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余弦齒輪傳動的傳動特性分析
摘要：本文將基于數(shù)學模型分析一種的新型余弦齒輪傳動的幾個特性，比如重合度、滑動系數(shù)、接觸應力和彎曲應力等。同時還與漸開線齒輪傳動的這些特性進行了對比研究。分析了一些設計參數(shù)對傳動的影響，包括輪齒的數(shù)目、壓力角、接觸應力及彎曲應力等。并且驗證了以下結論：余弦齒輪傳動的重合度大約為1.2到1.3左右，與漸開線齒輪傳動相比縮減了20%；余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)小于漸開線齒輪傳動；余弦齒輪傳動的接觸應力和彎曲應力比漸開線齒輪傳動低；隨著輪齒數(shù)目的增加以及壓力角的增大，其接觸應力和彎曲應力會逐漸降低。
關鍵詞：齒輪傳動 余弦齒形 重合度 滑動系數(shù) 應力
引言
目前，在齒輪的設計中，漸開線齒輪、圓形齒輪及擺線針輪行星傳動這三種類型被廣泛應用。由于其不同的優(yōu)缺點，它們被應用于各種不同的場合。隨著計算機數(shù)字控制技術（數(shù)控）的發(fā)展，大量文獻提出了有關齒輪成形的結構和方法等方面的研究報告。ARIGA等人[2]利用一種結合了圓弧和漸開線的齒輪銑刀制造出新型的“維爾德哈貝爾-諾維科夫”齒輪。這種特殊的齒形可以解決常規(guī)W-N齒輪對中心距變化敏感的問題。TSAY等人[3]研究了一種由漸開線及圓弧夠成的螺旋齒輪，這種齒輪在任何時刻的齒面接觸都是一個點而不是一條直線。KOMORI等[4]開發(fā)了一種邏輯齒輪，其在各接觸點的相對曲率為零。這種齒輪與漸開線齒輪相比具有更高的耐久性和強度。ZHAO等人[5]提出了微線段齒輪的生成過程。ZHANG等人[6]提出了雙漸開線曲線的概念，這是一種聯(lián)系在一起的過度曲線，并最終形成階梯形的齒牙。
LUO等人[7]提出了余弦齒輪傳動，它采用了余弦曲線的零線作為分度圓，余弦曲線的波長作為齒間距，而齒頂高就是余弦曲線的振幅。如圖.1所示，在分度圓附近或以上的區(qū)域即齒頂高部分，余弦齒輪的齒廓與漸開線齒輪非常接近。但在齒根區(qū)域，余弦齒輪的齒厚比漸開線齒輪的齒厚更大。
在數(shù)學模型中，基于齒輪嚙合理論，很多方程式包括余弦齒輪齒廓方程、共軛齒廓方程及運動路線方程等都已建立。同時還建立了余弦齒輪的實體模型，并對齒輪傳動的嚙合進行了仿真分析[8]。這項工作的目的就是在于分析余弦齒輪傳動的特性。接下來的文章將分為三節(jié)。第一節(jié)，主要是對余弦齒輪傳動數(shù)學模型的介紹。第二節(jié)，主要對余弦齒輪傳動的幾個特性進行了分析，包括重合度、滑動系數(shù)、接觸應力及彎曲應力等。并與漸開線齒輪傳動的這些特性進行了對比研究。分析一些設計參數(shù)對齒輪傳動的影響，包括輪齒的數(shù)目、壓力角、接觸應力及彎曲應力等。最后將在第三節(jié)對研究進行總結。
圖.1 余弦齒輪與漸開線齒輪
1 余弦齒輪傳動的數(shù)學模型
根據(jù)參考文獻[8]，余弦齒廓、共軛齒廓及運動路線方程可以表示成如下方程式
x1=mZ12+hcos(Z1θ)sinθy1=mZ12+hcos(Z1θ)cosθ (1)
x2=mZ12+hcosZ1θsinθ-1+1iφ1+asinφ1iy2=mZ12+hcosZ1θcosθ-1+1iφ1-asinφ1i (2)
x=mZ12+hcosZ1θsinθ-φ1y=mZ12+hcosZ1θcosθ-φ1-mZ12 (3)
式中：m和Z1 代表模量和齒數(shù)，
