第四講分類討論型問題

分類討論型問題的解題策略數(shù)學(xué)思想和方法屬于基礎(chǔ)知識的范疇，分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法。近年各地中考試題都加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思想方法的考查，其中分類討論思想的應(yīng)用最為廣泛，成為檢測學(xué)生分析問題和解決問題能力的常見題型。分類討論是在解題過程中，將某一數(shù)學(xué)對象根據(jù)它本身的本質(zhì)屬性，按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后逐類進(jìn)行討論解決，再把這幾類的結(jié)論匯總，得出問題的答案的一種思想方法；其作用是克服思維的片面性，防止漏解。常見的分類討論題有：按數(shù)分類（絕對值概念，實(shí)數(shù)的分類等）；按字母的取值范圍分類（二次根式的化簡，一元二次方程概念中二次項(xiàng)不為0等）；按圖形的位置分類（如點(diǎn)與直線，直線與圓的位置關(guān)系等）?？疾榉绞接刑羁疹}，選擇題，綜合題，特別是在中考壓軸題中，往往涉及分類討論思想?！纠}講解】例1 、若是關(guān)于x的一元二次方程，求a、b的值解答：當(dāng) 或或或或時，原方程為關(guān)于x的一元二次方程，因此，得或或或或解析： 結(jié)合方程特點(diǎn)，由于 x2a+b項(xiàng)的次數(shù)是2a+b ， -2x a -b項(xiàng)的次數(shù)是a b,因而考慮這兩個次數(shù)至少有一個為2即可，共有五種情況。按題目的要求解決問題時，考慮問題要全面周到，要把所有可能的情況進(jìn)行窮舉，避免出現(xiàn)少解或漏解的情況。例2、（04年貴陽市）如圖，AB是半圓O的直徑，BC是弦，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1的速度移動，若AB長為10，點(diǎn)O到BC的距離為4。（1） 求弦BC的長；（2） 問經(jīng)過幾秒后，BPC是等腰三角形。點(diǎn)拔：第（2）問中P為動點(diǎn)，使得線段PB、PC的長是變化的，由于在“BPC是等腰三角形”的條件中，沒有指明哪兩條邊為腰，所以要分三種不同情況進(jìn)行討論才能將問題回答完整。解答：（1）過O作ODBC于D，則BD=CD，在RtOBD中，用勾股定理求得BD=3 BC=6（2設(shè)經(jīng)過x秒，BPC為等腰三角形，PA= x，PB=10 x 當(dāng)PB=BC時，10 x = 6，x = 4 當(dāng)PB=PC時，則P與O點(diǎn)重合，PB=5 ，10 x=5 x =5 當(dāng)PC=BC時，過C點(diǎn)作CEAB于E點(diǎn)，連結(jié)AC，在RtABC中，求得AC=8，由AC2 AE2 = BC2 BE2，得x =2.8綜上所述：經(jīng)過2.8秒、4秒、5秒時BPC是等腰三角形。解析：1、本題的第（1）問過O作ODBC于D，OD是“弦心距”線段，見弦作出“弦心距”線段，使用勾股定理和垂徑定理解題是圓中常用的作輔助線方法。2、本題的第（2）問是分別將PBC固定，再求解，體現(xiàn)了由動到靜的轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想。與等腰三角形、直角三角形、三角形全等或相似有關(guān)的分類討論的考題是近年中考的熱點(diǎn)題型。例3、（04年濟(jì)南市）如圖，已知直線的圖象與、軸交于A、B兩點(diǎn)直線經(jīng)過原點(diǎn)，與線段AB交于點(diǎn)C，把AOB的面積分為21的兩部分求直線的解析式解答：先求得 A( -3, 0) , B(0 , 3) . 如圖（1），當(dāng)直線 l 把ABO的面積分為SAOCSBOC =21時,作CFOA于F，CEOB于E，SAOB= . 則SAOC ，AO·CF=3 . 即 CF=2 . 同理，解得 CE = 1 . C( -1 ,2) . 直線l的解析式為 如圖（2），當(dāng)直線 l 把ABO的面積分為SAOCSBOC=12時,同理求得C( - 2 ,1) . 直線l的解析式為 y= - 0 .5x . 解析：本題是由語言的模糊性導(dǎo)致分類情況的產(chǎn)生，AOB是定三角形， “直線OC把AOB的面積分為21的兩部分”時，C點(diǎn)的位置并不確定，出現(xiàn)兩種情況，畫出符合題意的兩種圖形分別進(jìn)行求解即可。本題要求學(xué)生通過分析題意畫出符合要求的圖形，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識。例4、已知：在ABC中，C=90，AC=BC=8，要在ABC中剪出一個扇形，使扇形的半徑都在ABC的邊上，且扇形的弧與ABC的其他邊相切。（1） 請畫出符合題意的設(shè)計(jì)方案示意圖；（2） 若用剪下的扇形作圓錐的側(cè)面，請計(jì)算出此圓錐的底面半徑。解：（1）有四種設(shè)計(jì)方案， (2)如圖（a），取AB中點(diǎn)M，以點(diǎn)C為圓心，CM長為半徑畫弧，分別交BC、AC于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)CM。求得l =2 l=2r，2r=2，r=如圖（b），作B的平分線交AC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OC長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E，作OMAB于M，則CO=OM，求得l = (8 8) ，l=2r，2r = 2 (8 8) ，解得r = 4 4如圖（c），以A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于D，求得l=2 r=1如圖(d)，取AB中點(diǎn)O，作ODAC于D，O為圓心，OD長為半徑畫弧，交AB于E、F兩點(diǎn)求得l = 4，r= 2綜上所述：r= 或r = 44或r=1或r= 2解析：這是一道考查學(xué)生動手作圖能力的設(shè)計(jì)題。