第四講分類討論型問題
分類討論型問題的解題策略數(shù)學(xué)思想和方法屬于基礎(chǔ)知識的范疇,分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種數(shù)學(xué)思想方法。近年各地中考試題都加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思想方法的考查,其中分類討論思想的應(yīng)用最為廣泛,成為檢測學(xué)生分析問題和解決問題能力的常見題型。分類討論是在解題過程中,將某一數(shù)學(xué)對象根據(jù)它本身的本質(zhì)屬性,按照一定的原則或標(biāo)準(zhǔn)分成若干類,然后逐類進(jìn)行討論解決,再把這幾類的結(jié)論匯總,得出問題的答案的一種思想方法;其作用是克服思維的片面性,防止漏解。常見的分類討論題有:按數(shù)分類(絕對值概念,實(shí)數(shù)的分類等);按字母的取值范圍分類(二次根式的化簡,一元二次方程概念中二次項(xiàng)不為0等);按圖形的位置分類(如點(diǎn)與直線,直線與圓的位置關(guān)系等)??疾榉绞接刑羁疹},選擇題,綜合題,特別是在中考壓軸題中,往往涉及分類討論思想?!纠}講解】例1 、若是關(guān)于x的一元二次方程,求a、b的值解答:當(dāng) 或或或或時,原方程為關(guān)于x的一元二次方程,因此,得或或或或解析: 結(jié)合方程特點(diǎn),由于 x2a+b項(xiàng)的次數(shù)是2a+b , -2x a -b項(xiàng)的次數(shù)是a b,因而考慮這兩個次數(shù)至少有一個為2即可,共有五種情況。按題目的要求解決問題時,考慮問題要全面周到,要把所有可能的情況進(jìn)行窮舉,避免出現(xiàn)少解或漏解的情況。例2、(04年貴陽市)如圖,AB是半圓O的直徑,BC是弦,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以每秒1的速度移動,若AB長為10,點(diǎn)O到BC的距離為4。(1) 求弦BC的長;(2) 問經(jīng)過幾秒后,BPC是等腰三角形。點(diǎn)拔:第(2)問中P為動點(diǎn),使得線段PB、PC的長是變化的,由于在“BPC是等腰三角形”的條件中,沒有指明哪兩條邊為腰,所以要分三種不同情況進(jìn)行討論才能將問題回答完整。解答:(1)過O作ODBC于D,則BD=CD,在RtOBD中,用勾股定理求得BD=3 BC=6(2設(shè)經(jīng)過x秒,BPC為等腰三角形,PA= x,PB=10 x 當(dāng)PB=BC時,10 x = 6,x = 4 當(dāng)PB=PC時,則P與O點(diǎn)重合,PB=5 ,10 x=5 x =5 當(dāng)PC=BC時,過C點(diǎn)作CEAB于E點(diǎn),連結(jié)AC,在RtABC中,求得AC=8,由AC2 AE2 = BC2 BE2,得x =2.8綜上所述:經(jīng)過2.8秒、4秒、5秒時BPC是等腰三角形。解析:1、本題的第(1)問過O作ODBC于D,OD是“弦心距”線段,見弦作出“弦心距”線段,使用勾股定理和垂徑定理解題是圓中常用的作輔助線方法。2、本題的第(2)問是分別將PBC固定,再求解,體現(xiàn)了由動到靜的轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想。與等腰三角形、直角三角形、三角形全等或相似有關(guān)的分類討論的考題是近年中考的熱點(diǎn)題型。例3、(04年濟(jì)南市)如圖,已知直線的圖象與、軸交于A、B兩點(diǎn)直線經(jīng)過原點(diǎn),與線段AB交于點(diǎn)C,把AOB的面積分為21的兩部分求直線的解析式解答:先求得 A( -3, 0) , B(0 , 3) . 如圖(1),當(dāng)直線 l 把ABO的面積分為SAOCSBOC =21時,作CFOA于F,CEOB于E,SAOB= . 則SAOC ,AO·CF=3 . 即 CF=2 . 同理,解得 CE = 1 . C( -1 ,2) . 