專題一 第2講不等式與線性規(guī)劃

2015屆高三直升班第二輪復(fù)習 專題一 集合與不等式第2講不等式與線性規(guī)劃知識主干1四類不等式的解法（1）一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0（a0），再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0（a0）的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集（2）簡單分式不等式的解法變形>0（<0）f（x）g（x）>0（<0）；變形0（0）f（x）g（x）0（0）且g（x）0（3）簡單指數(shù)不等式的解法當a>1時，af（x）>ag（x）f（x）>g（x）；當0<a<1時，af（x）>ag（x）f（x）<g（x）（4）簡單對數(shù)不等式的解法當a>1時，logaf（x）>logag（x）f（x）>g（x）且f（x）>0，g（x）>0；當0<a<1時，logaf（x）>logag（x）f（x）<g（x）且f（x）>0，g（x）>02五個重要不等式（1）|a|0，a20（aR） （2）a2b22ab（a、bR）（3）（a>0，b>0） （4）ab（）2（a，bR）（5） （a>0，b>0）3二元一次不等式（組）和簡單的線性規(guī)劃（1）線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等（2）解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可行域；根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標函數(shù)的最大值或者最小值4兩個常用結(jié)論（1）ax2bxc>0（a0）恒成立的條件是（2）ax2bxc<0（a0）恒成立的條件是熱點一一元二次不等式的解法例1（1）（2013·安徽）已知一元二次不等式f（x）<0的解集為，則f（10x）>0的解集為（）Ax|x<1或x>lg 2 Bx|1<x<lg 2 Cx|x>lg 2 Dx|x<lg 2（2）已知函數(shù)f（x）（x2）（axb）為偶函數(shù)，且在（0，）單調(diào)遞增，則f（2x）>0的解集為（）Ax|x>2或x<2 Bx|2<x<2 Cx|x<0或x>4 Dx|0<x<4（3）已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A（，2） B2,0） C（2,0） D0,2熱點二基本不等式的應(yīng)用例2（1）（2014·湖北）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F如果不限定車型，l605，則最大車流量為_輛/時；如果限定車型，l5，則最大車流量比中的最大車流量增加_輛/時（2）（2013·山東）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為（）A0 B1 C D3（3）已知關(guān)于x的不等式2x7在x（a，）上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A1 B C2 D熱點三簡單的線性規(guī)劃問題例3 （1）已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是（）A2 B2 C1 D1（2）（2013·北京）設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x0，y0），滿足x02y02，求得m的取值范圍是（）A B C D（3）某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為（）A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元新題型:例1記實數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)的三邊邊長分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；（）設(shè)，則的取值范圍是_熱點一一元二次不等式的解法例1（1）（2013·安徽）已知一元二次不等式f（x）<0的解集為，則f（10x）>0的解集為（）Ax|x<1或x>lg 2 Bx|1<x<lg 2 Cx|x>lg 2 Dx|x<lg 2（2）已知函數(shù)f（x）（x2）（axb）為偶函數(shù)，且在（0，）單調(diào)遞增，則f（2x）>0的解集為（）Ax|x>2或x<2 Bx|2<x<2 Cx|x<0或x>4 Dx|0<x<4思維啟迪（1）利用換元思想，設(shè)10xt，先解f（t）>0（2）利用f（x）是偶函數(shù)求b，再解f（2x）>0答案（1）D（2）C解析（1）由已知條件0<10x<，解得x<lglg 2（2）由題意可知f（x）f（x）即（x2）（axb）（x2）（axb），（2ab）x0恒成立，故2ab0，即b2a，則f（x）a（x2）（x2）又函數(shù)在（0，）單調(diào)遞增，所以a>0f（2x）>0即ax（x4）>0，解得x<0或x>4故選C思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考的熱點，“三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法（1）不等式0的解集為（）A（，1 B，1 C（，）1，） D（，1，）（2）已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0若pq為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）A（，2） B2,0） C（2,0） D0,2答案（1）A（2）C解析（1）原不等式等價于（x1）（2x1）<0或x10，即<x<1或x1，所以不等式的解集為（，1，選A（2）pq為真命題，等價于p，q均為真命題命題p為真時，m<0；命題q為真時，m24<0，解得2<m<2故pq為真時，2<m<0熱點二基本不等式的應(yīng)用例2（1）（2014·湖北）某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時）與車流速度v（假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車長l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F如果不限定車型，l605，則最大車流量為_輛/時；如果限定車型，l5，則最大車流量比中的最大車流量增加_輛/時（2）（2013·山東）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為（）A0 B1 C