《數(shù)學命題教學》PPT課件.ppt

第十章數(shù)學命題及其教學,數(shù)學命題的邏輯基礎數(shù)學命題的教學,數(shù)學命題的邏輯基礎,判斷的意義和種類1.數(shù)學判斷對思維對象有所肯定或否定的思維形式叫做“判斷”。數(shù)學判斷是關于數(shù)學對象及其屬性的判斷。判斷與真假：判斷有真假之分，是否符合客觀實際情況、是否與事實相一致是一個判斷真實與虛假的標準。2.判斷的構成如果用S表示判斷的對象，P表示性質，則S叫做判斷的“主項”，P也叫做“謂項”。“所有的”或“有的”表示主項的數(shù)量，叫做“量詞”，在全稱判斷中量詞常常省略不寫；“是”或“不是”稱為聯(lián)結詞，表示肯定或否定。,數(shù)學命題的意義在數(shù)學中，用來表示數(shù)學判斷的語句或符號的組合叫做“數(shù)學命題”。對于無法判斷其真假的語句，稱為開（語）句。注：形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的內容，只從真值的角度研究命題的形式及各種命題之間的關系。但在數(shù)學中，既研究命題的內容，又研究命題的形式，把內容和形式統(tǒng)一起來研究數(shù)學命題。如在形式邏輯中，命題“如果1>3,那么1+2>3+2.”但在數(shù)學中,4.數(shù)學命題,數(shù)學命題有真假之分。不是所有的語句或數(shù)學式子都是數(shù)學命題。在命題邏輯中，通常用“p,q,r,s,t”等表示命題，這種命題符號稱為命題變元（變量、變項），命題變元的取值只能是“真”和“假”，分別用“1”和“0”表示。,請大家判斷以下語句是否是數(shù)學命題：（1）數(shù)學是一門科學；（2）；（3）67;（6）你在干什么？（7）禁止吸煙！（8）2比3大嗎？（9）哎呀！那還得了！,數(shù)學命題一般可分為簡單命題和復合命題兩大類。簡單命題就是不包含其他命題的命題，又可分為性質命題和關系命題兩種。象“一切矩形都是平行四邊形”、“自然數(shù)不是無理數(shù)”、“有些奇數(shù)是素數(shù)”等都是性質命題；象“一切正數(shù)都大于零”、“直線a平行于直線b”等都是關系命題。,簡單命題（1）性質命題性質命題：判斷某事物具有（不具有）某種性質的命題。性質命題的結構：主項、謂項、量項和聯(lián)項。有些一元二次方程沒有實數(shù)根（量項）（主項）（聯(lián)項）（謂項）量項有“全稱”和“特稱”之分，聯(lián)項有“肯定”和“否定”之分，將之組合，可以得到四種形式的性質命題：全稱肯定、全稱否定、特稱肯定、特稱否定。此外還有單稱肯定和單稱否定。,（2）關系命題關系命題：判斷事物與事物之間關系的命題關系命題的結構：主項、謂項和量項直線a平行于直線b（主項）（謂項）（主項）（前項）（后項）數(shù)學中常見的是二元關系：aRb,復合命題與邏輯聯(lián)結詞復合命題是由兩個或兩個以上簡單命題通過邏輯聯(lián)結詞結合起來而構成的命題。常用的邏輯聯(lián)結詞有以下五種：否定、合取、析取、蘊涵、等價形成的命題分別稱為：負命題、聯(lián)言命題、選言命題、假言命題和充要條件假言命題,1.否定（非），其真值表如下：,否定（非）：在一個語句之前加上“并非”，就構成一個新的語句，叫原來語句的否定。,2.合?。ㄅc，且）,合?。ㄅc、并且）：兩個語句p和q用“與”聯(lián)接起來構成新的語句“p與q”稱為合取式，亦稱為聯(lián)言命題，“pq”,3.析取（或）,析?。ɑ颍簝蓚€語句p、q用或聯(lián)接起來所構成的新的語句“q或p”稱為析取式，亦稱為選言命題,4.蘊涵（如果，則）,P:a和b都是偶數(shù)，Q:a+b也是偶數(shù)。,當前件為假時，無論后件為真還是假，都不與原來的命題矛盾。,蘊涵（如果。，那么。）：把命題p、q用“如果。，那么。