小學(xué)數(shù)學(xué)知識點例題精講《工程問題（二）》教師版

11.熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法;2.工程問題中常出現(xiàn)單獨做,幾人合作或輪流做,分析時一定要學(xué)會分段處理;3.根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換;4.工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點,是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補充,是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具.工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題,它具有抽象性,學(xué)生認(rèn)知起來比較困難.在教學(xué)中,讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵.一 工程問題的基本概念定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時間和工作效率之間相互關(guān)系的問題.工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量三個基本公式：工作總量=工作效率工作時間,工作效率=工作總量工作時間,工作時間=工作總量工作效率;二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,必須做到以下幾方面：具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力,解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識,如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運用;學(xué)會畫線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應(yīng)關(guān)系,發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件,可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路,正確地進行分析、綜合、判斷和推理;學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端,單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法因此,在解題過程中,要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法,不斷地開拓解題思路三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開“工作總量”和“時間”,抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系,轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率,最后再利用先前的假設(shè)“把整個工程看成一個單位”,求得問題答案一般情況下,工程問題求的是時間知識精講知識精講教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)工程問題（二）工程問題（二）2模塊一、工程問題變速問題【例例 1】甲打一篇文稿,打完一半后吃晚飯,晚飯后每分鐘比晚飯前多打 32 個字前后共打 50 分鐘,前 25分鐘比后 25 分鐘少打 640 個字文稿一共（）字【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答、【關(guān)鍵詞】走美杯,三年級,初賽,四年級【解析】由“前 25 分鐘比后 25 分鐘少打 640 個字”,可知：多打這 640 個字需要的時間是：64032=20（分鐘）,那么就知飯前用了 30 分鐘,飯后用了 20 分鐘,如果這 640 個字全部用飯前的速度打,則需要 10 分鐘,故可知飯前的速度是 64 個字每分鐘,飯后的速度是 96 個字每分鐘,則文稿一共有：6430+9620=3840 個字.【答案】3840【例例 2】工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,原計劃 15 天完成,實際生產(chǎn)時改進了生產(chǎn)工藝,每天生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量比原計劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的多 10 件,結(jié)果提前 4 天完成了生產(chǎn)任務(wù),則這批產(chǎn)品有 件.