概率統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)變量及其分布列.ppt

第2講 概率統(tǒng)計(jì)、離散型隨機(jī)變量及其分布列,1.隨機(jī)事件的概率 （1）隨機(jī)事件的概率范圍：0P(A)1;必然事件的 概率為1；不可能事件的概率為0. （2）古典概型的概率 P（A）= = .,A中所含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù),2.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P（A+B）=P（A） +P（B）. 3.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P（AB）=P（A）P（B）. 4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn（k）= pk（1-p）n-k，k=0，1，2，n.,5.離散型隨機(jī)變量的分布列 （1）設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1,x2,xi, 取每一個(gè)值xi的概率為P（ =xi）=pi，則稱下表： 為離散型隨機(jī)變量 的分布列. （2）離散型隨機(jī)變量的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)： pi0,p1+p2+pi+=1(i=1,2,3,). 6.常見的離散型隨機(jī)變量的分布 （1）兩點(diǎn)分布 分布列為（其中0<p<1）,(2)二項(xiàng)分布 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù) 是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能取的值為0，1，2，3，n，并且P（ =k）= pkqn-k(其中k=0，1，2，n，q=1-p). 顯然P（ =k）0(k=0,1,2,n), pkqn-k=1. 稱這樣的隨機(jī)變量服從參數(shù)n和p的二項(xiàng)分布，記為 B(n,p).,7.離散型隨機(jī)變量的期望與方差 若離散型隨機(jī)變量的分布列為 則稱E =x1p1+x2p2+xnpn+為 的數(shù)學(xué)期望，簡 稱期望. D =（x1-E ）2p1+（x2-E ）2p2+(xn- E )2pn+叫做隨機(jī)變量 的方差.,8.統(tǒng)計(jì) （1）抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣. （2）利用樣本頻率分布估計(jì)總體分布 頻率分布表和頻率分布直方圖. 總體密度曲線.,9.正態(tài)分布 （1）一般地，如果對任意實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)變量X滿足 P（a<Xb）= dx,x(-,+)，則 稱X的分布為正態(tài)分布.,（2）正態(tài)曲線的特點(diǎn) 如圖所示. 曲線位于x軸上方，與x軸不相交. 曲線是單峰的，它關(guān)于直線x= 對稱.,曲線在x= 處達(dá)到峰值 . 曲線與x軸之間的面積為1. 當(dāng) 一定時(shí)，曲線隨著 的變化而沿x軸平移. 當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形狀由 確定， 越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中； 越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.,（3）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 P（ - <X + ）=0.682 6. P( -2 <X +2 )=0.954 4. P( -3 <X +3 )=0.997 4.,一、 頻率分布直方圖或頻率分布表,例1 某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒.下圖是按上述分組方法,得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y，則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為 （ ）,A.0.9,35B.0.9,45 C.0.1,35D.0.1,45 解析 P（ <17）=1-P(17 19) =1-(0.061+0.041)=0.9, 即x=0.9,y=(0.34+0.36)150=35人. 探究提高 在統(tǒng)計(jì)中，為了考查一個(gè)總體的情況，通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況.這種估計(jì)大體分為兩類，一類,A,是用樣本頻率分布估計(jì)總體分布，另一類是用樣本的某種數(shù)字特征（例如平均數(shù)、方差等）去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征.,變式訓(xùn)練1 （2009湖南理，13）一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為41，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都被抽到的概率為 ，則總體中的個(gè)體數(shù)為 . 解析 設(shè)總體中個(gè)體數(shù)為x，則B層中有 個(gè)個(gè)體，共需在B中抽2個(gè)個(gè)體. ,x=40.,40,二、古典概型 例2 某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2 000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表： 已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的概率是0.19. （1）求x的值； （2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？