D3思維啟迪（1）把所給l值代入，分子分母同除以v，構(gòu)造基本不等式的形式求最值；（2）關(guān)鍵是尋找取得最大值時的條件答案（1）1 900100（2）B解析（1）當l605時，F(xiàn)1 900當且僅當v11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時當l5時，F(xiàn)2 000當且僅當v10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時比中的最大車流量增加100 輛/時（2）由已知得zx23xy4y2，（*）則1，當且僅當x2y時取等號，把x2y代入（*）式，得z2y2，所以211，所以當y1時，的最大值為1思維升華在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤（1）若點A（m，n）在第一象限，且在直線1上，則mn的最大值為_（2）已知關(guān)于x的不等式2x7在x（a，）上恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A1 B C2 D答案（1）3（2）B解析（1）因為點A（m，n）在第一象限，且在直線1上，所以m，n>0，且1所以·（）2（當且僅當，即m，n2時，取等號）所以·，即mn3，所以mn的最大值為3（2）2x2（xa）2a2·2a42a，由題意可知42a7，得a，即實數(shù)a的最小值為，故選B熱點三簡單的線性規(guī)劃問題例3（2013·湖北）某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為（）A31 200元 B36 000元 C36 800元 D38 400元思維啟迪通過設(shè)變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題答案C解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時租金為z元，則z1 600x2 400y,x、y滿足畫出可行域如圖直線yx過點A（5,12）時縱截距最小，所以zmin5×1 6002 400×1236 800，故租金最少為36 800元思維升華（1）線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍（2）解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解（3）對于應(yīng)用問題，要準確地設(shè)出變量，確定可行域和目標函數(shù)（1）已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則w的最小值是（）A2 B2 C1 D1（2）（2013·北京）設(shè)關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P（x0，y0），滿足x02y02，求得m的取值范圍是（）A B C D答案（1）D（2）C解析（1）畫出可行域，如圖所示w表示可行域內(nèi)的點（x，y）與定點P（0，1）連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為1，故選D（2）當m0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P（x0，y0）滿足x02y02，因此m<0如圖所示的陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域要使可行域內(nèi)包含yx1上的點，只需可行域邊界點（m，m）在直線yx1的下方即可，即m<m1，解得m<1幾類不等式的解法一元二次不等式解集的端點值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可3線性規(guī)劃問題的基本步驟（1）定域畫出不等式（組）所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；（2）平移畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義；（3）求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)，求出最值真題感悟1（2014·山東）已知實數(shù)x，y滿足ax<ay（0<a<1），則下列關(guān)系式恒成立的是（）A> Bln（x21）>ln（y21）Csin x>sin y Dx3>y3答案D解析因為0<a<1，ax<ay，所以x>y采用賦值法判斷，A中，當x1，y0時，<1，A不成立B中，當x0，y1時，ln 1<ln 2，B不成立C中，當x0，y時，sin xsin y0，C不成立D中，因為函數(shù)yx3在R上是增函數(shù)，故選D2（2014·浙江）當實數(shù)x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案1，解析畫可行域如圖所示，設(shè)目標函數(shù)zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，則a>0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1a所以a的取值范圍是1a押題精練1為了迎接2014年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足P3，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（102P）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4）萬元/萬件則促銷費用投入 萬元時，廠家的利潤最大？（）A1 B1.5 C2 D3答案A解析設(shè)該產(chǎn)品的利潤為y萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為2×（）萬元，所以y2×（）×P102Px16x（x>0），所以y17（x1）17213（當且僅當x1，即x1時取等號），所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，故選A2若點P（x，y）滿足線性約束條件點A（3，），O為坐標原點，則·的最大值為_答案6解析由題意，知（3，），設(shè)（x，y），則·3xy令z3xy，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當直線yxz經(jīng)過點B時，z取得最大值由解得即B（1，），故z的最大值為3×1×6即·的最大值為6一、選擇題1（2014·四川）若a>b>0，c<d<0，則一定有（）A> B< C> D<答案D解析令a3，b2，c3，d2，則1，1，所以A，B錯誤；，所以<，所以C錯誤故選D2下列不等式一定成立的是（）Alg>lg x（x>0） Bsin