第20題 正方體涂漆

第20題正方體涂漆 由n(n=2,3，）個(gè)單位正方體可以組成一個(gè)體積為n××n的正方體(如圖1，由53個(gè)單位正方體組成一個(gè)體積為×5×5的正方體），將它的表面涂漆后，再把它分解成原來(lái)的單位正方體。問(wèn)有多少個(gè)單位正方體三面涂漆?有多少個(gè)兩面涂漆？有多少個(gè)一面涂漆？有多少個(gè)沒(méi)有涂漆？ 分析:我們可以通過(guò)觀察n=2，3，4,5，6的特例,編排數(shù)表，尋找模式。 從表201可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)任一個(gè)(n=，3,4，)，面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)都是8,而且這8個(gè)單位正方體恰好位于n×n×的正方體的頂點(diǎn)處。進(jìn)一步觀察,又將發(fā)現(xiàn)，2面涂漆的單位正方體都位于大正方體的12條棱處。對(duì)于n=3，每條棱上恰有1個(gè)，所以共有2個(gè)；對(duì)于=4，每條棱上恰有2個(gè),所以共有2×124個(gè)同樣，面涂漆的單位正方體都位于大正方體的6個(gè)面上,而不在大正方體表面的單位正方體都沒(méi)有涂漆。由以上規(guī)律，我們將很容易給出問(wèn)題的解.解:因?yàn)橹挥性趎×n×的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位正方體才是面涂漆的，所以共有個(gè)單位正方體3面涂漆。因?yàn)橹挥性趎×n×n的正方體的12條棱處且不在頂點(diǎn)處的單位正方體才是面涂漆的,所以共有2（n2）個(gè)單位正方體面涂漆.同樣,面涂漆的單位正方體都位于××n的正方體的個(gè)面上且不在12條棱處,所以共有6(n2）2 個(gè)單位正方體1面涂漆.余下的(n2)3個(gè)單位正方體都沒(méi)有涂漆。 回顧：觀察n=2,3，4，時(shí)，3面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列（表20-的第3列)，2面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列（表20的第4列)，1面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列(表20的第5列)，0面涂漆的單位正方體的個(gè)數(shù)所組成的數(shù)列（表201的第6列），我們發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)數(shù)列，8,8，8是一個(gè)常數(shù)列，而第2個(gè)數(shù)列0,2，4,6，4,有什么性質(zhì)呢？如果我們把這數(shù)列的每一項(xiàng)去減它右邊的項(xiàng)。 0124-8 12 12 12 2 就得到一個(gè)新的數(shù)列12,12，1，12，它也是一個(gè)常數(shù)列。 如果我們把第3個(gè)數(shù)列，6,24，5，96，的每一項(xiàng)去減它右邊的項(xiàng),024546 6 18 3 4 得到一個(gè)新的數(shù)列6，18,30,4,再把這數(shù)列的每一項(xiàng)去減它右邊的項(xiàng)，再次得到一個(gè)常數(shù)列,12,12，. 給定一個(gè)數(shù)列n=a0，a1，a2，,n,我們把bn+1an叫做數(shù)列an的差分,把數(shù)列n=a10，2-a,，na-1，叫做n的一階差分?jǐn)?shù)列，把數(shù)列b的一階差分?jǐn)?shù)列b2-b1，b3-,，n1-n，叫做n的二階差分?jǐn)?shù)列，再把n的二階差分?jǐn)?shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列叫做的三階差分?jǐn)?shù)列,依次類推. 有了差分?jǐn)?shù)列的概念后，再看上述問(wèn)題所得到的4個(gè)數(shù)列，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律： 第2個(gè)數(shù)列0，12，24，36，48，,2(n-2),的一階差分?jǐn)?shù)列2，1，12，是非零的常數(shù)列，它的通項(xiàng)12(n-2)為的1次多項(xiàng)式；第3個(gè)數(shù)列0,6，24， 54， 9， 6(n-2）,的二階差分?jǐn)?shù)列也是非零的常數(shù)列,它的通項(xiàng)6（n)2為n的次多項(xiàng)式；對(duì)于第4個(gè)數(shù)列0， 1， ， 27,64， 125， 21,(n2)3，, 它的通項(xiàng)(-2）3為的3次多項(xiàng)式,那么是否它的三階差分?jǐn)?shù)是一個(gè)非零的常數(shù)列呢？