,（3）已知y245,z245，求初三年級(jí)中女生比男生多的概率. 思維啟迪 求初三年級(jí)中女生比男生多的概率時(shí)，先找出男女生人數(shù)分布的所有可能,再找出女生比男生多的人數(shù)的所有可能. 解析（1） = 0.19 x=380. (2)初三年級(jí)人數(shù)為 y+z=2 000-(373+377+380+370)=500, 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為： 500=12（名）,（3）設(shè)初三年級(jí)女生比男生多的事件為A，初三年級(jí)女生、男生數(shù)記為（y,z）, 由（2）知y+z=500，且y,zN*, 基本事件空間包含的基本事件有： （245，255）、（246，254）、（247，253）、（255，245）共11個(gè)， 事件A包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、（254，246）、（255，245）共5個(gè) P（A）=,探究提高 （1）有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)，這常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí). （2）對于較復(fù)雜的題目要注意正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏. 變式訓(xùn)練2 （2009江蘇，5）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度（單位：m）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為 . 解析 從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根竹竿共有 =10種抽取方法，而抽取的兩根竹竿長度恰好相差0.3 m的情況有2種.則P= =0.2.,0.2,三、 相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),例3 甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是 和 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間也沒有影響. （1）求甲射擊4次，至少有1次未擊中目標(biāo)的概率； （2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率； （3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊.則乙恰好射擊5次后被中止射擊的概率是多少？ 思維啟迪 （1）第（1）問先求其對立事件的概率. （2）第（2）問利用相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式.,（3）第（3）問中，甲恰好射擊5次被中止，可分為前3次擊中后兩次未擊中和前2次有一次未擊中，第3次擊中，后兩次未擊中兩種情況.,解析 （1）甲至少一次未擊中目標(biāo)的概率P1是 P1=P4（1）+P4（2）+P4（3）+P4（4） =1-P4（0）=1- . （2）甲射擊4次恰擊中2次的概率為 P2= ， 乙射擊4次恰擊中3次的概率為 P3= ，,由乘法公式，所求概率 P=P2P3= . (3)乙恰好5次停止射擊,則最后兩次未擊中,前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中,第三次必?fù)糁?故所求概率為 .,探究提高 （1）注意區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件，互斥事件是在同一試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的情況，相互獨(dú)立事件是指幾個(gè)事件的發(fā)生與否互不影響，當(dāng)然可以同時(shí)發(fā)生. （2）一個(gè)事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進(jìn)行求解.對于“至少”，“至多”等問題往往用這種方法求解.,變式訓(xùn)練3 在每道單項(xiàng)選擇題給出的4個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是正確的.若對4道選擇題中的每一道都任意選定一個(gè)答案，求這4道題中： （1）恰有兩道題答對的概率； （2）至少答對一道題的概率. 解析 （1）視“選擇每道題的答案”為一次試驗(yàn)，則這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為 . 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式得： 恰有兩道題答對的概率為 P4（2）= .,（2）方法一 至少有一道題答對的概率為 1-P4（0）=1- =1- . 方法二 至少有一道題答對的概率為,四、 隨機(jī)變量的分布列、均值與方差,例4 （2009濰坊模擬）甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結(jié)束游戲，已知甲 每次投中的概率為 ，乙每次投中的概率為 .求： （1）乙投籃次數(shù)不超過1次的概率； （2）記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望. 