【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答、【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,一試【解析】設(shè)工廠原計劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品x件,則改進生產(chǎn)工藝后每天生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為51011x件.根據(jù)題意有515(10)1111xx,解得11x.所以這批產(chǎn)品共有 1115=165（件）.【答案】165 件【例例 3】甲、乙兩個工程隊修路,最終按工作量分配 8400 元工資按兩隊原計劃的工作效率,乙隊?wèi)?yīng)獲5040 元實際上從第 5 天開始,甲隊的工作效率提高了 1 倍,這樣甲隊最終可比原計劃多獲得 960元那么兩隊原計劃完成修路任務(wù)要多少天?【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】開始時甲隊拿到840050403360元,甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比,即為3360:50402:3;甲提高工效后,甲、乙總的工資及工效比為(3360960):(5040960)18:17設(shè)甲開始時的工效為“2”,那么乙的工效為“3”,設(shè)甲在提高工效后還需x天才能完成任務(wù)有(244):(343)18:17xx,化簡為2165413668xx,解得407x 工程總量為40547607,所以原計劃60(23)12天完成【答案】12天【例例 4】甲、乙合作一件工程,由于配合得好,甲的工作效率比單獨做時提高110,乙的工作效率比單獨做時提高15甲、乙兩人合作6小時,完成全部工作的25,第二天乙又單獨做了6小時,還留下這件工作的1330尚未完成,如果這件工作始終由甲一人單獨來做,需要多少小時?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】人大附中例題精講例題精講3【解析】乙的工作效率是：2131(1)653036,甲的工作效率是：215111(6)(1)53651033,所以,單獨由甲做需要：113333(小時)【答案】33小時【鞏固鞏固】一項工程,甲獨做需 10 天,乙獨做需 15 天如果兩人合做,甲的工作效率就要降低,只能完成原來的45,乙只能完成原來的910現(xiàn)在要 8 天完成這項工程,兩人合做天數(shù)盡可能少,那么兩人要合做多少天?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】因為甲比乙的工作效率高,又要求合做的天數(shù)盡可能的少,所以除了兩人合作之外,其余工程應(yīng)由甲單獨完成現(xiàn)設(shè)兩人合作x天,則甲單獨做 8-x天,于是得到方程(11080+11590)x+110(8-x)=l,解出x=5.所以,在滿足條件下,兩人至少要合作 5 天【答案】5 天【鞏固鞏固】要發(fā)一份資料,單用 A 傳真機發(fā)送,要 10 分鐘;單用 B 傳真機發(fā)送,要 8 分鐘;若 A、B 同時發(fā)送,由于相互干擾,A、B 每分鐘共少發(fā) 0.2 頁.實際情況是由 A、B 同時發(fā)送,5 分鐘內(nèi)傳完了資料（對方可同時接收兩份傳真）,則這份資料有_頁.【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,一試【解析】沒受干擾時傳真機的合作工作效率為11910840,而實際的工作效率為15,所以這份資料共有910.2()8405（頁）【答案】5 天【例例 5】甲、乙兩人合作清理 400 米環(huán)形跑道上的積雪,兩人同時從同一地點背向而行各自進行工作,最初,甲清理的速度比乙快13,中途乙曾用 10 分鐘去換工具,而后工作效率比原來提高了一倍,結(jié)果從開始算起,經(jīng)過 1 小時,就完成了清理積雪的工作,并且兩人清理的跑道一樣長,問乙換了工具后又工作了多少分鐘?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】四中,入學(xué)測試,希望杯,六年級,2 試【解析】法一：直接求首先求出甲的工作效率,甲1個小時完成了200米的工作量,因此每分鐘完成10200603（米）,開始的時候甲的速度比乙快13,也就是說乙開始每分鐘完成為101(1)2.533（米）,換工具之后,工作效率提高一倍,因此每分鐘完成2.525（米）,問題就變成了,乙50分鐘掃完了200米的雪,前若干分鐘每分鐘完成2.5米,換工具之后的時間每分鐘完成了5米,求換工具之后的時間.這是一個雞兔同籠類型的問題,我們假設(shè)乙一直都是每分鐘掃2.5米,那么50分鐘應(yīng)該能掃2.550125（米）,比實際少了20012575（米）,這是因為換工具后每分鐘多掃了52.52.5（米）,因此換工具后的工作時間為752.530（分鐘）.