直線l的解析式為 如圖(2),當(dāng)直線 l 把ABO的面積分為SAOCSBOC=12時,同理求得C( - 2 ,1) . 直線l的解析式為 y= - 0 .5x . 解析:本題是由語言的模糊性導(dǎo)致分類情況的產(chǎn)生,AOB是定三角形, “直線OC把AOB的面積分為21的兩部分”時,C點(diǎn)的位置并不確定,出現(xiàn)兩種情況,畫出符合題意的兩種圖形分別進(jìn)行求解即可。本題要求學(xué)生通過分析題意畫出符合要求的圖形,培養(yǎng)學(xué)生的分類意識。例4、已知:在ABC中,C=90,AC=BC=8,要在ABC中剪出一個扇形,使扇形的半徑都在ABC的邊上,且扇形的弧與ABC的其他邊相切。(1) 請畫出符合題意的設(shè)計(jì)方案示意圖;(2) 若用剪下的扇形作圓錐的側(cè)面,請計(jì)算出此圓錐的底面半徑。解:(1)有四種設(shè)計(jì)方案, (2)如圖(a),取AB中點(diǎn)M,以點(diǎn)C為圓心,CM長為半徑畫弧,分別交BC、AC于D、E兩點(diǎn),連結(jié)CM。求得l =2 l=2r,2r=2,r=如圖(b),作B的平分線交AC于點(diǎn)O,以O(shè)為圓心,OC長為半徑畫弧,交AC于點(diǎn)E,作OMAB于M,則CO=OM,求得l = (8 8) ,l=2r,2r = 2 (8 8) ,解得r = 4 4如圖(c),以A為圓心,AC長為半徑畫弧交AB于D,求得l=2 r=1如圖(d),取AB中點(diǎn)O,作ODAC于D,O為圓心,OD長為半徑畫弧,交AB于E、F兩點(diǎn)求得l = 4,r= 2綜上所述:r= 或r = 44或r=1或r= 2解析:這是一道考查學(xué)生動手作圖能力的設(shè)計(jì)題。要使扇形的半徑都在ABC的邊上,則有兩種情況:其一為扇形的頂點(diǎn)在RtABC的一邊上,由于直角三角形有直角邊、斜邊之分;有銳角頂點(diǎn)、直角頂點(diǎn)之分,所以它們又各有兩種情況。求圓錐的底面半徑時只需注意扇形的弧長是圓錐底面的周長。例5、如圖,等腰ABC的兩直角邊AB=AC=6cm,O的半徑為rcm,圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路ABBCCA運(yùn)動,回到點(diǎn)A時,O隨著點(diǎn)O所運(yùn)動而移動。(1)若r=cm,求O第一次與BC邊相切時,AO的長;(2)在O移動過程中,自A點(diǎn)出發(fā)再移動到與A點(diǎn)重 合,與各邊共相切幾次?請寫出不同情況下r的取值范圍及相切的次數(shù);(3)設(shè)O在整個移動過程中,在ABC內(nèi)部,O未經(jīng)過的部分的面積為S(cm2),在S0時,求S關(guān)于r的函數(shù)解析式。解答:(1)設(shè)O首次與BC相切于點(diǎn)D,則有ODBC,且OD= r =,在R tBDO中,OBD=45° AO= AB - OB=(62)cm,(2)由等腰直角三角形的直角邊AB=6cm,所以作斜邊BC上的高AF,則AF=AB·Sin45°= 6×當(dāng)r6 cm時,O與ABC各邊不相切;當(dāng)r = 6 cm時,O與ABC各邊共相切2次;當(dāng)6r6 cm時,O與ABC各邊共相切4次;當(dāng)r = 6 cm時,O與ABC各邊共相切5次;當(dāng)0r6 cm時,O與ABC各邊共相切6次;(3)如圖,已知在S0時,O在移動中,在RtABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為等腰直角三角形,這個RtABC的三邊分別與原RtABC三邊平行,且平行線間距離等于r。設(shè)BC與AF交于E點(diǎn),則AEBC,又過點(diǎn)A作AGAB于點(diǎn)G,則AG= r AA=r ,AE=AF r r= 6(+1)r。