《函數(shù)與基本初等函數(shù)》函數(shù)的奇偶性和周期性課件.ppt
,第3課時函數(shù)的奇偶性和周期性,2011考綱下載,1了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義,并能運用奇偶性的定義判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性 2掌握奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖象對稱關系,并熟練地利用對稱性解決函數(shù)的綜合問題,新課標考試大綱把函數(shù)的奇偶性又提到與函數(shù)的單調性同等地位,因此,函數(shù)的奇偶性在新高考中占有重要的地位,成為新的熱點,在命題時主要是與函數(shù)的概念、圖象、性質綜合在一起考查而近幾年的高考中加大了對非三角函數(shù)的周期性和抽象函數(shù)的奇偶性,周期性的考查力度.,請注意!,1奇函數(shù)、偶函數(shù)、奇偶性 對于函數(shù)f(x),其定義域關于原點對稱: 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x)f(x),那么函數(shù)f(x)就是奇函數(shù); 如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x)f(x),那么函數(shù)f(x)就是偶函數(shù); 如果一個函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)),則稱這個函數(shù)在其定義域內(nèi)具有奇偶性,課前自助餐,課本導讀,2證明函數(shù)奇偶性的方法步驟 確定函數(shù)定義域關于原點對稱; 判定f(x)f(x)(或f(x)f(x),從而證得函數(shù)是奇(偶)函數(shù) 3奇偶函數(shù)的性質 奇函數(shù)圖象關于原點對稱, 偶函數(shù)圖象關于y軸對稱; 若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義,則f(0)0; 奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上分別單調,則其單調性一致; 偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上分別單調,則其單調性相反 若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(|x|),反之也成立,4周期函數(shù) 若f(x)對于定義域中任意x均有f(xT)f(x)(T為不等于0的常數(shù)),則f(x)為周期函數(shù),1對任意實數(shù)x,下列函數(shù)中的奇函數(shù)是() Ay2x3By3x2 Cyln5x Dy|x|cosx 答案C 2若函數(shù)yf(x)(xR)是奇函數(shù),則下列坐標表示的點一定在函數(shù)yf(x)圖象上的是 () A(a,f(a) B(a,f(a) C(a,f(a) D(a,f(a) 答案B,4(2010廣東卷)若函數(shù)f(x)3x3x與g(x)3x3x的定義域均為R,則() Af(x)與g(x)均為偶函數(shù) Bf(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù) Cf(x)與g(x)均為奇函數(shù) Df(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù) 答案B 解析由f(x)3x3xf(x)可知f(x)為偶函數(shù),由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)為奇函數(shù),5(2010安徽卷)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù),且滿足f(1)1,f(2)2,則f(3)f(4)() 答案A 解析由于函數(shù)f(x)的周期為5,所以f(3)f(4)f(2)f(1),又f(x)為R上的奇函數(shù),f(2)f(1)f(2)f(1)211.,題型一 判斷函數(shù)的奇偶性,授人以漁,探究1判斷函數(shù)的奇偶性,一般有以下幾種方法: (1)定義法:若函數(shù)的定義域不是關于原點對稱的區(qū)間,則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);若函數(shù)的定義域是關于原點對稱的區(qū)間,再判斷f(x)是否等于f(x) (2)圖象法:奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點(或y軸)對稱 (3)性質法:偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)(注:利用上述結論時要注意各函數(shù)的定義域),思考題1判斷下列函數(shù)的奇偶性,(2)g(x)的定義域為R 當a0時,g(x)x2|x| g(x)(x)2|x|x2|x|g(x) 此時g(x)為偶函數(shù) 當a0時,g(a)a2,g(a)a22|a| 顯然g(a)g(a),g(a)g(a) 此時g(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),題型二 奇偶性的應用,(3)f(x1)為偶函數(shù) 函數(shù)g(x)f(x1)的圖象關于直線x0對稱 又函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)f(x1)的圖象向右平移一個單位而得 函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱 探究2奇偶函數(shù)的性質主要體現(xiàn)在 若f(x)為奇函數(shù),則f(x)f(x) 若f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(x) 奇偶函數(shù)的對稱性 奇偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性,思考題2(1)若函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且在0,)上是減函數(shù),滿足f() 即<a<0. 由上述兩種情況知a(,) 【答案】(,) (2)函數(shù)yf(x2)為奇函數(shù),則函數(shù)yf(x)的圖象的對稱中心為_,【解析】f(x2)為奇函數(shù) f(x2)的圖象的對稱中心為(0,0) 又f(x)的圖象可由函數(shù)f(x2)的圖象向左平移兩個單位而得 f(x)的圖象的對稱中心為(2,0) 題型三 函數(shù)的周期性 例3(09山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)若方程f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1x2x3x4_,【解析】由f(x4)f(x)f(4x)f(x),故函數(shù)圖象關于直線x2對稱,又函數(shù)f(x)在0,2上是增函數(shù),且為奇函數(shù),故f(0)0,故函數(shù)f(x)在(0,2)上大于0,根據(jù)對稱性知函數(shù)f(x)在2,4上大于0,同理推知函數(shù)f(x)在4,8上小于0,故在區(qū)間0,8上方程f(x)m(m0)的兩根關于直線x2對稱,故此兩根之和等于4,根據(jù)f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x),函數(shù)f(x)以8為周期,故在區(qū)間(8,0)上方程f(x)m(m0)的兩根關于直線x6對稱,此兩根之和等于12,綜上四個根之和等于8. 【答案】8,探究3證明函數(shù)是周期函數(shù)應緊扣周期函數(shù)的定義。 若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(xa)f(xb),則f(x)為周期函數(shù),若函數(shù)f(x)對任意x滿足f(xa)f(bx),則函數(shù)圖象為軸對稱圖形 思考題3f(x)的定義域為R的奇函數(shù),且圖象關于直線x1對稱,試判斷f(x)的周期性 【答案】T4,【答案】T2,求x5,7時,f(x)的解析式 【解析】解析一f(1x)f(1x) f(x)f(2x),f(x)為周期函數(shù),T2 f(x)為偶函數(shù) x1,0時,x0,1 f(x)f(x)x1 x5,6時,x61,0 f(x)f(x6)(x6)1x5 x6,7時,x60,1 f(x)f(x6)(x6)1x7,思考題4已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對xR,f(2x)f(2x),當f(1)2時,f(2011)的值為_ 【解析】因為定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(2x)f(2x)f(x2),故函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù),所以f(2011)f(14503)f(1)2. 【答案】2,本課總結,課時作業(yè)(6),