聯(lián)接起來，得到新的命題”如果p，那么q”，pq，這個式叫蘊涵式，“p蘊涵q”，p、q分別叫前后件（即前提和結論）。,5.等價（當且僅當）,等價（當且僅當）：將兩個命題p、q用“當且僅當”聯(lián)接起來，構成復合命題“p當且僅當q”，pq,例如：（1）2+3=5（真）（2）47=30（假），等價式：（2+3=5）（47=30）（假）例如：（1）三角形兩邊之和小于第三邊（假）（2）李白是清朝文人（假）。等價是：“三角形兩邊之和小于第三邊”當且僅當“李白是清朝文人”（真）,幾點說明：一個命題中如果沒有邏輯聯(lián)接詞出現(xiàn)，那么該命題一定是簡單命題以上五種式子是復合命題中最簡單的形式，由這些基本形式經(jīng)過各種組合，可以得到更加復雜的復合命題。簡單命題的真假由數(shù)學內容來決定，而經(jīng)過復合后的命題其真假值則由真值表來決定。,復合命題的值,求復合命題的值，可先窮盡地列出p、q取值可能，然后再根據(jù)聯(lián)結詞的強弱順序，逐步得出各層復合命題的值，直到最后求出整個復合命題的值。聯(lián)結詞的強弱順序：,恒真命題：一個命題在任何情況下都為真恒假命題：一個命題在任何情況下都為假,1111,1000,0111,0101,1010,1100,恒真命題,10111011,11110101,11111001,10110001,11111111,邏輯等價,如果兩個復合命題A、B的真值表相同，我們就稱A、B邏輯等價。記為“”,可以驗證下列邏輯等價式：,冪等律,數(shù)學命題的四種形式及其關系為了更好地研究數(shù)學命題：若p則q，有必要研究命題的四種形式及其關系命題的四種形式：（1）原命題：pq；（2）逆命題：qp；（3）否命題：pq；（4）；逆否命題：qp。四種命題的關系：原命題和逆命題是互逆的，否命題和逆否命題是互逆的，原命題和否命題是互否的，逆命題和逆否命題是互否的，原命題和逆否命題是互為逆否的，逆命題和否命題是互為逆否的。,假言命題的四種形式及其之間的關系,例子：1.原命題：如果兩個三角形全等，則這兩個三角形等積。,逆命題：如果兩個三角形等積，則這兩個三角形全等。,否命題：如果兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等積。,逆否命題：如果兩個三角形不等積，則這兩個三角形不全等。,真,假,假,真,2.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分。,逆命題：如果一個四邊形的對角線互相平分，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相平分。,逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相平分，則它不是平行四邊形。,真,真,真,真,3.原命題：如果一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相垂直。,逆否命題：如果一個四邊形的對角線不互相垂直，則它不是平行四邊形。,逆命題：如果一個四邊形的對角線互相垂直，則它是平行四邊形。,否命題：如果一個四邊形不是平行四邊形，則它的對角線不互相垂直。,假,假,假,假,它們之間的關系可以用真值表來證明：,從真值表中可以得出：原命題和逆否命題等價；逆命題和否命題等價。所有四種命題中實質不同的只有兩種，其它兩種只是形式不同而已。在數(shù)學論證中經(jīng)常用到具有逆否關系命題的等價性，在證明一個命題時，可以將之轉換成它的逆否命題的形式加以證明。,同一原理互逆的兩個命題未必等價。但是,當一個命題的條件和結論都唯一存在,它們所指的概念的外延完全相同,是同一概念時,這個命題和它的逆命題等價。這一性質通常稱為同一原理或同一法則。