小升初奧數(shù)難點之迎面相遇問題

小升初奧數(shù)中有很多專題，我們需要把專題分類清晰，腦海中有清晰的脈絡，逐個梳理學習。這也是小學培養(yǎng)知識統(tǒng)合梳理能力的有效機會。雞兔同籠、抽屜原理、孫子定理等都是小學奧數(shù)常出現(xiàn)的專題，其中有一個問題對中學學習很有幫助，那就是：迎面相遇問題，也是小升初奧數(shù)的難點之一，數(shù)學家教專題講解：甲乙兩車往返于AB兩地，第一次距離A地700米處相遇，第二次距離B400米處相遇。求共有多少個迎面相遇點？幾個背后追上點？分析：行程問題多次相遇和追及都是加2全程的規(guī)律。但我開始對這個題的分析是有小問題的。就是相遇點不可以是起點或終點。此題我們先考慮全程。第一次兩人共走1個全程。第二次共3個所以甲此時走了2100米，單獨看甲是一個全程多400米。全程就是2100-400=1700米。三次是3500米離A100米，第四次是離起點1500米，第五次-500米，第六次900米，第七次-1100米，第8次300米，第九次是1700米。但是第九次是我們要思考的能在終點B相遇嗎。此時甲走了7個全程，乙走了10個全程。此時所謂的相遇點實際上是追及點。他們同時到B并且同時掉頭不是迎面相遇。所以端點是不能成為迎面相遇點的。因為按規(guī)律算既是相遇點也是追及點。第九次相遇點實際是規(guī)律的第十次為-300米。第十次為規(guī)律的第11次為1100米，第11次為-900米，第12次為500米，第13次為-1500米，第14次為-100米，第15次為1300米，第16次為-700米。注意這里的正方向指的是出發(fā)向B距離，-指的是返回余下距離。絕對值相同的點是同一個點，只是方向不同而已。第17次是700米。這里實際是每16次迎面相遇是一個周期，從分析可以看出迎面相遇點只有8個。接下來我們討論背后追上點。速度比7：10，所以第一次追上一個全程相當于3份對1個全程為1700/3，追及是沒有特殊情況的。第一次甲走1700/3，第n次走1700（2n-1）/3，我們一次次枚舉得到第一次距離1700/3，第二次是1700米，第三次是-1700/3，第四次是1700/3.絕對值相同時追及點也是一致的。所以追上點共2個。我們通過此題發(fā)現(xiàn)相遇點共8個追上點共2個。并且沒有一個點既是相遇點也是追上點。通過這個題我們認識到多次相遇的迎面加2全程對于相遇點不是起點或終點是正確的，但注意如果有相遇點是起點或終點就要跳過一次。追上這個基本規(guī)律仍然適用。筆者發(fā)現(xiàn)如果速度快的與速度慢的最簡整數(shù)比是a：b，這背后追上點有（a-b+1）/2取整那么多個，迎面相遇點有（a+b）/2取整那么多個。并且不存在既是迎面相遇點也是背后追上點的點。若存在則（2n-1）a/（a+b）與（2k-1）a/a-b對2倍全程同余數(shù)。回到本題就是（2n-1）10/17與（2k_1）10/3對17余數(shù)相同。不難知道此時只能是終點，而終點是不能作為相遇點的。如果此題我們用行程規(guī)律辦就是700（2n-1）。就代數(shù)角度易知是相遇周期17并且如果s，t有700（2s-1），700（2t-1）對3400余數(shù)一樣必有1400（s-t）是3400倍數(shù)，約分后7（s-t）是17的倍數(shù)。但700（2n-1）+700（2（18-n）-1）=700乘以34.所以關于中間次數(shù)相遇點是對稱的只是正相遇和負相遇的區(qū)別。所以有9個相遇點?？墒嵌它c沒有對稱點。故只有8個迎面相遇點。討論背后追上是1700（2n-1）/3，容易知道周期是3，和相遇樣其它的點都有對稱點，所以追上點有2個，終點無對應點。我們注意為何要用這背后追上點有（a-b+1）/2取整那么多個，迎面相遇點有（a+b）/2取整那么多個。原因是當a，b都是奇數(shù)的時候相遇點不可能是端點。追上點也不能是端點。就是每個相遇點和追及點都有正負對應。而上題的1700和-1700是不加區(qū)別的。只有在1700處追上，不存在相遇。由于時間倉促，有些地方考慮不周請大家指點。2小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒。他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘。在這段時間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？按規(guī)律做是7200除以100=72，按一般規(guī)律是36次，但注意到端點不能是相遇點。60（2n-1）為100的倍數(shù)要去掉。也就是3（2n-1）不能是5的倍數(shù)。每隔5個除去1個第一個被除去的n是3.然后是8，13，18，23，28，33共7個。所以迎面相遇29次。如果把4米改為2米。相遇和追上點都不是端點。相遇點有2個就是75（2n-1）除，200余數(shù)按75，25，-25，-75.排列實際上是2個，追上按50（2n-1）就是在中點追上。所以不存在相遇點和追上點重合。如果最簡整數(shù)比是一個奇數(shù)一個偶數(shù)就要考慮端點相遇的問題。實際上相遇點是（a+b）分點，追上點是（a-b）分點。（a+b）（a-b）是互質(zhì)的。只可能是起點或終點重合，當a，b為奇數(shù)時候和為偶數(shù)，而相遇點式奇數(shù)分點，端點都是偶數(shù)分點所以不可能。但一個奇一個偶數(shù)時候，可能出現(xiàn)端點重合。但端點不可能是迎面相遇點。所以迎面相遇點和背后追上點一定不同。當比是兩個奇數(shù)時候，迎面相遇可以按規(guī)律辦，但一個奇數(shù)一個偶數(shù)的時候要注意剔除特殊情況。還有就是相遇周期一定會是偶數(shù)。至于背后追上按規(guī)律辦就可以了。