全國高考文科數(shù)學(xué)試題及解析 全國卷I

2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（大綱卷）數(shù)學(xué)（文科）一選擇題：每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)答案中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合，則A B C D答案B【命題意圖】本試題主要考查了集合的概念，集合的包含關(guān)系的運(yùn)用?！窘馕觥坑烧叫问翘厥獾牧庑?、特殊的矩形、特殊的平行四邊形，矩形是特殊的平行四邊形，可知集合是最小的，集合是最大的，故選答案B。2函數(shù)的反函數(shù)為A B C D答案A【命題意圖】本試題主要考查了反函數(shù)的求解，利用原函數(shù)反解，再互換得到結(jié)論，同時(shí)也考查了函數(shù)值域的求法?！窘馕觥坑?，而，故互換得到，故選答案A3若函數(shù)是偶函數(shù)，則A B C D答案C【命題意圖】本試題主要考查了偶函數(shù)的概念與三角函數(shù)圖像性質(zhì)，。【解析】由為偶函數(shù)可知，軸是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，而三角函數(shù)的對(duì)稱軸是在該函數(shù)取得最值時(shí)取得，故，而，故時(shí)，故選答案C。4已知為第二象限角，則A B C D答案A【命題意圖】本試題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用以及正弦二倍角公式的運(yùn)用?！窘馕觥恳?yàn)闉榈诙笙藿牵?，而，故，所以，故選答案A。5橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為4，一條準(zhǔn)線為，則該橢圓的方程為A B C D答案C【命題意圖】本試題主要考查了橢圓的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。通過準(zhǔn)線方程確定焦點(diǎn)位置，然后借助于焦距和準(zhǔn)線求解參數(shù)，從而得到橢圓的方程?！窘馕觥恳?yàn)椋梢粭l準(zhǔn)線方程為可得該橢圓的焦點(diǎn)在軸上縣，所以。故選答案C6已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A B C D答案B【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列中由遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。【解析】由可知，當(dāng)時(shí)得當(dāng)時(shí)，有 可得即，故該數(shù)列是從第二項(xiàng)起以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列通項(xiàng)公式為，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選答案B76名選手依次演講，其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有A240種 B360種 C480種D720種答案C【命題意圖】本試題考查了排列問題的運(yùn)用。利用特殊元素優(yōu)先安排的原則分步完成得到結(jié)論?！窘馕觥考紫劝才旁诔_始與結(jié)尾的位置還有個(gè)選擇，剩余的元素與位置進(jìn)行全排列有，故不同的演講次序共有種。8已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為A2BCD1答案D【命題意圖】本試題主要考查了正四棱柱的性質(zhì)的運(yùn)用，以及點(diǎn)到面的距離的求解。體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換與化歸的思想的運(yùn)用，以及線面平行的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離即可?！窘馕觥恳?yàn)榈酌娴倪呴L為2，高為，且連接，得到交點(diǎn)為，連接，則點(diǎn)到平面的距離等于到平面的距離，過點(diǎn)作，則即為所求，在三角形中，利用等面積法，可得，故選答案D。9中，邊的高為，若，則AB CD答案D【命題意圖】本試題主要考查了向量的加減法幾何意義的運(yùn)用，結(jié)合運(yùn)用特殊直角三角形求解點(diǎn)D的位置的運(yùn)用?！窘馕觥坑煽傻?，故，用等面積法求得，所以，故，故選答案D10已知為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則ABCD答案C【命題意圖】本試題主要考查了雙曲線的定義的運(yùn)用和性質(zhì)的運(yùn)用，以及余弦定理的運(yùn)用。首先運(yùn)用定義得到兩個(gè)焦半徑的值，然后結(jié)合三角形中的余弦定理求解即可?！窘馕觥拷猓河深}意可知，設(shè)，則，故，利用余弦定理可得。11已知，則ABCD答案D【命題意圖】本試題主要考查了對(duì)數(shù)、指數(shù)的比較大小的運(yùn)用，采用中間值大小比較方法?！窘馕觥?，故選答案D。12正方形的邊長為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為A8B6C4D3答案B【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識(shí)的運(yùn)用。通過相似三角形，來確定反射后的點(diǎn)的落的位置，結(jié)合圖像分析反射的次數(shù)即可?！窘馕觥拷猓航Y(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞8次即可。二填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上13的展開式中的系數(shù)為答案【命題意圖】本試題主要考查了二項(xiàng)式定理展開式通項(xiàng)公式的運(yùn)用。利用二項(xiàng)式系數(shù)相等，確定了的值，然后進(jìn)一步借助通項(xiàng)公式，得到項(xiàng)的系數(shù)。【解析】根據(jù)已知條件可得展開式的通項(xiàng)公式為，令，故所求的系數(shù)為。14若函數(shù)，則的最小值為答案：【命題意圖】本試題考查了線性規(guī)劃最優(yōu)解的求解的運(yùn)用。常規(guī)題型，只要正確作圖，表示出區(qū)域，然后借助于直線平移法得到最值?！窘馕觥坷貌坏仁浇M，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)最小為。15當(dāng)函數(shù)取最大值時(shí)，答案：【命題意圖】本試題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，求解值域的問題。首先化為單一三角函數(shù)，然后利用定義域求解角的范圍，從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點(diǎn)?！窘馕觥坑捎煽芍?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，時(shí)即取得最大值。16已知正方形中，分別為，的中點(diǎn)，那么異面直線與所成角的余弦值為答案【命題意圖】本試題考查了正方體中的異面直線所成角的求解問題。【解析】首先根據(jù)已知條件，連接，則由可知或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則可以求解得到，再由余弦定理可得。