法二：其實這個問題當(dāng)中的400米是一個多余條件,我們只需要根據(jù)甲乙兩人工作量相同和他們之4間的工作效率之比就可以求出這個問題的答案.我們不妨設(shè)乙開始每分鐘清理的量為3,甲比他快13,甲每分鐘可以清理4,60分鐘之后,甲一共清理了460240份的工作量,乙和他的工作總量相同,也是240份,但是乙之前的工作效率為3,換工具后的工作效率為6,和（法一）相同的,利用雞兔同籠的思想,可以得到乙換工具后工作了(2403 50)(63)30 分鐘.【答案】30分鐘【例例 6】甲、乙兩人同時加工同樣多的零件,甲每小時加工 40 個,當(dāng)甲完成任務(wù)的12時,乙完成了任務(wù)的12還差 40 個這時乙開始提高工作效率,又用了7.5小時完成了全部加工任務(wù)這時甲還剩下 20個零件沒完成求乙提高工效后每小時加工零件多少個?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】十三分,入學(xué)測試【解析】當(dāng)甲完成任務(wù)的12時,乙完成了任務(wù)的12還差 40 個,這時乙比甲少完成 40 個;當(dāng)乙完成全部任務(wù)時,甲還剩下 20 個零件沒完成,這時乙比甲多完成 20 個;所以在后來的7.5小時內(nèi),乙比甲多完成了402060個,那么乙比甲每小時多完成607.58個所以提高工效后乙每小時完成40848個【答案】48個【例例 7】甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成在晴天,一隊完成甲工作要 12 天,二隊完成乙工程要 15天;在雨天,一隊的工作效率要下降40%,二隊的工作效率要下降10%結(jié)果兩隊同時完成工作,問工作時間內(nèi)下了多少天雨?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】在晴天,一隊、二隊的工作效率分別為112和115,一隊比二隊的工作效率高111121560;在雨天,一隊、二隊的工作效率分別為11140%1220和131 10%1550,二隊的工作效率比一隊高3115020100由11:5:360 100知,3 個晴天 5 個雨天,兩個隊的工作進程相同,此時完成了工程的1113512202,所以在施工期間,共有 6 個晴天 10 個雨天方法二：本題可以用方程的方法,在方程解應(yīng)用題中會繼續(xù)出現(xiàn).【答案】10 個雨天【例例 8】一項挖土萬工程,如果甲隊單獨做,16 天可以完成,乙隊單獨做要 20 天能完成現(xiàn)在兩隊同時施工,工作效率提高 20當(dāng)工程完成14時,突然遇到了地下水,影響了施工進度,使得每天少挖了 47.25方土,結(jié)果共用了 10 天完成工程問整工程要挖多少方土?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】甲、乙合作時工作效率為(116+120)(1+20%)=27200則14的工程量需1427200=5027(天),則遇到地下水后,甲、乙兩隊又工作了 10-5027=22027(天)則此時甲、乙合作的工作效率為3422027=581880遇到地下水前后工作效率的差為:27200-81880=1894400,則總工作量為 47.251894400=1100 方土.【答案】1100 方土【例例 9】甲、乙兩個工程隊分別負(fù)責(zé)兩項工程晴天,甲完成工程需要 10 天,乙完成工程需要 16 天;雨天,甲和乙的工作效率分別是晴天時的30%和80%實際情況是兩隊同時開工、同時完工那么在施工期間,下雨的天數(shù)是 天【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,1 試【解析】在晴天,甲、乙兩隊的工作效率分別為110和116,甲隊比乙隊的工作效率高113101680;在雨天,甲隊、乙隊的工作效率分別為1330%10100和1180%1620,乙隊的工作效率比甲隊高1312010050由于兩隊同時開工、同時完工,完成工程所用的時間相同,所以整個施工期間,晴天與雨天的天數(shù)比為13:8:1550 80如果有 8 個晴天,則甲共完成工程的138151.2510100,而實際的工程量為 1,所以在施工期間,共有81.256.4個晴天,15 1.2512個雨天【答案】12個雨天【例例 10】一批工人到甲、乙兩個工地工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍,上午在甲工地工作的人數(shù)是乙工地人數(shù)的 3 倍,下午這批工人中的512在乙工地工作.一天下來,甲工地的工作已完成,乙工地的工作還需 4 名工人再做一天.這批工人有 人.【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,一試【解析】“甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍”說明甲、乙的工作量只比為 3：2.