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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破三 離心率的求法課件 北師大版選修1 -1.ppt

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2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破三 離心率的求法課件 北師大版選修1 -1.ppt

專題突破三離心率的求法,第二章圓錐曲線與方程,一、以漸近線為指向求離心率 例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60,則雙曲線的離心率為_.,思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況,焦點(diǎn)位置也有兩種情況,分別討論即可.,解析由題意知,雙曲線的漸近線存在兩種情況. 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時,若其中一條漸近線的傾斜角為60,如圖1所示; 若其中一條漸近線的傾斜角為30,如圖2所示.,點(diǎn)評雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助 進(jìn)行互求.一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程,求離心率的值,都會有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論.,跟蹤訓(xùn)練1中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則它的離心率為,解析由題意知,過點(diǎn)(4,2)的漸近線的方程為,二、以焦點(diǎn)三角形為指向求離心率 例2如圖,F(xiàn)1和F2分別是雙曲線 (a0,b0)的兩個焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點(diǎn),且F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為_.,思維切入連接AF1,在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解.,解析方法一如圖,連接AF1,由F2AB是等邊三角形,知AF2F130. 易知AF1F2為直角三角形,,方法二如圖,連接AF1,易得F1AF290, F1F2A30,F(xiàn)2F1A60, 于是離心率,點(diǎn)評涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的 值.,解析方法一如圖, DF1F2為正三角形,N為DF2的中點(diǎn), F1NF2N, |NF2|OF2|c,,由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a,,方法二注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中, NF1F230,NF2F160,F(xiàn)1NF290, 則由離心率的三角形式,,三、尋求齊次方程求離心率,思維切入通過2|AB|3|BC|,得到a,b,c的關(guān)系式,再由b2c2a2,得到a和c的關(guān)系式,同時除以a2,即可得到關(guān)于e的一元二次方程,求得e.,2,又2|AB|3|BC|,,即2b23ac, 2(c2a2)3ac, 兩邊同除以a2并整理得2e23e20, 解得e2(負(fù)值舍去).,點(diǎn)評求圓錐曲線的離心率,就是求a和c的值或a和c的關(guān)系,然后根據(jù)離心率的定義求得.但在多數(shù)情況下,由于受到題目已知條件的限制,很難或不可能求出a和c的值,只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式,進(jìn)而求得 的值,其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,結(jié)合c2a2b2,化簡為參數(shù)a,c的關(guān)系式進(jìn)行求解.,由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2, 將b2a2c2代入,得a2acc20,,故離心率e的取值范圍是2,).,四、利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的取值范圍,2,),(1a2)x22a2x2a20. 由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點(diǎn), 則1a20a21,且此時4a2(2a2)0a2<2, 所以a2(0,1)(1,2).,五、利用焦半徑的性質(zhì)求離心率的取值范圍,解析在PF1F2中,由正弦定理知,又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以|PF1|PF2|2a.,又ac<|PF2|<ac,,點(diǎn)評圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離叫做該點(diǎn)的焦半徑. (1)橢圓焦半徑的取值范圍為ac,ac. (2)雙曲線的焦半徑: 點(diǎn)P與焦點(diǎn)F位于y軸同側(cè)時,其取值范圍為ca,); 點(diǎn)P與焦點(diǎn)F位于y軸異側(cè)時,其取值范圍為ca,).,跟蹤訓(xùn)練5已知雙曲線 (a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PF1|4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為,解析P在雙曲線的右支上, 由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a, |PF1|4|PF2|, 4|PF2|PF2|2a,,根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,,1,2,3,4,5,針對訓(xùn)練,ZHENDUIXUNLIAN,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析過F1的直線MF1是圓F2的切線, F1MF290,|MF2|c,|F1F2|2c,,3.如圖,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M,N,若過F1的直線MF1是圓F2的切線,則橢圓的離心率為,1,2,3,4,5,6,7,4.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線 (a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若ABF2為鈍角三角形,則該雙曲線的離心率e的取值范圍為,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形,且AF2BF2, 只要AF2B為鈍角即可.,故選B.,解析由雙曲線的對稱性,,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析因?yàn)閨MF2|7|MF1|, 所以|MF2|MF1|6|MF1|, 即2a6|MF1|6(ca),故8a6c,,當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點(diǎn)時,等號成立.,1,2,3,4,5,6,7,解析如圖,連接PF1,OQ, 由OQ為PF1F2的中位線,,由圓x2y2b2, 可得|OQ|b,則|PF1|2b. 由橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a, 即|PF2|2a2b. 又OQPF2,所以PF1PF2, 即(2b)2(2a2b)2(2c)2, 即b2a22abb2c2a2b2,,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,

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