三解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17（本小題滿分10分）中，內(nèi)角ABC成等差數(shù)列，其對(duì)邊滿足，求【命題意圖】： 本試題主要考查了解三角形的運(yùn)用。該試題從整體看保持了往年的解題風(fēng)格，依然是通過邊角的轉(zhuǎn)換，結(jié)合了三角形的內(nèi)角和定理的知識(shí)，以及正弦定理求解三角形中的角的問題。試題整體上比較穩(wěn)定，思路比較容易想，先利用等差數(shù)列得到角，然后利用正弦定理與三角求解運(yùn)算得到答案?！窘馕觥坑葾BC成等差數(shù)列可得，而，故且而由與正弦定理可得所以可得，由，故或，于是可得到或。18（本小題滿分12分）已知數(shù)列中，前項(xiàng)和（）求；（）求的通項(xiàng)公式【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和相結(jié)合的綜合運(yùn)用。解：（1）由與可得，故所求的值分別為。（2）當(dāng)時(shí)， 可得即故有而，所以的通項(xiàng)公式為【點(diǎn)評(píng)】試題出題比較直接，沒有什么隱含的條件，只要充分發(fā)揮利用通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的關(guān)系式變形就可以得到結(jié)論。19（本小題滿分12分）DABPCE如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，（）證明：平面；（）設(shè)二面角為90°，求與平面所成角的大小【命題意圖】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用。從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度，并加以證明和求解。解：設(shè),以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)。（）證明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（） 設(shè)平面的法向量為，又，由得，設(shè)平面的法向量為，又，由，得，由于二面角為，所以，解得。 所以，平面的法向量為，所以與平面所成角的正弦值為，所以與平面所成角為.【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn)，這樣的解決對(duì)于學(xué)生來說就是比較有點(diǎn)難度的，因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好。20（本小題滿分12分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分設(shè)在甲乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球（）求開始第4次發(fā)球時(shí)，甲乙的比分為1比2的概率；（）求開始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率【命題意圖】本試題主要是考查了關(guān)于獨(dú)立事件的概率的求解。首先要理解發(fā)球的具體情況，然后對(duì)于事件的情況分析，討論，并結(jié)合獨(dú)立事件的概率求解結(jié)論。解：記為事件“第i次發(fā)球，甲勝”，i=1,2,3，則。（）事件“開始第次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為比”為，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式得。即開始第次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為比（）五次發(fā)球甲領(lǐng)先時(shí)的比分有：這兩種情況開始第5次發(fā)球時(shí)比分為的概率為：開始第5次發(fā)球時(shí)比分為的概率為：故求開始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率為。【點(diǎn)評(píng)】首先從試題的選材上來源于生活，同學(xué)們比較熟悉的背景，同時(shí)建立在該基礎(chǔ)上求解進(jìn)行分類討論的思想的運(yùn)用。情景比較親切，容易入手，但是在討論情況的時(shí)間，容易丟情況。21（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，若過兩點(diǎn)，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值?！久}意圖】本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問就是三次函數(shù)，通過求解導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間。另外就是運(yùn)用極值概念，求解參數(shù)值的運(yùn)用。解：（1）依題意可得當(dāng)即時(shí)，恒成立，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)相異實(shí)根且故由或，此時(shí)單調(diào)遞增由，此時(shí)此時(shí)單調(diào)遞增遞減綜上可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。（2）由題設(shè)知，為方程的兩個(gè)根，故有因此同理因此直線的方程為設(shè)與軸的交點(diǎn)為，得而由題設(shè)知，點(diǎn)在曲線的上，故，解得或或所以所求的值為或或?！军c(diǎn)評(píng)】試題分為兩問，題面比較簡單，給出的函數(shù)比較常規(guī)，這一點(diǎn)對(duì)于同學(xué)們來說沒有難度，但是解決的關(guān)鍵還是要看導(dǎo)數(shù)的符號(hào)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。第二問中，運(yùn)用極值的問題，和直線方程的知識(shí)求解交點(diǎn)，得到參數(shù)的值。22（本小題滿分12分）已知拋物線C：與圓：有一個(gè)公共點(diǎn)，且在處兩曲線的切線為同一直線上（）求；（）設(shè)是異于且與及都切的兩條直線，的交點(diǎn)為，求到的距離?！久}意圖】本試題考查了拋物線與圓的方程，以及兩個(gè)曲線的公共點(diǎn)處的切線的運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn)到直線的距離。解：（1）設(shè)，對(duì)求導(dǎo)得，故直線的斜率，當(dāng)時(shí)，不合題意，所心圓心為，的斜率由知，即，解得，故所以（2）設(shè)為上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為即若該直線與圓相切，則圓心到該切線的距離為，即，化簡可得求解可得拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，其方程分別為 得，將代入得，故所以到直線的距離為?！军c(diǎn)評(píng)】該試題出題的角度不同于平常，因?yàn)樯婕暗氖莾蓚€(gè)二次曲線的交點(diǎn)問題，并且要研究兩曲線在公共點(diǎn)出的切線，把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具性結(jié)合起來，是該試題的創(chuàng)新處。另外對(duì)于在第二問中更是難度加大了，出現(xiàn)了另外的兩條公共的切線，這樣的問題對(duì)于我們以后的學(xué)習(xí)也是一個(gè)需要練習(xí)的方向。