古典概型與幾何概型).ppt

1.3古典概型與幾何概型1.3.1排列與組合公式1.排列從n個不同元素中任取r個元素排成一列（考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱此為一個排列，此種排列的總數(shù)為若r=n，則稱為全排列,全排列的總數(shù)為An=n!,第1章概率論基礎(chǔ),2.重復排列從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取出下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復排列，此種重復排列數(shù)共有nr個，這里r允許大于n,1.3.1排列與組合公式,3.組合從n個不同元素中任取r個元素并成一組（不考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱為一個組合，此種組合的總數(shù)為易知，排列組合公式在古典概型的概率計算中經(jīng)常使用,1.3.1排列與組合公式,1.3.2古典概型具有以下兩個特點的試驗稱為古典概型：(1)有限性：試驗的樣本空間只含有限個樣本點；(2)等可能性：試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同對于古典概型，若樣本空間中共有n個樣本點，事件A包含k個樣本點，則事件A的概率為容易驗證，由上式確定的概率滿足公理化定義,1.3古典概型與幾何概型,【例1.5】（摸球問題）箱中盛有個白球和個黑球，從其中任意地接連取出k+1個球(k+1+)，如果每個球被取出后不再放回，試求最后取出的球是白球的概率,1.3.2古典概型,解：由于注意了球的次序，故應(yīng)考慮排列接連不放回地取k+1個球的所有結(jié)果共有個，即樣本空間中共有個樣本點最后取出的白球可以是個白球中的任一個，共有種取法，其余k個可以是其余+1個的任意k個，共有種取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一個是白球”中共含有個樣本點，于是,與k無關(guān)！,1.3.2古典概型,【例1.6】（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率被分配在N（nN）間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n間房中各有一人”；(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”,1.3.2古典概型,解：因為每個人都可以分配到N間房中任一間，所以n個人分配房間的方式共有Nn種，即樣本空間中所有樣本點的個數(shù)為Nn(1)A=“某指定n間房中各有一人”，“某指定n間房中各有一人”的分配方法共有n!種，因而事件A中含有n!個樣本點，于是,1.3.2古典概型,(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”這n間房可自N間中任意選出，共有種選法，因而事件B中含有個樣本點，于是,1.3.2古典概型,(3)C=“某指定房中恰有m(mn)人”事件C中的m個人可自n個人中任意選出,共有種選法，其余nm個人可以任意分配在其余N1間房里，共有個分配法，因而事件C中有個樣本點，于是,1.3.2古典概型,1.3.3幾何概型具有以下兩個特點的試驗稱為幾何概型：(1)隨機試驗的樣本空間為某可度量的區(qū)域；(2)中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān),1.3古典概型與幾何概型,對于幾何概型，若事件A是中的某一區(qū)域，且A可以度量，則事件A的概率為其中，如果是一維、二維或三維的區(qū)域，則的幾何度量分別是長度、面積和體積,1.3.3幾何概型,【例1.8】（約會問題）甲乙兩人約定在下午6點到7點之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率,1.3.3幾何概型,解：以x和y分別表示甲乙兩人到達約會地點的時間（以分鐘為單位），在平面上建立xOy直角坐標系，因為甲乙都是在0到60分鐘內(nèi)等可能到達，所以這是一個幾何概型問題樣本空間=(x，y)：0x，y60事件A=“甲乙將會面”=(x，y)：|xy|20因此,1.3.3幾何概型,【例1.9】（蒲豐投針問題）平面上畫有間隔為d(d>0)的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l(l<d)的針，求針與任一平行線相交的概率解：以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與直線間的交角易知樣本空間滿足由這兩式可以確定xOy面上的一個矩形，其面積為,1.3.3幾何概型,事件A=“針與平行線相交”當且僅當因此,1.3.3幾何概型,蒲豐投針試驗的應(yīng)用及意義：當投針試驗次數(shù)n很大時，測出針與平行線相交的次數(shù)m，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，頻率值可作為P(A)的近似值帶入上式，那么利用上式可以計算圓周率的近似值,1.3.3幾何概型,課堂思考某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.,假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,一周內(nèi)接待12次來訪共有,12次接待都是在周二和周四進行的共有,故12次接待都是在周二和周四進行的概率為,實際應(yīng)用中，認為小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的.,興趣拓展,生日問題(1)n個人生日各不相同的概率(n365).,解答下面問題并利用計算機進行計算:,計算機計算結(jié)果:,