h、I 和 a 分別表示齒頂高、重合度和中心距，
θ是相對于1O1,x1,y1 坐標系的旋轉角如圖.2所示，
β是余弦曲線上任意點處的切線與x1 軸的交角，
φ1是齒輪1的旋轉角，可以通過如下公式得到
φ1=arcsinmZ12+hcosZ1θsinθ+βmZ12-ββ=arctan-mZ12+hcosZ1θtanθ-hZ1sinZ1θmZ12+hcosZ1θ-hZ1tanθsinZ1θ
圖.2 余弦齒輪傳動的原理
2 余弦齒輪傳動的特性
基于數(shù)學模型，分析余弦齒輪傳動的三個重要特性：重合度、滑動系數(shù)和應力。包括將這些特性與漸開線齒輪傳動進行對比研究。
2.1 重合度
重合度可以表示一對齒輪在嚙合時的平均輪齒對數(shù)，其定義為一對輪齒從剛開始嚙合到分離時齒輪所旋轉的角度[9]。如圖.3所示，余弦齒輪的重合度可以如下表示：
ε=φe-φf2πZ1 (4)
式中：φe 和 φf 分別表示當x=xe及x=xf 時的旋轉角φ1，它們可以通過公式(3)計算得到。
圖.3 余弦齒輪傳動的重合度
通過使用數(shù)學軟件Matlab，列舉了三個例子如數(shù)表1所示。同時在表1中還列出了漸開線齒輪傳動的參數(shù)，以方便進行對比。根據(jù)表1可知，余弦齒輪傳動的重合度為1.2到1.3左右，這比漸開線齒輪傳動的重合度縮減了20%。根據(jù)參考文獻[10-11]，在齒輪泵的應用中，齒輪的重合度約為1.1到1.3，因此，余弦齒輪傳動可以應用于齒輪泵領域。
表1 余弦齒輪傳動的重合度
齒數(shù)
齒數(shù)
模量
余弦
齒輪傳動
漸開線
齒輪傳動
Z1
Z2
mmm
15
32
3
1.264
1.575
17
40
3
1.243
1.614
21
60
3
1.240
1.677
2.2 滑動系數(shù)
滑動系數(shù)是指齒輪在一個嚙合周期的滑移量。由于摩擦變小，較低的滑動系數(shù)將會有更大的動力傳動效率?；瑒酉禂?shù)被定義為其滑動弧長的比例相當于平面嚙合時的弧長比例?；瑒酉禂?shù)U1和U2可以由如下公式表示[12]：
U1=1-r2-Lr1+Li21U2=1-r1+Lr2-Li12 (5)
式中：r1和r2分別表示兩齒輪分度圓的半徑；
L表示點H在P，x，y坐標系的縱坐標；
H是接觸點法線與O1O2 線的交點，如圖.4所示。
圖.4 余弦齒輪傳動的相當滑動
i12=1i21=r2r1
因此，直線PH的斜率k可以由如下公式表示
k=-dxdy (6)
帶入公式（3）代人公式（6）可得：
k=mZ12+hcosZ1θ1-φ1'cosθ-φ1-AmZ12+hcosZ1θ1-φ1'sinθ-φ1+B (7)
式中：φ1' 和 β' 分別是 φ1 和 β 與 θ 的差，可以表示成如下公式:
φ1'=mZ12+hcosZ1θ1+β'cosθ+β-Cm2Z12-mZ12+hcosZ1θ2sin2θ+β-β'
β'=D+EmZ12+hcosZ1θ-hZ1tanθsinZ1θ2+hZ12mZ12+hcosZ1θsinZ1θ+tan2θcosZ1θmZ12+hcosZ1θ-hZ1tanθsinZ1θ2
式中：A=hZ1sinθ-φ1sinZ1θ
B=hZ1cosθ-φ1sinZ1θ
C=2hZ1sinZ1θsinθ+β
D=-mZ12+hcosZ1θsec2θ-2h2Z12sin2Z1θsec2θ
E=h2Z13tanθsin2Z1θ-sinZ1θcosZ1θ
因此，點H在坐標系P，x，y上的縱坐標可以表示為：
L=-kx0+y0 (8)