BC=26 (+1)r S = BC·AE=×26 (+1)r·6(+1)r =6 (+1)r2=(3+2)r2 12(+1)r+36 0r6( 1)解析:第(2)問是動圓與直線相切的問題,想象出動圓與三角形各邊相切的情況,針對每一種可能出現(xiàn)的情況來求解,方能保證解題的完整性,體現(xiàn)了分類討論思想的重要性。第(3)問關(guān)鍵是能畫出未經(jīng)過部分的圖形形狀。此題綜合性強(qiáng),難度大,應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練?!眷柟叹毩?xí)】1、如圖1,在ABC 中,B 、C 均為銳角,其對邊分別為b、c,求證:=;(2)在ABC 中,AB=,AC=,B =450,問滿足這樣的ABC 有幾個?在圖2中作出來(不寫作法,不述理由)并利用(1)的結(jié)論求出ACB的大小。 2、(04年廣東茂名市)已知:ABC的兩邊AB、BC的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根,第三邊長為10。問當(dāng)為何值時,ABC是等腰三角形。3、閱讀下面的例題:解方程解:(1)當(dāng)x0時,原方程化為x2 x 2=0,解得:x1=2,x2= - 1(不合題意,舍去)(2)當(dāng)x0時,原方程化為x2 + x 2=0,解得:x1=1,(不合題意,舍去)x2= -2原方程的根是x1=2, x2= - 2 請參照例題解方程4、(04年云南)如圖已知ABC內(nèi)接于O,AE切O于點(diǎn)A,BCAE。(1)求證:ABC是等腰三角形;(2)設(shè),點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn),若以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,問這樣的點(diǎn)有幾個?并求AP的長;5、(01咸寧市)如圖已點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),動點(diǎn)P在直線y=x3上,求使PAO為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)。BDCA6、(04浙江省衢州市)如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=20cm.P、Q兩點(diǎn)同時從A點(diǎn)出發(fā),分別以1cm/秒和2cm/秒的速度沿ABCDA運(yùn)動,當(dāng)Q點(diǎn)回到A點(diǎn)時,P、Q兩點(diǎn)即停止運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時間為t秒。(1) 當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運(yùn)動時,設(shè)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形面積為s,請寫出s關(guān)于t的函數(shù)解析式及自變量t的取值范圍。(2) 在整個運(yùn)動過程中,t取何值時,PQ與BD垂直。 【參考答案】1、 2、由已知方程得: 不妨設(shè)AB=,BC=,顯然ABBC。而ABC的第三邊長AC為10。(1)若AB=AC,則=10,得=8,即=8時,ABC為等腰三角形; (2)若BC=AC,則=10,即=10時。ABC為等腰三角形; 3、x1= 0 ,x2= 24、(1)BCAE,BCA=CAE,又AE切O于點(diǎn)A,CAE=ABC,BCA=ABC ,AB=AC ABC是等腰三角形。(2)射線AE上滿足條件的點(diǎn)有兩個 過點(diǎn)C作CP1AB交AE于點(diǎn)P1,此時A P1CBCA,又AC=AB,AP1CBCA,這時A P1=BC=8 過點(diǎn)C作O的切線交AE于點(diǎn)P2,則A P2=C P2 ,AC P2=CA P2=BCA=CBA,A P2CBAC,可求得,AP的長為8或5、(0,3)或(2,2)6、(1)s=-t2+15t-50 (5<t<10) (2) t=6或t=25