x2（xk，kZ）Cx212|x|（xR） D>1（xR）答案C解析應(yīng)用基本不等式：x，y>0，（當且僅當xy時取等號）逐個分析，注意基本不等式的應(yīng)用條件及取等號的條件當x>0時，x22·x·x，所以lglg x（x>0），故選項A不正確；運用基本不等式時需保證一正二定三相等，而當xk，kZ時，sin x的正負不定，故選項B不正確；由基本不等式可知，選項C正確；當x0時，有1，故選項D不正確3（2013·重慶）關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0（a>0）的解集為（x1，x2），且x2x115，則a等于（）A B C D答案A解析由x22ax8a2<0，得（x2a）（x4a）<0，因a>0，所以不等式的解集為（2a,4a），即x24a，x12a，由x2x115，得4a（2a）15，解得a4（2014·重慶）若log4（3a4b）log2，則ab的最小值是（）A62 B72 C64 D74答案D解析由題意得所以又log4（3a4b）log2，所以log4（3a4b）log4ab，所以3a4bab，故1所以ab（ab）（）77274，當且僅當時取等號故選D5已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為（）A9 B8 C7 D6答案B解析約束條件所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當目標函數(shù)過A（1,4）時取得最大值，故zx2y1的最大值為12×418二、填空題6已知f（x）是R上的減函數(shù)，A（3，1），B（0,1）是其圖象上兩點，則不等式|f（1ln x）|<1的解集是_答案（，e2）解析|f（1ln x）|<1，1<f（1ln x）<1，f（3）<f（1ln x）<f（0），又f（x）在R上為減函數(shù)，0<1ln x<3，1<ln x<2，<x<e27若x，y滿足條件且z2x3y的最大值是5，則實數(shù)a的值為_答案1解析畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，則當直線z2x3y過點A（a，a）時，z2x3y取得最大值5，所以52a3a，解得a18若點A（1,1）在直線2mxny20上，其中mn>0，則的最小值為_答案解析點A（1,1）在直線2mxny20上，2mn2，（）（21）（32），當且僅當，即nm時取等號，的最小值為三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln（x22x8）的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式（ax）（x4）0的解集（1）求AB；（2）若CRA，求a的取值范圍解（1）由x22x8>0得4<x<2，即A（4,2）yx（x1）1，當x1>0，即x>1時y211，此時x0，符合要求；當x1<0，即x<1時，y213，此時x2，符合要求所以B（，31，），所以AB（4，31,2）（2）（ax）（x4）0有兩根x4或x當a>0時，Cx|4x，不可能CRA；當a<0時，Cx|x4或x，若CRA，則2，a2，a<0故a的取值范圍為，0）10已知函數(shù)f（x）ax3bx2（2b）x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0<x1<1<x2<2（1）證明：a>0；（2）若za2b，求z的取值范圍（1）證明求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）ax22bx2b由函數(shù)f（x）在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，知x1、x2是f（x）0的兩個根，所以f（x）a（xx1）（xx2）當x<x1時，f（x）為增函數(shù)，f（x）>0，由xx1<0，xx2<0得a>0（2）解在題設(shè)下，0<x1<1<x2<2等價于即化簡得此不等式組表示的區(qū)域為平面aOb上的三條直線：2b0，a3b20,4a5b20所圍成的ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為A，B（2,2），C（4,2）z在這三點的值依次為，6,8所以z的取值范圍為（，8）11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤LSC，且當x2時，L3（1）求k的值；（2）當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值解（1）由題意可得L因為當x2時，L3，所以32×22，解得k18（2）當0<x<6時，L2x2，所以L2（x8）182（8x）182186，當且僅當2（8x），即x5時取得等號當x6時，L11x5所以當x5時L取得最大值6所以當日產(chǎn)量為5噸時，每日的利潤可以達到最大，最大值為6萬元不等式與線性規(guī)劃1若a>b>0，c<d<0，則一定有（）A> B< C> D<2下列不等式一定成立的是（）Alg>lg x（x>0） Bsin x2（xk，kZ）Cx212|x|（xR） D>1（xR）3關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0（a>0）的解集為（x1，x2），且x2x115，則a等于（）A B C D4若log4（3a4b）log2，則ab的最小值是（）A62 B72 C64 D745已知變量x，y滿足約束條件，則zx2y1的最大值為（）A9 B8 C7 D66已知f（x）是R上的減函數(shù)，A（3，1），B（0,1）是其圖象上兩點，則不等式|f（1ln x）|<1的解集是_7若x，y滿足條件且z2x3y的最大值是5，則實數(shù)a的值為_8若點A（1,1）在直線2mxny20上，其中mn>0，則的最小值為_解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln（x22x8）的定義域，集合B為函數(shù)yx的值域，集合C為不等式（ax）（x4）0的解集（1）求AB；（2）若CRA，求a的取值范圍10已知函數(shù)f（x）ax3bx2（2b）x1在xx1處取得極大值，在xx2處取得極小值，且0<x1<1<x2<2（1）證明：a>0；（2）若za2b，求z的取值范圍11某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C（單位：萬元）與日產(chǎn)量x（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式C3x，每日的銷售額S（單位：萬元）與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式S已知每日的利潤LSC，且當x2時，L3（1）求k的值；（2）當日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達到最大，并求出最大值