可設(shè)這批工人有 X 人,每個工人的工效都為 1,列式為：34X：（512X+4）=3：2 64X=54X+12 14X=12 X=48 所以這批工人有 48 人.【答案】48 人模塊二、工程問題方法與技巧整體分析法6【例例 11】甲、乙、丙三人生產(chǎn)一批玩具,甲生產(chǎn)的個數(shù)是乙、丙二人生產(chǎn)個數(shù)之和的12,乙生產(chǎn)的個數(shù)是甲、丙兩人生產(chǎn)個數(shù)之和的13,丙生產(chǎn)了 50 個.這批玩具共有_個.【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,二試【解析】如果直接研究甲、乙、丙三者之間的關(guān)系,可能會略顯復(fù)雜,我們需要引入一個中間量：甲乙丙三人生產(chǎn)玩具數(shù)量的總和.甲是乙丙和的12,則總和為3,甲占了1份,甲占了總數(shù)的13;乙是甲丙和的13,同理可知乙占了總數(shù)的14,那么可知丙生產(chǎn)的玩具占總數(shù)的11513412,所以總數(shù)是55012012（個）.【答案】120個【例例 12】幾個同學(xué)去割兩塊草地的草,甲地面積是乙地面積的 4 倍,開始他們一起在甲地割了半天,后來留下12 人割甲地的草,其余人去割乙地的草,這樣又割了半天,甲、乙兩地的草同時割完了,問：共有多少名學(xué)生?【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城實驗【解析】有 12 人全天都在甲地割草,設(shè)有人上午在甲地,下午在乙地割草由于這人在下午能割完乙地的草(甲地草的14),所以這些人在上午也能割甲地14的草,所以 12 人一天割了甲地34的草,每人每天割草為3112416,全部的草為甲地草的54,5120416,所以共有 20 名學(xué)生【答案】20 名學(xué)生【鞏固鞏固】一批工人到甲、乙兩個工地進行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的112倍上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的3倍,下午這批工人中有712的人去甲工地其他工人到乙工地到傍晚時,甲工地的工作已做完,乙工地的工作還需4名工人再做1天,那么這批工人有多少人?【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意,這批工人的人數(shù)是 12 的倍數(shù),設(shè)這批工人有12x人那么上午有9x人在甲工地,有3x人在乙工地;下午有7x人在甲工地,有5x人在乙工地所以甲工地相當(dāng)于9728xxx人做了一整天;乙工地相當(dāng)于3524xxx人做了一整天由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的32倍,假設(shè)甲工地的工作量是 3 份,那么乙工地的工作量是2 份8x人做一整天完成 3 份,那么4x人做一整天完成32份,所以乙工地還剩下31222份這12份需要 4 名工人做一整天,所以甲工地的 3 份需要143242人做一整天,即824x,可得3x,那么這批工人有12336(人)【答案】36人7【例例 13】有兩個同樣的倉庫,搬運完其中一個倉庫的貨物,甲需要 6 小時,乙需要 7 小時,丙需要 14 小時甲、乙同時開始各搬運一個倉庫的貨物,開始時,丙先幫甲搬運,后來又去幫乙搬運,最后兩個倉庫的貨物同時搬完則丙幫甲 小時,幫乙 小時【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,2 試【解析】整個搬運的過程,就是甲、乙、丙三人同時開始同時結(jié)束,共搬運了兩個倉庫的貨物,所以它們完成工作的總時間為111212()67144小時在這段時間內(nèi),甲、乙各自在某一個倉庫內(nèi)搬運,丙則在兩個倉庫都搬運過甲完成的工作量是1217648,所以丙幫甲搬了71188的貨物,丙幫甲做的時間為11318144小時,那么丙幫乙做的時間為213113442小時【答案】丙幫甲314小時,丙幫乙132小時【鞏固鞏固】搬運一個倉庫的貨物,甲需10小時,乙需12小時,丙需15小時有同樣的倉庫A和B,甲在A倉庫,乙在B倉庫同時開始搬運貨物,丙開始幫甲搬運,中途又轉(zhuǎn)向幫乙搬運,最后同時搬完兩個倉庫的貨物丙幫助甲、乙各搬運了幾小時?【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】甲、乙、丙搬完兩個倉庫共用了：1112()8101215小時,丙幫助甲搬運了111831015小時,丙幫助乙搬運了835小時【答案】5小時【例例 14】甲、乙、丙三隊要完成A,B兩項工程,B工程的工作量是A工程工作量再增加14,如果讓甲、乙、丙三隊單獨做,完成A工程所需要的時間分別是20天,24天,30天現(xiàn)在讓甲隊做A工程,乙隊做B工程,為了同時完成這兩項工程,丙隊先與乙隊合做B工程若干天,然后再與甲隊合做A工程若干天問丙隊與乙隊合做了多少天?