微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)第二節(jié)數(shù)列的極限.ppt

,Mathematics Laboratory,阮小娥博士,Sept. 2008,數(shù)列極限的概念 收斂數(shù)列的性質(zhì)與極限運算法則 數(shù)列收斂的判別準(zhǔn)則,第一章 微積分的理論基礎(chǔ),第二節(jié) 數(shù)列的極限（2課時）,1,作業(yè)：page34, A組 9(1)(3), 11(1)(2)(5)(7)(8) 12(1), 13(1). 15.,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,（1）割圓術(shù)：,播放,劉徽,1、概念的引入,第一部分 數(shù)列極限的概念,2,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,3,（2）截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,戰(zhàn)國莊子天下篇中，惠施說：,4,2、數(shù)列的定義,例如,5,注意：,1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),6,播放,3、數(shù)列的極限,7,問題1:,當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問題2:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它?,通過上面演示實驗的觀察:,8,9,定義：,記為,或,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,10,幾何解釋:,其中,11,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,12,例2,證,所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,13,例3,證,14,例4,證,15,第二部分：收斂數(shù)列的性質(zhì) 與極限運算法則,1.有界性,例如,有界,無界,16,定理1 收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.,17,2.唯一性,定理2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,18,例5,證,由定義,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).,19,定理3.有理運算法則：,（可推廣到有限個數(shù)列的情形）,推論：,20,定理4.保號性,并且，,若,反之，,若,定理5.保序性,設(shè),21,定理6.夾逼性,設(shè),例6,例7,例8,22,所以,所求極限為,分析： 考慮利用夾逼性. 構(gòu)造夾逼數(shù)列,例9,23,重要極限,（1）可以證明它是單調(diào)增的；,（2）可以證明它有上界3。,單調(diào)性：,定理7 （單調(diào)有界準(zhǔn)則）,單調(diào)增（減）有上（下）界的數(shù)列必定收斂。,第三部分：數(shù)列收斂的判別準(zhǔn)則,若以上不等式是嚴(yán)格成立的，則稱該數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)增（減）的。,例10,24,子數(shù)列與數(shù)列極限的歸并原理,子數(shù)列（子列）,設(shè) 為一數(shù)列，由 中的無窮多項按照腳標(biāo)由小到大排列所組成的一個數(shù)列稱為數(shù)列 的一個子數(shù)列（子列）。,定理8（歸并原理）,記做：,主要利用它的逆否命題判斷數(shù)列的發(fā)散性。,25,Cauchy收斂原理,定理9 （Cauchy收斂原理）,例11,26,例12,例13,思路分析,考慮利用單調(diào)有界準(zhǔn)則：討論其單調(diào)性和有界性,又?jǐn)?shù)列為正，0為它的一個下界；,所以，必有極限。,27,練 習(xí) 題,28,1、割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,一、概念的引入,1、割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,三、數(shù)列的極限,