思維啟迪 （1）乙投籃次數(shù)不超過一次有三種情況. （2）正確理解并記準(zhǔn)均值與方差的計(jì)算公式.,解析 記“甲投籃投中”為事件A，“乙投籃投中”為事B. 方法一 “乙投籃次數(shù)不超過1次”包括三種情況：一種是甲第1次投籃投中，另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中，再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中， 所求的概率是P=P（A+ B+ A）=P（A）+P（ B）+P（ A） =P（A）+P（ ）P（B）+P（ ）P（ ）P（A）= . 答 乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 .,方法二 “乙投籃次數(shù)不超過1次”的對立事件是“乙投籃2次”，所以，所求的概率是P=1-P（ ）=1-P（ ）P（ ）P（ ）=1- . 答 乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 . （2）甲、乙投籃總次數(shù) 的取值1，2，3，4， P（ =1）=P(A)= , P( =2)=P( B)=P（ ）P（ ）= ， P( =3)=P( A)=P（ ）P（ ）P（A） = ,P( =4)=P( )=P（ ）P（ ）P（ ） = ,甲、乙投籃次數(shù)總和 的分布列為,甲、乙投籃總次數(shù) 的數(shù)學(xué)期望為E =1 +2 +3 +4 = .,答 甲、乙投籃次數(shù)總和的數(shù)學(xué)期望為 .,探究提高 有些問題的模型顯得較為隱蔽，這時(shí)我們可以多做一點(diǎn)嘗試，弄清其模型，再設(shè)計(jì)相應(yīng)的答題策略.在解答過程中，需注意答題的規(guī)范性. 變式訓(xùn)練4 （2009重慶理，17）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ，且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中： （1）兩種大樹各成活1株的概率； （2）成活的株數(shù) 的分布列與期望.,解析 設(shè)Ak表示甲種大樹成活k株，k=0,1,2, Bl表示乙種大樹成活l株，l=0,1,2, 則Ak，Bl相互獨(dú)立，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有P（Ak）= ,P(Bl)= . 據(jù)此算得 P（A0）= ，P（A1）= ，P（A2）= ， P（B0）= ，P（B1）= ，P（B2）= . （1）所求概率為P（A1B1）=P（A1）P（B1） = .,(2) 方法一 的所有可能值為0,1,2,3,4,且P( =0)=P(A0B0)=P（A0）P（B0）= , P（ =1）=P(A0B1)+P（A1B0）= , P（ =2） =P(A0B2)+P（A1B1）+P（A2B0）= , . P（ =3）=P(A1B2)+P（A2B1）= , P( =4)=P(A2B2)= . . 綜上知 的分布列為,從而， 的期望為 E = (株).,方法二 分布列的求法同前，令 分別表示甲、乙兩種大樹成活的株數(shù)，則 B ， B , 故 E =2 = ,E =2 =1, 從而知E =E +E = （株）.,規(guī)律方法總結(jié) 1.古典概型,A包含的基本事件m個(gè)數(shù) 總的基本事件n個(gè)數(shù),2.互斥事件與對立事件 互斥事件強(qiáng)調(diào)兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即在一次試驗(yàn)中兩個(gè)互斥事件可以都不發(fā)生.兩事件是對立事件，則它們一定互斥，且在一次試驗(yàn)中兩對立事件有且只有一個(gè)發(fā)生，反過來，兩事件互斥，但不一定對立.故兩事件互斥是兩事件對立的必要不充分條件，對立事件是特殊的互斥事件. 3.求離散型隨機(jī)變量 的期望與方差的方法 （1）理解 的意義，寫出 可能取的全部值. （2）求 取每個(gè)值的概率. （3）寫出 的分布列. （4）由期望的定義求E . (5)由方差的定義求D .,一、選擇題 1.某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則 橢圓 的離心率e 的概率是（） A. B. C. D. 解析 e= a2b,符合a2b的情況有：當(dāng)b=1時(shí)，有a=3,4,5,6四種情況； 當(dāng)b=2時(shí)，有a=5,6兩種情況，總共有6種情況. 所以概率為 .,C,2.（2009重慶理，6）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花 生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部 特征完全相同.從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓 都至少取到1個(gè)的概率為（） A. B. C. D. 解析 從15個(gè)湯圓中選出4個(gè)湯圓共有 種情況， 每種湯圓至少有1個(gè)的情況有 =720種情況，所以各種湯圓至少有1個(gè)的概率為 P= .,C,3.（2009上海理，16）若事件E與F相互獨(dú)立，且P （E）=P（F）= ，則P（EF）的值等于（ ） A.0B. C. D. 解析 因?yàn)槭录﨓與事件F相互獨(dú)立， 故P（EF）=P(E)P(F)= .,B,4.從編號(hào)為1，2，10的10個(gè)大小相同的球中任 取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為( ) A.B.C.D. 解析 從10個(gè)球中任選4個(gè)共有 種取法，所取4個(gè) 球中最大號(hào)碼是6的取法共有 種，所求概率為 P= .,B,5.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分 的概率為b，不得分的概率為c（a,b,c(0,1)）， 已知他投籃一次得分的期望是2，則 的最小 值為（） A.B.C.D. 