要使扇形的半徑都在ABC的邊上，則有兩種情況：其一為扇形的頂點(diǎn)在RtABC的一邊上，由于直角三角形有直角邊、斜邊之分；有銳角頂點(diǎn)、直角頂點(diǎn)之分，所以它們又各有兩種情況。求圓錐的底面半徑時只需注意扇形的弧長是圓錐底面的周長。例5、如圖，等腰ABC的兩直角邊AB=AC=6cm,O的半徑為rcm，圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路ABBCCA運(yùn)動，回到點(diǎn)A時，O隨著點(diǎn)O所運(yùn)動而移動。（1）若r=cm,求O第一次與BC邊相切時，AO的長；（2）在O移動過程中，自A點(diǎn)出發(fā)再移動到與A點(diǎn)重 合，與各邊共相切幾次？請寫出不同情況下r的取值范圍及相切的次數(shù)；（3）設(shè)O在整個移動過程中，在ABC內(nèi)部，O未經(jīng)過的部分的面積為S（cm2），在S0時，求S關(guān)于r的函數(shù)解析式。解答：（1）設(shè)O首次與BC相切于點(diǎn)D，則有ODBC，且OD= r =，在R tBDO中，OBD=45° AO= AB - OB=（62）cm，（2）由等腰直角三角形的直角邊AB=6cm,所以作斜邊BC上的高AF，則AF=AB·Sin45°= 6×當(dāng)r6 cm時，O與ABC各邊不相切；當(dāng)r = 6 cm時，O與ABC各邊共相切2次；當(dāng)6r6 cm時，O與ABC各邊共相切4次；當(dāng)r = 6 cm時，O與ABC各邊共相切5次；當(dāng)0r6 cm時，O與ABC各邊共相切6次；（3）如圖，已知在S0時，O在移動中，在RtABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為等腰直角三角形，這個RtABC的三邊分別與原RtABC三邊平行，且平行線間距離等于r。設(shè)BC與AF交于E點(diǎn)，則AEBC，又過點(diǎn)A作AGAB于點(diǎn)G，則AG= r AA=r ，AE=AF r r= 6（+1）r。BC=26 （+1）r S = BC·AE=×26 （+1）r·6（+1）r =6 （+1）r2=（3+2）r2 12（+1）r+36 0r6（ 1）解析：第（2）問是動圓與直線相切的問題，想象出動圓與三角形各邊相切的情況，針對每一種可能出現(xiàn)的情況來求解，方能保證解題的完整性，體現(xiàn)了分類討論思想的重要性。第（3）問關(guān)鍵是能畫出未經(jīng)過部分的圖形形狀。此題綜合性強(qiáng)，難度大，應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練?！眷柟叹毩?xí)】1、如圖1，在ABC 中，B 、C 均為銳角，其對邊分別為b、c,求證：=；（2）在ABC 中，AB=，AC=，B =450,問滿足這樣的ABC 有幾個?在圖2中作出來(不寫作法,不述理由)并利用(1)的結(jié)論求出ACB的大小。 2、（04年廣東茂名市）已知：ABC的兩邊AB、BC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根，第三邊長為10。問當(dāng)為何值時，ABC是等腰三角形。3、閱讀下面的例題：解方程解：（1）當(dāng)x0時，原方程化為x2 x 2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合題意，舍去）（2）當(dāng)x0時，原方程化為x2 + x 2=0，解得：x1=1,（不合題意，舍去）x2= -2原方程的根是x1=2, x2= - 2 請參照例題解方程4、（04年云南）如圖已知ABC內(nèi)接于O，AE切O于點(diǎn)A，BCAE。（1）求證：ABC是等腰三角形；（2）設(shè)，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，問這樣的點(diǎn)有幾個？并求AP的長；5、（01咸寧市）如圖已點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），動點(diǎn)P在直線y=x3上，求使PAO為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)。BDCA6、（04浙江省衢州市）如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm.P、Q兩點(diǎn)同時從A點(diǎn)出發(fā)，分別以1cm/秒和2cm/秒的速度沿ABCDA運(yùn)動，當(dāng)Q點(diǎn)回到A點(diǎn)時，P、Q兩點(diǎn)即停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時間為t秒。（1） 當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運(yùn)動時，設(shè)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形面積為s，請寫出s關(guān)于t的函數(shù)解析式及自變量t的取值范圍。（2） 在整個運(yùn)動過程中，t取何值時，PQ與BD垂直。 【參考答案】1、 2、由已知方程得： 不妨設(shè)AB=，BC=，顯然ABBC。而ABC的第三邊長AC為10。（1）若AB=AC，則=10，得=8，即=8時，ABC為等腰三角形； （2）若BC=AC，則=10，即=10時。ABC為等腰三角形； 3、x1= 0 ，x2= 24、（1）BCAE，BCA=CAE，又AE切O于點(diǎn)A，CAE=ABC，BCA=ABC ，AB=AC ABC是等腰三角形。（2）射線AE上滿足條件的點(diǎn)有兩個 過點(diǎn)C作CP1AB交AE于點(diǎn)P1，此時A P1CBCA，又AC=AB，AP1CBCA，這時A P1=BC=8 過點(diǎn)C作O的切線交AE于點(diǎn)P2，則A P2=C P2 ，AC P2=CA P2=BCA=CBA，A P2CBAC，可求得，AP的長為8或5、（0，3）或（2，2）6、(1)s=-t2+15t-50 (5<t<10) (2) t=6或t=25