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】這個問題當(dāng)中有兩個不同的工程,三個不同的人,因此顯得很難解決,數(shù)學(xué)中化歸的思想很重要,即以一個為基準(zhǔn),把其他的量轉(zhuǎn)化為這個量,然后進行計算,我們不妨設(shè)A工程的工作總量為單位“1”,那么B工程的工作量就是“54”,那么這個問題就和例5聯(lián)系到了一起了.三隊合作完成兩項工程所用的天數(shù)為：51111184202430天.18天里,乙隊一直在完成B工作,因此乙的工作量為1318244,B剩下的工作量應(yīng)該是由丙完成,因此丙在B工程上用了531154430天也就是說兩隊合作了15天.解題關(guān)鍵是把“一項工程”看成一個單位,運用公式：工作效率工作時間工作總量,表示出各個工程隊(人員)或其組合在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和單位下的工作效率【答案】15天8【例例 15】甲、乙、丙三人同時分別在 3 個條件和工作量相同的倉庫工作,搬完貨物甲用 10 小時,乙用 12 小時,丙用 15 小時第二天三人又到兩個大倉庫工作,這兩個倉庫的工作量相同甲在A倉庫,乙在B倉庫,丙先幫甲后幫乙,用了 16 個小時將兩個倉庫同時搬完丙在A倉庫搬了多長時間?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】因為A、B兩個倉庫的工作量相同,所以甲、乙、丙如果都在其中一個大倉庫工作,那么 8 小時可以搬完因為甲、乙、丙三人每小時的工作量的比是111:6:5:410 12 15,所以甲每小時可以完成大倉庫工作量的161865420,丙每小時可以完成大倉庫工作量的141865430那么甲 16 小時完成了A倉庫的1416205,丙在A倉庫搬了41(1)6530小時【答案】6小時【例例 16】一項工程,乙單獨做要17天完成如果第一天甲做,第二天乙做,這樣交替輪流做,那么恰好用整天數(shù)完成;如果第一天乙做,第二天甲做,這樣交替輪流做,那么比上次輪流的做法多用半天完工問：甲單獨做需要幾天?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】甲、乙輪流做,如果是偶數(shù)天完成,那么乙、甲輪流做必然也是偶數(shù)天完成,且等于甲、乙輪流做的天數(shù),與題意不符;所以甲、乙輪流做是奇數(shù)天完成,最后一天是甲做的那么乙、甲輪流做比甲、乙輪流做多用半天,這半天是甲做的如果設(shè)甲、乙工作效率分別為1V和2V,那么12112VVV,所以122VV,乙單獨做要用17天,甲的工作效率是乙的2倍,所以甲單獨做需要1728.5天【答案】8.5天【例例 17】一項工程,甲單獨完成需 l2 小時,乙單獨完成需 15 小時.甲乙合做 1 小時后,由甲單獨做 1 小時,再由乙單獨做 1 小時,甲、乙如此交替下去,則完成該工程共用_小時.【考點】工程問題 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級,一試【解析】甲乙合做 1 小時后,還剩下：11171151220,甲乙單獨做 2 小時,共做113151220,還需要做25=10 小時,還剩下110,需要甲做 1 小時,還有111101260,乙還需要做11160154小時,一共需要1+10+1+0.25=12.25 小時【答案】8.5天【例例 18】一項工程,甲單獨做要 12 小時完成,乙單獨做要 18 小時完成若甲先做 1 小時,然后乙接替甲做 1 小時,再由甲接替乙做 1 小時,兩人如此交替工作,請問：完成任務(wù)時,共用了多少小時?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】若甲、乙兩人合作共需多少小時?11511171218365（小時）甲、乙兩人各單獨做 7 小時后,還剩多少?9 1135117112183636 余下的136由甲獨做需要多少小時?11136123（小時）共用了多少小時?11721433（小時）在工程問題中,轉(zhuǎn)換條件是常用手法本題中,甲做 1 小時,乙做 1 小時,相當(dāng)于他們合作 1 小時,也就是每 2 小時,相當(dāng)于兩人合做 1 小時這樣先算一下一共進行了多少個這樣的 2 小時,余下部分問題就好解決了【答案】1143小時【鞏固鞏固】一件工程,甲單獨做要6小時,乙單獨做要10小時,如果接甲、乙、甲、乙 順序交替工作,每次1小時,那么需要多長時間完成?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】甲1小時完成整個工程的16,乙1小時完成整個工程的110,交替干活時兩個小時完成整個工程的11461015,甲、乙各干3小時后完成整個工程的443155,還剩下15,甲再干1小時完成整個工程的16,還剩下130,乙花13小時即20分鐘即可完成所以需要7小時20分鐘來完成整個工程【答案】7小時20分鐘【鞏固鞏固】規(guī)定兩人輪流做一個工程,要求第一個人先做 1 個小時,第二個人接著做一個小時,然后再由第一個人做 1 個小時,然后又由第二個人做 1 個小時,如此反復(fù),做完為止如果甲、乙輪流做一個工程需要9.8小時,而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時,那乙單獨做這個工程需要多少小時?