例如,“等腰三角形底邊上的中線是底邊上的高線”是一個真命題,這個命題的條件“底邊上的中線”有一條且只有一條,結論“底邊上的高線”也是有一條且只有一條。這就是說,命題的條件和結論都唯一存在。由于這個命題為真,所以命題的條件和結論所指概念的外延完全相同,是同一概念。因此,這個命題的逆命題“等腰三角形底邊上的高線是底邊上的中線”也必然為真。同一原理是間接證法之一的同一法的邏輯根據(jù)。對于符合同一原理的兩個互逆命題,在判定其真假時,只要判定其中的一個就可以了。在實際判定時,自然要選擇易判定的那個命題。,偏逆命題及其否命題,把原命題中數(shù)目相同的部分前提和結論互換后得到的命題稱為原命題的偏逆命題。例如原命題：如果a和b都是偶數(shù)，則a+b也是偶數(shù)。,真,真,(a是偶數(shù))(b是偶數(shù))(a+b是偶數(shù)),偏逆1：(a是偶數(shù))(a+b是偶數(shù))(b是偶數(shù)),偏逆2：(a+b是偶數(shù))(b是偶數(shù))(a是偶數(shù)),例如原命題：在圓內，弦的垂直平分線必過圓心并且平分這條弦所對的弧。逆命題：在圓內，過圓心并且平分弦所對的弧的直線必垂直平分這弦。偏逆命題1：在圓內，過圓心且平分弦的直線必垂直這弦所對的弧，一個原命題的偏逆命題一般有數(shù)個。偏逆命題和其它三個命題沒有前面那樣的簡單關系。,請大家作出下面這個命題的偏逆命題：如果四邊形ABCD是平行四邊形，則它的對邊相等。,(ABCD)(BCAD)(AB=CD)(BC=AD),(ABCD)(AB=CD)(BCAD)(BC=AD),(AB=CD)(BCAD)(ABCD)(BC=AD),(ABCD)(BC=AD)(AB=CD)(BCAD),(BC=AD)(BCAD)(AB=CD)(ABCD),充分條件和必要條件,數(shù)學數(shù)學命題中的條件分成充分條件、必要條件和充分必要條件。充分條件：如果命題“若p則q”為真，則條件p就稱為使q成立的充分條件必要條件：如果命題“若q則p”為真，則條件p就稱為使q成立的必要條件顯然若p是q成立的充分條件，則q一定是使p成立的必要條件，反過來也對。充分必要條件：如果“若p則q”和“若q則p”均為真，則p是q成立的充分必要條件。在解題或證明中要明確充分條件和充要條件,關于公理和公理化方法（新概念舊概念更舊的概念原始概念）定理舊命題更舊的命題公理不加定義的原始概念稱為基本概念；不加證明而承認的命題稱為公理。公理化方法：從盡可能少的基本概念和公理出發(fā)，運用邏輯推理，建立數(shù)學分支的方法。公理系統(tǒng)中的公理應滿足的三個條件：（1）相容性：同一公理系統(tǒng)中的公理本身不能矛盾，由公理推導的結果也不能矛盾（2）獨立性：任一公理不能由其它公理推出（3）完備性：該系統(tǒng)中的全部命題均可推出而不能借助直觀,演繹數(shù)學的興起,歐幾里得Euclid(ca.325-ca.270BC),公理化方法與歐幾里得的幾何原本,原本(Elements),共十三卷，包括五條公理、五條公設、一百一十九個定義和四百六十五條命題,第11、12、13卷：立體幾何及窮竭法,第10卷：不可公度量,第7、8、9卷：數(shù)論的內容,第5卷：比例理論第6卷：比例理論的幾何應用,第1卷：23個定義、公理、公設第1、3、4卷：平面幾何內容第2卷：幾何代數(shù)內容,基本定義,1、假定從任意一點到任意一點可作一直線2、一條有限直線可不斷延長3、以任意中心和直徑可以畫圓4、凡直角都彼此相等5、若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交,公理,1、等于同量的量彼此相等2、等量加等量，和相等3、等量減等量，差相等4、彼此重合的圖形是全等形5、整體大于部分,公設,點、線、面、圓等,定理：根據(jù)已知概念和真命題，遵照邏輯規(guī)律，運用正確邏輯方法來證明其真實性的命題。