2015中考數(shù)學 總復(fù)習教學案：第2講 整式及其運算

第2講整式及其運算陜西中考說明陜西20122014年中考試題分析考點歸納考試要求年份題型題號分值考查內(nèi)容分值比重考點1整式的相關(guān)概念1.了解整式的概念；2.在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數(shù)的意義；3.能分析簡單問題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；4.會求代數(shù)式的值；5.能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算；6.能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義考點2乘法公式1.了解乘法公式(ab)(ab)a2b2，(a±b)2a2±2abb2的幾何背景，并能進行簡單計算；2.會推導(dǎo)乘法公式(ab)(ab)a2b2，(a±b)2a2±2abb2考點3整式的運算1.會進行簡單的整式加、減運算；2.會進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指一次式相乘)2012選擇題33積的乘方0.8%本節(jié)考查的知識點有整式的運算，在2012年的選擇題中考查積的乘方，解決此類題，必須牢固掌握冪的運算的方法由上表可知，我省近三年的中考試題中有關(guān)整式及其運算的考查明顯有所淡化，在2013年和2014的中考中雖然未考查到，但由于其是中考需要掌握的知識，因此在2015年可能會考查到其相關(guān)知識，因此在復(fù)習中也不容忽視1代數(shù)式及求值(1)概念：用_基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)_把數(shù)或表示數(shù)的_字母_連接而成的式子叫代數(shù)式單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式；(2)列代數(shù)式：找出數(shù)量關(guān)系，用表示數(shù)的字母將它數(shù)學化的過程；(3)代數(shù)式的值：用_具體數(shù)_代替代數(shù)式中的字母，按運算順序計算出的結(jié)果叫代數(shù)式的值；(4)代數(shù)式求值的步驟：(1)代入數(shù)值(注意利用整體代入思想，簡化運算)；(2)計算2單項式：由_數(shù)與字母_或_字母與字母_相乘組成的代數(shù)式叫做單項式，所有字母指數(shù)的和叫做_單項式的次數(shù)_，數(shù)字因數(shù)叫做_單項式的系數(shù)_單獨的數(shù)、字母也是單項式3多項式：由幾個_單項式相加_組成的代數(shù)式叫做多項式，多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個_多項式的次數(shù)_，其中不含字母的項叫做_常數(shù)項_4整式：_單項式和多項式_統(tǒng)稱為整式5同類項：多項式中所含_字母_相同并且_相同字母的指數(shù)_也相同的項，叫做同類項；所有的常數(shù)項都是同類項6冪的運算法則(1)同底數(shù)冪相乘：_am·anamn(m，n都是整數(shù)，a0)_；(2)冪的乘方：_(am)namn(m，n都是整數(shù)，a0)_；(3)積的乘方：_(ab)nan·bn(n是整數(shù)，a0，b0)_；(4)同底數(shù)冪相除：_am÷anamn(m，n都是整數(shù)，a0)_7整式加減整式加減的實質(zhì)是合并同類項把多項式中同類項的系數(shù)相加，合并為一項，叫做合并同類項，其法則是：幾個同類項相加，把它們的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的_指數(shù)_都不變8整式乘法單項式與單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)一起作為積的一個因式單項式乘多項式：m(ab)_mamb_；多項式乘多項式：(ab)(cd)_acadbcbd_.9乘法公式(1)平方差公式：_(ab)(ab)a2b2_；(2)完全平方公式：_(a±b)2a2±2abb2_10整式除法單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項式除以單項式，將這個多項式的每一項分別除以這個單項式，然后把所得的商相加一座“橋梁”用字母表示數(shù)是從算術(shù)過渡到代數(shù)的橋梁，是后續(xù)學習的基礎(chǔ)，用字母表示數(shù)能夠簡明地表示出事物的規(guī)律及本質(zhì)特征只有借助字母，才能把一些數(shù)量規(guī)律及數(shù)量更簡潔、準確地表示出來用字母表示數(shù)：(1)注意字母的確定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性二種思維方法法則公式既可正向運用，也可逆向運用逆向運用和靈活變式運用既可簡化計算，又能進行較復(fù)雜的代數(shù)式的大小比較當直接計算有較大困難時，考慮逆向運用，可起到化難為易的功效三種數(shù)學思