解析 由已知得3a+2b+0c=2, 即3a+2b=2. 其中0<a< ,0<b<1. + = =3+ .,D,二、填空題 6.從某地區(qū)15 000位老人中隨機(jī)抽取500人，其生活 能否自理的情況如下表所示.,則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多 人.,解析 由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以該地區(qū)15 000位老人生活不能自理的男性比女性多2 =60(人). 答案 60,7.某汽車站每天均有3輛開往省城濟(jì)南的分為上、中、 下等級(jí)的客車，某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前 往濟(jì)南辦事，但他不知道客車的車況，也不知道 發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車，他采取如下策 略：先放過一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二 輛，否則上第三輛.那么他乘上上等車的概率為 .,解析 共有6種發(fā)生順序：上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、中、上下、上、中（其中畫橫線的表示袁先生所乘的車），所以他乘坐上等車的概率為 . 答案,8.有一容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示：,若落在10，20）中的頻數(shù)共9個(gè)，則樣本容量n= . 解析 由題意，得樣本數(shù)據(jù)落在10，20）中的頻率為（0.016+0.020）5=0.18. 又落在10，20）中的頻數(shù)共9個(gè)，所以 ， 解之得n=50.,50,三、解答題 9.(2009陜西文，18)據(jù)統(tǒng)計(jì),某食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被 消費(fèi)者投訴次數(shù)為0、1、2的概率分別 為0.4、0.5、 0.1. (1)求該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過1次的概率.,（2）假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率. 解 (1)設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”， P（A+B）=P（A）+P（B）=0.4+0.5=0.9. （2）設(shè)事件Ai表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為0”，事件Bi表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為1”，事件Ci表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為2”，事件D表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”.,P（Ai）=0.4,P(Bi）=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2). 兩個(gè)月中，一個(gè)月被投訴2次，另一個(gè)月被投訴0次的概率為P（A1C2+A2C1）， 一、二月份均被投訴1次的概率為P（B1B2）， P（D）=P（A1C2+A2C1）+P（B1B2） =P（A1C2）+P（A2C1）+P（B1B2）. 由事件的獨(dú)立性得 P（D）=0.40.1+0.40.1+0.50.5=0.33.,10.甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè) （其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”各一 個(gè)），現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下： 當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，甲贏得乙一個(gè)福娃；否則 乙贏得甲一個(gè)福娃，規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此 前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止.記游戲終止時(shí)投擲骰 子的次數(shù)為 . (1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率； （2）求 的分布列及數(shù)學(xué)期望E . 解 （1）當(dāng) =7時(shí)，甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏 5次，但根據(jù)規(guī)則，前5次中必輸1次”，由規(guī)則，每次甲 贏或乙贏的概率均為 ，因此P（ =7）=2,（2）設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，則由 ， 可得：當(dāng)m=5，n=0或m=0，n=5時(shí)， =5； 當(dāng)m=6,n=1或m=1，n=6時(shí)， =7 當(dāng)m=7，n=2或m=2，n=7時(shí)， =9. 因此 的可能取值是5、7、9. 每次投擲甲贏得乙一個(gè)福娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同，其概率都是 . P（ =5）=2( )5= ,P（ =7）= ，,P( =9) =1- . 所以 的分布列是 E =5 +7 +9 = .,返回,