式中：（x0，y0）表示接觸點在坐標系P，x，y上的坐標。將公式（3）和公式（7）代人公式（8）可得：
L=F-GmZ12+hcosZ1θ1-φ1'sinθ-φ1+hZ1cosθ-φ1sinZ1θ+12mZ1+hcosZ1θcosθ-φ1-12mZ1 (9)
式中： G=mZ12+hcosZ1θ21-φ1'sinθ-φ1cosθ-φ1
F=hZ1mZ12+hcosZ1θsin2θ-φ1sinZ1θ
而rk1 ，rk2 和 θ 可以由下列公式得到：
rk1=mZ12+hcosZ1θrk2=rk12+a2-2rk1acosθ
將θ 和公式（9）代人公式（5）就可得到滑動系數(shù)。
這種齒輪被設計成模數(shù)m=3 mm，齒數(shù)Z1=35，傳動比i=2 。漸開線齒輪的壓力角為200，余弦齒輪的壓力角為220。根據(jù)公式（5）-（9），建立余弦齒輪傳動的主動輪及從動輪的滑動系數(shù)曲線圖，如圖.5所示。同時，為了方便進行對比，在圖.5上還畫出了漸開線齒輪傳動的滑動系數(shù)[13]。根據(jù)圖.5可知余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)小于漸開線齒輪傳動，這可以幫助改善其傳動性能。
(a) 主動輪
(b) 從動輪
圖.5 余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)
2.3 接觸應力和彎曲應力
一般情況下，組成一個有限元模型的有限單元越多，其分析的結果越精確。然而，整個齒輪傳動的有限元模型是首選地，特別是考慮到計算機的內(nèi)存限制和節(jié)約計算時間的需要。本文建立了余弦齒輪傳動的三種接觸齒形的有限元模型。其中兩個模型是基于真實的齒輪幾乎尺寸，使用Pro/E軟件建立齒輪的齒形，并輸出IGES格式文件 ，然后輸入ANSYS軟件進行應力分析。
使用下列設計參數(shù)對余弦齒輪傳動進行數(shù)值計算：Z1=25，Z2=40，m=3 mm，α=220 ，寬度b=75 mm。基于力學性能的彈性模量E=210 Gpa。泊松比μ=0.29。
扭矩為98790 N?mm。每個模型的兩面應盡量的遠，圓角的選擇應足以適用沿邊界的剛性約束。選擇輪齒下面足夠大的部分作為固定邊界。網(wǎng)狀區(qū)域使用平面-82單元。有限元模型如圖.6所示，共有3373個單元和10053個節(jié)點?？紤]了有關接觸的兩個問題：微小滑動和無摩擦。圖.7展示了馮-米塞斯應力的等高線圖。計算結果在填入表2。
圖.6 有限元分析的應用模型
圖.7 余弦齒輪傳動的應力分布（MPa）
表2 最大彎曲應力和接觸應力 MPa
齒輪
接觸應力
彎曲應力
彎曲應力
σc
（張力）σbt
（壓力）σbc
余弦齒輪
498.98
86.04
95.59
漸開線齒輪
641.58
115.24
134.00
圖.8 為在相同參數(shù)下的漸開線齒輪傳動的應力分布圖，為了方便進行對比。在輪齒圓角接觸面獲得的彎曲應力視為拉伸應力，而在輪齒背面的視為壓縮應力。
圖.8 漸開線齒輪傳動的應力分布（MPa）
從獲得的數(shù)值結果中可以得到以下結論：與漸開線齒輪相比，改成余弦后期最大接觸應力減速了約22.23%；余弦齒輪彎曲應力中的拉伸應力比漸開線齒輪減少了25.34%，而壓縮應力比漸開線齒輪減少了28.67%；余弦齒輪在應用中允許減少其接觸和彎曲應力。
2.4 設計參數(shù)對應力的影響
用兩個例子，在有限元模型的基礎上對設計參數(shù)的影響進行說明，設計參數(shù)包括輪齒數(shù)目、壓力角、接觸和彎曲應力等
