非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù).ppt

, 無窮級(jí)數(shù),微積分（二）,第七講 非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),學(xué)習(xí)要求,對(duì)于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用 “理解”、“了解”、“知道”三級(jí)來表述； 對(duì)于方法，運(yùn)算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用 “熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會(huì)”）三級(jí)來表述。,知道函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的充分條件。 能將周期函數(shù)及定義在 和 上的非周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)， 能將定義在 和 上的函數(shù)展開為正弦或余弦級(jí)數(shù)。,第九章 無窮級(jí)數(shù),第五節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù),非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),一、非周期函數(shù)的周期性延拓,二、奇延拓和偶延拓,三、任意區(qū)間上非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù) 只在 區(qū)間 上有定義,并且滿足狄立克 雷充分條件,也可展開成傅立葉級(jí)數(shù).,一、非周期函數(shù)的周期性延拓,設(shè)非周期函數(shù) 在 上有定義，則函數(shù),稱為非周期函數(shù) 的周期延拓，,的周期函數(shù)，并且在 上有,延拓后的函數(shù) 在 上是周期為,解,所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開式在 收斂于 .,所求函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為,推廣:利用傅立葉級(jí)數(shù)展開式求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和,二、非周期函數(shù)的奇偶延拓,則有如下兩種情況,1.奇延拓,2.偶延拓,解,(1)求正弦級(jí)數(shù).,(2)求余弦級(jí)數(shù),例4 把,展開成,(1) 正弦級(jí)數(shù); (2) 余弦級(jí)數(shù).,解: (1) 將 f (x) 作奇周期延拓, 則有,(2)將,作偶周期延拓,則有,說明: 此式對(duì),也成立,由此還可導(dǎo)出,據(jù)此有,三、任意區(qū)間上非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù),當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí),方法1,令,即,在,上展成傅里葉級(jí)數(shù),周期延拓,將,在,代入展開式,上的傅里葉級(jí)數(shù),其傅里葉展開方法:,方法2,在,上展成正弦或余弦級(jí)數(shù),奇或偶式周期延拓,將 代入展開式,在,上的正弦或余弦級(jí)數(shù),解,一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn) 偶延拓的收斂域包括端點(diǎn),四、小結(jié),1 以2L為周期的傅氏系數(shù);,2 利用變量代換求傅氏展開式;,3 求傅氏展開式的步驟;,（1）.畫圖形驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);,（2）.求出傅氏系數(shù);,（3）.寫出傅氏級(jí)數(shù),并注明它在何處收斂于,4 非周期函數(shù)的展開 奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;,5、需澄清的幾個(gè)問題.(誤認(rèn)為以下三情況正確),a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級(jí)數(shù);,