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意,有：10.810.6甲乙甲乙甲小時乙小時乙甲乙甲乙小時甲小時,可知,甲做10.60.4小時與乙做10.80.2小時的工作量相等,故甲工作 2 小時,相當(dāng)于乙 1 小時的工作量所以,乙單獨工作需要9.85527.3小時【答案】7.3小時【例例 19】公園水池每周需換一次水水池有甲、乙、丙三根進水管第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、的順序輪流打開 1 小時,恰好在打開水管整數(shù)小時后灌滿空水池第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的順序輪流打開 1 小時,灌滿一池水比第一周少用了 15 分鐘;第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲的順序輪流打開 1 小時,比第一周多用了 15 分鐘第四周他三個管同時打開,灌滿一池水用了 2 小時 20 分,第五周他只打開甲管,那么灌滿一池水需用_小時【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯,高年級,初賽【解析解析解析】考慮水池減去甲乙丙兩小時總和后的容積,則此部分按照甲乙丙的順序灌剛好在整數(shù)小時后灌滿,按照乙丙甲的順序灌少用 15 分鐘,按照丙乙甲的順序灌多用 15 分鐘,三個一起灌用 20 分鐘所以速度應(yīng)該是乙最快,甲居中,丙最慢也就是說,此部分是甲灌 1 個小時后灌滿甲灌 1 個小時的水=乙10灌 45 分鐘的水=丙灌 1 個小時的水+乙灌 15 分鐘的水所以灌水速度甲乙丙3 4 2,也就是甲剛好是平均數(shù)所以只用甲管灌滿需要 7 小時【答案】7 小時【例例 20】為了創(chuàng)建綠色學(xué)校,科學(xué)俱樂部的同學(xué)設(shè)計了一個回收食堂的洗菜水來澆花草的水池,要求單獨打開進水管3小時可以把水池注滿,單獨打開出水管4小時可以排完滿池水.水池建成后,發(fā)現(xiàn)水池漏水.這時,若同時打開進水管和出水管14小時才能把水池注滿.則當(dāng)池水注滿,并且關(guān)閉進水管與出水管時,經(jīng)過 小時池水就會漏完.【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯【解析】設(shè)滿水池水位單位“1”,水池漏水相當(dāng)于一個工作效率為1111341484的出水管,因此關(guān)閉進水管與出水管,經(jīng)過84小時池水就會漏完【答案】84小時【例例 21】蓄水池有一條進水管和一條排水管要灌滿一池水,單開進水管需5小時;排光一池水,單開排水管需3小時現(xiàn)在池內(nèi)有半池水,如果按進水,排水,進水,排水的順序輪流各開1小時問：多長時間后水池的水剛好排完?(精確到分鐘)【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】法一：1小時排水比1小時進水多1123515,121321510,說明排水開了3小時后（實際加上進水3 小時,已經(jīng)過去6小時了）,水池還剩一池子水的110,再過1小時,水池里的水為一池子水的11310510,把這些水排完需要31910310小時,不到 1 小時,所以共需要 996171010 小時7小時54分法二：1小時排水比1小時進水多1123515,211415230,說明8小時以后,水池的水全部排完,并且多排了一池子水的130,排一池子需要3小時,排一池子水的130需要1133010小時,所以實際需要19871010小時7小時54分【答案】7小時54分【鞏固鞏固】一項工程,甲、乙合作3125小時可以完成,若第1小時甲做,第2小時乙做,這樣交替輪流做,恰好整數(shù)小時做完;若第1小時乙做,第2小時甲做,這樣交替輪流做,比上次輪流做要多13小時,那么這項工作由甲單獨做,要用多少小時才能完成?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答 11【解析】若第一種做法的最后一小時是乙做的,那么甲、乙共做了偶數(shù)個小時,那么第二種做法中甲、乙用的時間應(yīng)與第一種做法相同,不會多13小時,與題意不符所以第一種做法的最后一小時是甲做的,第二種做法中最后13小時是甲做的,而這13小時之前的一小時是乙做的,所以乙13甲甲,得乙23甲甲、乙工作效率之和為：351 12563,甲的工作效率為：5231(1)6336321,所以甲單獨做的時間為112121(小時)【答案】21小時【例例 22】甲、乙、丙 3 隊要完成 A,B 兩項工程B 工程的工作量比 A 工程的工作量多14甲、乙、丙 3 隊單獨完成 A 工程所需時間分別是 20 天、24 天、30 天.