（新課標(biāo)）備戰(zhàn)2021高考數(shù)學(xué)“3＋1”保分大題強(qiáng)化練（四）理

（新課標(biāo)）備戰(zhàn)2020高考數(shù)學(xué)“31”保分大題強(qiáng)化練（四）理 “31”保分大題強(qiáng)化練(四) 前3個大題和1個選考題不容有失1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2(acos Bcos Cccos Bcos A)(1)求B的大小；(2)若ac5，且SABC，求邊長b的值解：(1)由已知條件及正弦定理得sin B2(sin Acos B·cos Csin C cos Bcos A)2cos B(sin Acos Csin Ccos A)2cos Bsin(AC)，可得cos B.又0<B<，B.(2)由(1)及余弦定理得，b2a2c2ac(ac)23ac.ac5，b2253ac，SABC，acsin B，即ac4，b213，b.2某工廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，甲車間有工人200人，乙車間有工人400人，為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人甲車間抽取的工人記作第一組，乙車間抽取的工人記作第二組，并對他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時間(單位：min)進(jìn)行統(tǒng)計，按照55,65)，65,75)，75,85)，85,95進(jìn)行分組，得到下列統(tǒng)計圖(1)分別估算兩個車間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75 min的人數(shù)(2)分別估計兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值，并推測哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高？(3)從第一組生產(chǎn)時間少于75 min 的工人中隨機(jī)抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時間少于65 min 的工人人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望解：(1)由題意得，第一組工人20人，其中在75 min 內(nèi)(不含75 min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有6人，甲車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75 min的人數(shù)約為6×1060.第二組工人40人，其中在75 min內(nèi)(不含75 min)生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的有40×(0.0250.05)×1030(人)，乙車間工人中生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于75 min的人數(shù)約為30×10300.(2)第一組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時間為甲78(min)，第二組工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的平均時間為乙60×0.2570×0.580×0.290×0.0570.5(min)，甲乙，乙車間工人的生產(chǎn)效率更高(3)由題意得，第一組生產(chǎn)時間少于75 min 的工人有6人，其中生產(chǎn)時間少于65 min 的有2人，從中抽取3人，則X的可能取值為0,1,2，P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望E(X)0×1×2×1.3如圖，等腰梯形ABCD中，ABCD，ADABBC1，CD2，E為CD的中點(diǎn)，將ADE沿AE折到APE的位置(1)證明：AEPB；(2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時，求二面角A­PE­C的余弦值解：(1)證明：在等腰梯形ABCD中，連接BD，交AE于點(diǎn)O，ABCE，ABCE，四邊形ABCE為平行四邊形，AEBCADDE，ADE為等邊三角形，在等腰梯形ABCD中，CADE60°，BDBC，BDAE.如圖，翻折后可得OPAE，OBAE，又OPOBO，OP平面POB，OB平面POB，AE平面POB，PB平面POB，AEPB.(2)當(dāng)四棱錐P­ABCE的體積最大時，平面PAE平面ABCE.又平面PAE平面ABCEAE，PO平面PAE，POAE，OP平面ABCE .以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得， P，E，C，P，設(shè)平面PCE的法向量為n1(x，y，z)，則即設(shè)x，則y1，z1，n1(，1,1)為平面PCE的一個法向量，易知平面PAE的一個法向量為n2(0,1,0)，cosn1，n2.由圖知所求二面角A­PE­C為鈍角，二面角A­PE­C的余弦值為.4選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為2cos ，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于O的三點(diǎn)A(1，)，B，C(1，2，30)都在曲線M上(1)求證：123；(2)若過B，C兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積解：(1)證明：由題意得12cos ，22cos ，32cos ，所以232cos 2cos 2cos 1.(2)由曲線M的極坐標(biāo)方程得曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標(biāo)方程得t2t0，解得t10，t2，在平面直角坐標(biāo)中，B，C(2,0)，則21，32，1.四邊形OBAC的面積SSAOBSAOC12·sin 13sin.選修45：不等式選講已知不等式|ax1|x3|的解集為x|x1(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求的最大值解：(1)|ax1|x3|的解集為x|x1，即(1a2)x2(2a6)x80的解集為x|x1當(dāng)1a20時，不符合題意，舍去當(dāng)1a20，即a±1時，x1為方程(2a6)x80的一解，經(jīng)檢驗(yàn)a1不符合題意，舍去，a1符合題意綜上，a1.(2)()2162162，當(dāng)t4時，()2有最大值，為32.又0，所以的最大值為4.11