想(1)觀察、比較、歸納、猜想的數(shù)學思想觀察才能獲取大量信息，成為智慧的源泉，比較才能發(fā)現(xiàn)信息的異同；通過歸納使共同點浮出水面，總結(jié)歸納的結(jié)果獲得猜想、有所發(fā)現(xiàn)，這就是歸納的思想，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要方法(2)整體思想在進行整式運算或求代數(shù)式值時，若將注意力和著眼點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，把一些緊密聯(lián)系的代數(shù)式作為一個整體來處理借助“整體思想”，可以拓寬解題思路，收到事半功倍之效整體思想最典型的是應(yīng)用于乘法公式中，公式中的字母a和b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式，如(x2yz)(x2yz)x(2yz)x(2yz)x2(2yz)2x24y24yzz2.(3)數(shù)形結(jié)合思想在列代數(shù)式時，常常能遇到另外一種類型的題：給你提供一定的圖形，通過對圖形的觀察探索，搜集圖形透露的信息，并根據(jù)相關(guān)的知識去列出相應(yīng)的代數(shù)式，也能用圖形驗證整式的乘法和乘法公式(2012·陜西)計算(5a3)2的結(jié)果是( D )A10a5B10a6C25a5D25a6同類項的概念及合并同類項【例1】若4xayx2yb3x2y，則ab_3_【點評】(1)判斷同類項時，看字母和相應(yīng)字母的指數(shù)，與系數(shù)無關(guān)，也與字母的相關(guān)位置無關(guān)，兩個只含數(shù)字的單項式也是同類項；(2)只有同類項才可以合并1(1)(2012·畢節(jié))已知xn2my4與x3y2n是同類項，則(mn)2010的值為( C )A2010B2010C1D1(2)(2014·濟寧)化簡5ab4ab的結(jié)果是( D )A1 Ba Cb Dab整式的混合運算及求值【例2】(2014·紹興)先化簡，再求值：a(a3b)(ab)2a(ab)，其中a1，b.解：原式a23aba22abb2a2aba2b21【點評】注意多項式乘多項式的運算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進行簡便計算，另外去括號時，要注意符號的變化，最后把所得式子化簡，即合并同類項，再代值計算2(2012·杭州)化簡2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)，若m是任意整數(shù)，請觀察化簡后的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)原式表示一個什么數(shù)？解：2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)2(m2mm2m)(m2mm2m)8m3.原式(2m)3，表示3個2m相乘，或者說是一個立方數(shù)，8的倍數(shù)等乘法公式【例3】(2013·義烏)如圖，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖的等腰梯形(1)設(shè)圖中陰影部分面積為S1，圖中陰影部分面積為S2，請直接用含a，b的代數(shù)式表示S1和S2；(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式解：(1)S1a2b2；S2(2b2a)(ab)(ab)(ab)(2)(ab)(ab)a2b2【點評】(1)在利用完全平方公式求值時，通常用到以下幾種變形：a2b2(ab)22ab；a2b2(ab)22ab；(ab)2(ab)24ab；(ab)2(ab)24ab.注意公式的變式及整體代入的思想(2)算式中的局部直接使用乘法公式、簡化運算，任何時候都要遵循先化簡，再求值的原則3(1)整式A與m22mnn2的和是(mn)2，則A_4mn_.(2)(2014·廣州)已知多項式A(x2)2(1x)(2x)3.化簡多項式A；若(x1)26，求A的值解：A(x2)2(1x)(2x)3x24x422xxx233x3(x1)26，則x1±，A3x33(x1)±3試題計算x3·x5；x4·x4；(am1)2；(2a2·b)2；(mn)6÷(nm)3.錯解x3·x5x3×5x15；x4·x42x4；(am1)2a2m1；(2a2·b)222a4b2；(mn)6÷(nm)3(mn)63(mn)3.剖析冪的四種運算(同底數(shù)冪相乘、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪相除)是學習整式乘除的基礎(chǔ)，對冪運算的性質(zhì)理解不深刻，記憶不牢固，往往會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤針對具體問題要分清問題所對應(yīng)的基本形式，以便合理運用法則，對符號的處理，應(yīng)特別引起重視正解x3·x5x35x8；x4·x4x44x8；(am1)2a(m1)×2a2m2；(2a2·b)2(2)2a4b24a4b2；(mn)6÷(nm)3(nm)6÷(nm)3(nm)3.