9.解(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t·1+t2和直線PA的方程tx-y-t2=0.點(diǎn)B到直線PA的距離是d=t21+t2.設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)=12|AP|·d=t32.10.解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)x=-1時(shí),直線MA的斜率不存在;當(dāng)x=1時(shí),直線MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此時(shí),MA的斜率為yx+1,MB的斜率為yx-1.由題意,有yx+1·yx-1=4.整理,得4x2-y2-4=0.故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x±1).(2)由y=x+m,4x2-y2-4=0消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.對(duì)于方程,其判別式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而當(dāng)1或-1為方程的根時(shí),m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)(m>0)可知,m>0,且m1.設(shè)Q,R的坐標(biāo)分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因?yàn)閨PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.因?yàn)閤Q=m-2m2+33,xR=m+2m2+33,且Q,R在同一條直線上,所以|PR|PQ|=xRxQ=21+3m2+121+3m2-1=1+221+3m2-1.此時(shí)1+3m2>1,且1+3m22,所以1<1+221+3m2-1<3,且1+221+3m2-153,所以1<|PR|PQ|=xRxQ<3,且|PR|PQ|=xRxQ53.綜上所述,|PR|PQ|的取值范圍是1,5353,3.11.解(1)設(shè)F(c,0).由1|OF|+1|OA|=3e|FA|,即1c+1a=3ca(a-c),可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,橢圓的方程為x24+y23=1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k0),則直線l的方程為y=k(x-2).設(shè)B(xB,yB),由方程組x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=8k2-64k2+3,由題意得xB=8k2-64k2+3,從而yB=-12k4k2+3.由(1)知,F(1,0),設(shè)H(0,yH),有FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3.由BFHF,得BF·FH=0,所以4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k.因此直線MH的方程為y=-1kx+9-4k212k.設(shè)M(xM,yM),由方程組y=k(x-2),y=-1kx+9-4k212k消去y,解得xM=20k2+912(k2+1).在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+yM2=xM2+yM2,化簡得xM=1,即20k2+912(k2+1)=1,解得k=-64,或k=64.所以,直線l的斜率為-64或64.二、思維提升訓(xùn)練12. B解析如圖,根據(jù)雙曲線的定義,可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.|AF1|=2a,|AF2|=4a,|AB|=|BF2|.又F1AF2=23,F2AB=3.ABF2是等邊三角形.|AB|=4a.SAF1F2SABF2=|AF1|AB|=12.13.B解析如圖,由已知可設(shè)|F2B|=n,|BF1|=m.由|AB|=|BF1|,則|AF2|=m-n,|AB|=m.又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.由橢圓的定義及|AF2|=2|F2B|,得m-n=2n,m+n=2a,解得m=3a2,n=a2.|AF1|=a,|AF2|=a.點(diǎn)A為(0,-b).kAF2=b1=b.過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)P.由題意可知OAF2PBF2.又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=12.又kAF2=|BP|F2P|=|BP|12=b,|BP|=12b.點(diǎn)B32,12b.把點(diǎn)B坐標(biāo)代入橢圓方程x2a2+y2b2=1中,得a2=3.又c=1,故b2=2.所以橢圓方程為x23+y22=1.14.9解析由題意得拋物線x2=16y的焦點(diǎn)為F(0,4),雙曲線x24-y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0).點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn),|PF1|=|PF2|+4.|PF|+|PF1|=|PF|+(|PF2|+4)=|PF|+|PF2|+4|FF2|+4=5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)F,P,F2三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.|PF|+|PF1|的最小值為9.15.y=±22x解析拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F0,p2,準(zhǔn)線方程為y=-p2.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.所以y1+y2=p.聯(lián)立雙曲線與拋物線方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以該雙曲線的漸近線方程為y=±22x.16.解(1)由已知可得,點(diǎn)P滿足|PB|+|PC|=|AC|=25>2=|BC|,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1是一個(gè)橢圓,其中2a=25,2c=2.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為x25+y24=1.(2)設(shè)N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.聯(lián)立方程組y=2tx-t2,x25+y24=1,消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有=80(4+20t2-t4)>0,x1+x2=20t34+20t2,x1x2=5t4-204+20t2.而|PQ|=1+4t2×|x1-x2|=1+4t2×80(4+20t2-t4)4+20t2,點(diǎn)M到PQ的高為h=15+t21+4t2,由SMPQ=12|PQ|h代入化簡,得SMPQ=510-(t2-10)2+104510×104=1305,當(dāng)且僅當(dāng)t2=10時(shí),SMPQ可取最大值1305.17.解(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則x2a+y2=1.連接CG,由CA=CG+GA,CB=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),CG=(-x,2-y),可得CA·CB=CG2-GA2=x2+(y-2)2-94=a(1-y2)+(y-2)2-94=-(a-1)y2-4y+a+74,其中y-1,1.因?yàn)閍>1,所以當(dāng)y=42(1-a)-1,即1<a3時(shí),取y=-1,得CA·CB有最大值-(a-1)+4+a+74=274,與條件矛盾;當(dāng)y=42(1-a)>-1,即a>3時(shí),CA·CB的最大值是4(1-a)a+74-164(1-a),由條件得4(1-a)a+74-164(1-a)=314,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是x25+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則滿足x125+y12=1,x225+y22=1,兩式相減,整理,得y2-y1x2-x1=-x2+x15(y2+y1)=-x05y0,從而直線PQ的方程為y-y0=-x05y0(x-x0).又右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)是(2,0),將點(diǎn)F2的坐標(biāo)代入PQ的方程得-y0=-x05y0(2-x0),因?yàn)橹本€l與x軸不垂直,所以2x0-x02=5y02>0,從而0<x0<2.假設(shè)在線段OF2上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過點(diǎn)M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=5y0x0(x-x0),將點(diǎn)M(m,0)代入得-y0=5y0x0(m-x0),得m=45x0,從而m0,85.13