可以看到，第4個(gè)數(shù)列的三階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)非零的常數(shù)列.一般地，數(shù)列的k階差分?jǐn)?shù)列為非零的常數(shù)列的充要條件是它的通項(xiàng)a為n的次多項(xiàng)式. 利用上述結(jié)果,我們可以從一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)來(lái)猜測(cè)它的通項(xiàng)。因?yàn)閿?shù)列n的通項(xiàng)an不一定是的k次多項(xiàng)式，而用計(jì)算差分所猜測(cè)的通項(xiàng)只能是n的多項(xiàng)式,所以對(duì)猜測(cè)的結(jié)果必須加以證明。例如，我們從上述的第個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)0，1,8，7,6,125，1，發(fā)現(xiàn)它的三階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)非零常數(shù)列6，6，6。于是,我們立即可以猜測(cè)它的通項(xiàng)是n的次多項(xiàng)式，設(shè)為a=an+bn+cnd 這樣就可以用待定系數(shù)法求出a,b,c,d,因?yàn)?23·a22·b2c+d=0 a3=33·a+32·b+3c+=1 4=43·a42·4cd8 53·2·b+5cd=27所以由解上述方程組可得=1，b=6,=12，d=8 于是，我們從表20-1的前若干項(xiàng)，用差分的方法，可以猜測(cè)第4個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為nn36nn-=(n-2）3 因此，可以猜測(cè),一個(gè)表面涂漆的體積為n×n×n的正方體中有（n-2）3個(gè)單位正方體沒(méi)有涂漆。同樣，據(jù)觀察n=2,3,4,5,的特例,直接利用差分方法，可以猜測(cè),2面涂漆的有2（n-）個(gè),1面涂漆的有6（n-2）2個(gè)。 根據(jù)一個(gè)數(shù)列an的前若干項(xiàng),利用差分方法，猜測(cè)它的通項(xiàng)。在通項(xiàng)恰是n的多項(xiàng)式時(shí)，這確是一個(gè)有效的方法。因?yàn)閺乃聹y(cè)的結(jié)果可以受到某些啟示，幫助我們最終解決問(wèn)題.下面我們?cè)賮?lái)討論一個(gè)問(wèn)題： 順次計(jì)算數(shù)列12,12+2,12+2+32，1222，12+3242+2,122+3+4+262，的前項(xiàng)的值,由此猜測(cè)an=2+2+ 求和的結(jié)果。根據(jù)12=1，12=5，122232=14，2+2+3+42 =30，12+2+342+2=55,12232+425262=9，計(jì)算數(shù)列1,5,1，30，5，91，的差分 由于三階差分?jǐn)?shù)列是非零的常數(shù)列,所以猜測(cè)an是n的次多項(xiàng)式an3+bn2c+d,利用待定系數(shù)法,還可進(jìn)一步求出a，b，的值： 解四元一次方程組得 因此,可以猜測(cè) 即 有了上式的猜測(cè),如果我們學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)歸納法，就可以用數(shù)學(xué)歸納法證明()式對(duì)任何的自然數(shù)都成立.注:差分是“計(jì)算方法”（數(shù)學(xué)的一個(gè)分支)中的一個(gè)重要概念，而計(jì)算方法所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解算法是與計(jì)算機(jī)密切相關(guān)的。雖然差分非常有用，但這里就不再進(jìn)一步介紹了。練習(xí)20 用差分方法從給定數(shù)列a的前6項(xiàng)4，1，31,4,69， 猜測(cè)它的通項(xiàng)（an. 2計(jì)算凸n邊形當(dāng)n=3,4,5,6，7時(shí)的對(duì)角線條數(shù),用差分方法猜測(cè)凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)n。3. 上表中r(n）表示將寫(xiě)成若干個(gè)數(shù)字1和2之和的方式的個(gè)數(shù)(不考慮和式中各數(shù)的前后次序)。例如，4=1+11+1=12=2， 所以r（4)=3，其中2,1+21,21+1都是同一種方式。 (1)計(jì)算(6)，r(7）和（8)；(2)猜測(cè)(）的公式,并給予證明。不足之處，敬請(qǐng)諒解7 / 7