定理的結構：條件（題設或已知）、結論（題斷或求證）逆定理：一個定理的逆命題若為真，則稱其為該定理的逆定理。判定定理：用來確定某個對象存在的充分條件的定理。性質定理：確定某個對象存在的必要條件的定理。引理：為證明一個主要定理作準備，先證明的一個或幾個“小定理”。推論（或系）：從公理或定理直接推出來的定理。證明題：在教材中通常列入例題或習題，作為推理論證的練習。,關于定理：,簡單定理條件和結論中所含事項都只有一個的定理稱為簡單定理。例如：同一個三角形中，大角對大邊。復合定理條件和結論中所含事項不只是一個的定理叫做復合定理。例如：等角的鄰補角相等,數(shù)學命題的教學,數(shù)學命題學習的心理分析命題教學的基本要求和教法探討,學生學習數(shù)學命題的心理分析,對公理、定理、公式的學習很大程度上依賴于直接感知難以從條件與結論的關系上把握條件命題孤立地學習定理、公式,數(shù)學命題的教學設計（見書P111）,命題的提出命題的明確（已知條件、結論和適用范圍）命題的證明與推導（思路、方法、技巧）命題的運用與系統(tǒng)化,命題的引入方法：(1)通過對具體事物觀察和實驗與實踐活動，做出猜想（2）通過推理直接發(fā)現(xiàn)結論（3）通過命題間的關系，對一個命題做出變形（逆命題、偏逆命題等）,公理、定理、公式的教法探討,公理的教法采用學生熟知的具體事例或生活經(jīng)驗出發(fā)讓學生了解什么是公理：它的真實性不能由邏輯推理來確定，是人們長期實踐的總結，是數(shù)學的基石或出發(fā)點。在教學中要讓學生體會引入公理的必要性：如果沒有公理的引入，則進一步的推理便無法進行。引入公理也要有個過程，通過引導學生對實際事物的觀察，進行一定的實驗和檢驗，從而不但讓學生對公理的真實性確信不疑，也便于學生對公理的理解和記憶。,了解定理的由來：在教學過程中一般不先提出命題的內容，最好通過實驗、演算等手段，先讓學生自己思考，估計出命題的內容，然后再去論證。明確定理的條件和結論（定理的結構）：中學數(shù)學里，命題大部分是以充分條件形式出現(xiàn)的，要對命題的結構進行分析，使學生分清已知條件和結論（“在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”“如果一點在一個角的平分線上，那么這點到這個角的兩邊的距離相等”）,定理的教學,講清定理證明的思路和方法：一般以口頭分析探索證明的途徑，然后用綜合法簡練地表達出來，在該過程中學生的積極參與是重要的。先分析后綜合不僅在幾何中，在代數(shù)中可同樣運用。,定理的應用：懂得不等于會用，使學生會用（甚至熟練）定理解決有關的問題是定理教學中的重要一環(huán)?？赏ㄟ^例題、習題（反饋、修正）等使學生逐步掌握定理的應用。把所學定理納入定理系統(tǒng)中：教學中的定理都是定理系統(tǒng)中的一個，要讓學生弄清定理在系統(tǒng)中的地位和作用以及和其它定理之間的關系等，這樣做可以使學生更加深刻地理解定理，同時也使對定理的記憶更加容易。定理證明中要注意的：1、注意圖形的正反方面的作用；2、嚴密的推理是論證的核心；3、重視書寫的格式。,公式的教學公式是定理的另一種形式，是用字母和符號表示的命題。因此原則上公式的教學和定理的教學并沒有什么區(qū)別。要重視公式的推導，要在教師的指導下讓學生自己進行推導，教師作必要的提示。公式的推導可以幫助學生對公式的記憶、明確公式的條件以及培養(yǎng)學生的推理能力。利用公式的外形和特征進行記憶注意公式的條件，忽視公式的條件是發(fā)生錯誤的原因之一。注意公式的正反使用：,法則的教學法則是揭示對象之間普遍聯(lián)系的一種命題形式，一般是圍繞運算展開的。法則可以分成定義型和公式型兩類。定義型法則的教學類似于概念的教學，公式型法則的教學則類似于數(shù)學公式的教學。法則教學的重點在應用：正確運用熟練運用迅速而合理簡化運算過程。,設解：因為x>0,y>0,所以從而而所以的最小值為,