例子1：齒輪的壓力角α=220，在分度圓上，模量m=3 mm，寬b=75 mm。其他主要參數(shù)在表.3中顯示
表3 齒輪的主要設計參數(shù)（例子1）
序號
齒數(shù) Z1
傳動比 i
1
20
1.6
2
25
1.6
3
30
1.6
使用上述材料參數(shù)，通過ANSYS軟件同時對三組余弦齒輪的接觸和彎曲應力進行分析。結果如圖.9，圖.7及圖.10所示，接觸與彎曲應力的數(shù)值如表4所示。根據(jù)表4可知隨著輪齒數(shù)目的增加，接觸應力和彎曲應力會逐漸減小。此例子中，當齒數(shù)Z1=20時，其接觸應力、拉伸和壓縮彎曲應力分別為569.76MPa、117.51MPa和124.98MPa，當齒數(shù)Z1=30時，它們分別為410.61MPa、64.52MPa和74.41MPa。
圖.9 余弦齒輪傳動的應力分析（Z1=20）(MPa)
圖.10 余弦齒輪傳動的應力分布（Z1=30）(MPa)
表4 余弦齒輪在不同齒數(shù)下的應力 MPa
齒數(shù)
接觸應力
彎曲應力
彎曲應力
Z1
σc
（拉伸）σbt
（壓縮）σbc
20
569.76
117.51
124.98
25
498.98
86.04
95.59
30
410.61
64.52
74.41
例子2：齒輪的模量m=3 mm，齒數(shù)Z1=25，寬b=75 mm。其他主要參數(shù)如表5所示。
表5 齒輪的主要計算參數(shù)（例子2）
序號
壓力角 α/(0)
傳動比 i
1
22
1.6
2
23
1.6
3
24
1.6
使用上述材料參數(shù)，通過ANSYS軟件對其接觸應力和彎曲應力進行分析。結果如圖.7、圖.11和圖.12所示，接觸應力和彎曲應力的數(shù)值如表6所示。
圖.11 余弦齒輪傳動的應力分析（α=230）（MPa）
圖.12 余弦齒輪傳動的應力分布（α=240）（MPa）
表6 不同壓力角下余弦齒輪的應力
壓力角
接觸應力
彎曲應力
彎曲應力
α/(0)
σc
（拉伸）σbt
（壓縮）σbc
22
498.98
86.04
95.59
23
448.96
80.89
91.02
24
395.43
71.81
86.32
根據(jù)表6，接觸應力和彎曲應力的大小隨著壓力角的增大而減小。此例子中，當壓力角α=220時，其接觸應力、拉伸和壓縮彎曲應力分布為498.98MPa、86.04MPa和95.59MPa，當壓力角α=240時，它們分別為395.43MPa、71.84MPa和86.32MPa。
3 總結
研究了一種新型的齒輪傳動——余弦齒輪傳動。這種齒輪以余弦曲線作為齒廓?；跀?shù)學模型對余弦齒輪的特性進行了研究，包括重合度、滑動系數(shù)和應力。分析了設計參數(shù)的影響，包括輪齒數(shù)目、分度圓上的壓力角及應力等。研究所得到的結果得出了以下結論。
（1）根據(jù)表1，余弦齒輪傳動的重合度約為1.2到1.3，比漸開線齒輪傳動縮減了20%。
（2）根據(jù)圖.5 余弦齒輪傳動的滑動系數(shù)略低于漸開線齒輪傳動。
（3）余弦齒輪傳動的接觸和彎曲應力比漸開線齒輪傳動低。研究顯示，在第2節(jié)所給出的參數(shù)下，余弦齒輪傳動的最大接觸應力與漸開線齒輪傳動相比減小了22.23%，其壓縮彎曲應力與漸開線齒輪傳動相比減小了28.67%。
（4）根據(jù)有限元模型例子可得，接觸應力和彎曲應力都隨著齒數(shù)和壓力角的增大而減小。
（5）余弦齒輪傳動是一種新型的齒輪傳動，因此，其他的一些特性，如檢測、對中心距變化的敏感度以及其制造過程等都應在將來進行仔細的研究分。