為了同時完成這兩項工程,先派甲隊做 A 工程,乙、丙兩隊共同做 B 工程;經(jīng)過幾天后,又調(diào)丙隊與甲隊共同完成 A 工程那么,丙隊與乙隊合作了多少天?【考點】工程問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】設(shè) A 項工程的工程總量為“1”,那么 B 工程的工程總量為54,A、B 兩項工程的工程總量為1+54=94而甲、乙、丙合作時的工作效率為120+124+130=18,甲、乙、丙始終在同時工作,所以兩項工程同時完成時所需的時間為9418=18(天)在這 18 天,乙完成 18124=34的工程量,則 B 工程中剩下的54-34=12的工程量是由丙幫助完成,即12130=15(天)即丙隊與乙隊合作了 15 天【答案】15 天【例例 23】蓄水池有甲、丙兩條進水管和乙、丁兩條排水管,要灌滿一池水,單開甲管需3小時,單開丙管需要5小時,要排光一池水,單開乙管需要4小時,單開丁管需要6小時,現(xiàn)在池內(nèi)有16的水,若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的順序輪流打開1小時,問多少時間后水開始溢出水池?【考點】工程問題 【難度】5 星 【題型】解答【解析】甲乙丙丁順序循環(huán)各開1小時可進水：11117345660,循環(huán)5次后水池還空：171156604,14的工作量由甲管注水需要：113434(小時),所以經(jīng)過33452044小時后水開始溢出水池【答案】3204【例例 24】一件工程甲單獨做50小時完成,乙單獨做30小時完成現(xiàn)在甲先做1小時,然后乙做2小時,再由甲做3小時,接著乙做4小時兩人如此交替工作,完成任務(wù)共需多少小時?【考點】工程問題 【難度】5 星 【題型】解答【解析】甲、乙交替各做四次,完成的工作量分別為：1357165050,2468203030,此時剩下的工作量為162011()503075還需甲做11275503(小時),12所以共需22(1357)(2468)3633(小時)【答案】2363(小時)【例例 25】甲、乙、丙三人做一件工作,原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做,恰好整數(shù)天做完,若按乙、丙、甲的順序輪流去做,則比計劃多用半天;若按丙、甲、乙的順序輪流去做,則也比原計劃多用半天已知甲單獨做完這件工作要10天,且三個人的工作效率各不相同,那么這項工作由甲、乙、丙三人一起做,要用多少天才能完成?【考點】工程問題 【難度】5 星 【題型】解答【解析】首先應(yīng)確定按每一種順序去做的時候最后一天由誰來完成如果按甲、乙、丙的順序去做,最后一天由丙完成,那么按乙、丙、甲的順序和丙、甲、乙的順序去做時用的天數(shù)將都與按甲、乙、丙的順序做用的天數(shù)相同,這與題意不符;如果按甲、乙、丙的順序去做,最后一天由乙完成,那么按乙、丙、甲的順序去做,最后由甲做了半天來完成,這樣有12甲乙乙丙甲,可得12丙甲;而按丙、甲、乙的順序去做,最后由乙做了半天來完成,這樣有12甲乙丙甲乙,可得12丙乙那么甲乙,即甲、乙的工作效率相同,也與題意不合所以按甲、乙、丙的順序去做,最后一天是由甲完成的那么有1122甲乙丙丙甲,可得34乙甲,12丙甲這項工作由甲、乙、丙三人一起做,要用131411410429天【答案】449天【例例 26】甲、乙、丙三人完成一件工作,原計劃按甲、乙、丙順序每人輪流工作一天,正好整數(shù)天完成,若按乙、丙、甲的順序每人輪流工作一天,則比原計劃多用12天;若按丙、甲、乙的順序每人輪流工作一天,則比原計劃多用13天已知甲單獨完成這件工作需10.75天問：甲、乙、丙一起做這件工作,完成工作要用多少天?【考點】工程問題 【難度】5 星 【題型】解答【解析】以甲、乙、丙各工作一天為一個周期,即 3 天一個周期容易知道,第一種情況下一定不是完整周期內(nèi)完成,但是在本題中,有兩種可能,第一種可能是完整周期1天,第二種可能是完整周期2天如果是第一種可能,有1123甲乙丙丙甲,得23乙丙甲然而此時甲、乙、丙的效率和為12228110.7533129,經(jīng)過 4 個周期后完成281124129129,還剩下112171129129,而甲每天完成141210.7543129,所以剩下的17129不可能由甲 1 天完成,即所得到的結(jié)果與假設(shè)不符,所以假設(shè)不成立再看第二種可能：完整周期不完整周期完成總工程量第一種情況n個周期甲 1 天,乙 1 天“1”13第二種情況n個周期乙 1 天,丙 1 天,甲12天“1”第三種情況n個周期丙 1 天,甲 1 天,乙13天“1”可得1123甲乙乙丙甲丙甲乙,所以12丙甲,34乙甲因為甲單獨做需10.75天,所以工作效率為443,于是乙的工作效率為43343443,丙的工作效率為41243243于是,一個周期內(nèi)他們完成的工程量為432943434343則需91443個完整周期,剩下97144343的工程量;正好甲、乙各一天完成所以第二種可能是符合題意的于是,根據(jù)第二種可能得出的工作效率,甲、乙、丙合作一天完成的工程量是943,所以三人合作完成工作需要9437144399天【答案】749天