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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法試題新人教A版選修4-5.doc

上傳人：tia****nde

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上傳時(shí)間：2020-02-23

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三　反證法與放縮法課后篇鞏固探究 1.設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=13,則a,b,c中(　　) A.至多有一個(gè)不大于19 B.至少有一個(gè)不小于19 C.至多有兩個(gè)不小于19 D.至少有兩個(gè)不小于19 解析假設(shè)a,b,c都小于19,即a<19,b<19,c<19,則a+b+c<19+19+19=13,這與a+b+c=13矛盾,因此假設(shè)錯(cuò)誤,即a,b,c中至少有一個(gè)不小于19. 答案B 2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,設(shè)M=a1+a+b1+b,N=c1+c,Q=a+b1+a+b,則M,N與Q的大小關(guān)系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.Mc>0, 則1a+b<1c. ∴1a+b+1<1c+1, 即a+b+1a+ba1+a+b+b1+a+b-a+b1+a+b=0, ∴M>Q,故M>Q>N. 答案D 3.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394038設(shè)M=1210+1210+1+1210+2+…+1211-1,則(　　) A.M=1 B.M<1 C.M>1 D.M與1大小關(guān)系不確定解析分母全換成210,共有210個(gè)單項(xiàng). 答案B 4.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問題:函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),如果對(duì)于不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證|f(x1)-f(x2)|<12.那么它的假設(shè)應(yīng)該是　　　　　. 答案|f(x1)-f(x2)|≥12 5.設(shè)a,b,c均為正數(shù),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P,Q,R同時(shí)大于零”的　　　　　條件. 解析必要性是顯然成立的;當(dāng)PQR>0時(shí),若P,Q,R不同時(shí)大于零,則其中兩個(gè)為負(fù),一個(gè)為正,不妨設(shè)P>0,Q<0,R<0,則Q+R=2c<0,這與c>0矛盾,即充分性也成立. 答案充要 6.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是　　　　　.(填序號(hào)) 解析①可取a=0.5,b=0.6,故不正確;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正確;③a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,正確;④a2+b2>2,可取a=-2,b=-1,故不正確;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正確. 答案③ 7.設(shè)f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求證|f(a)-f(b)|≤|a-b|. 證明|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b| =|(a-b)(a+b-1)| =|a-b||a+b-1|, 因?yàn)?≤a≤1,0≤b≤1, 所以0≤a+b≤2. 所以-1≤a+b-1≤1, 所以|a+b-1|≤1. 故|f(a)-f(b)|≤|a-b|. 8.已知x>0,y>0,且x+y>2,試證:1+xy,1+yx中至少有一個(gè)小于2. 證明假設(shè)1+xy,1+yx都不小于2,即 1+xy≥2,且1+yx≥2. 因?yàn)閤>0,y>0, 所以1+x≥2y,且1+y≥2x. 把這兩個(gè)不等式相加,得2+x+y≥2(x+y), 從而x+y≤2,這與已知條件x+y>2矛盾. 因此,1+xy,1+yx都不小于2是不可能的,即原命題成立. 9.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394039已知Sn=sin12+sin222+sin323+…+sinn2n,求證:對(duì)于正整數(shù)m,n,當(dāng)m>n時(shí),|Sm-Sn|<12n. 證明記ak=sink2k(k∈N+),則|ak|≤12k. 于是,當(dāng)m>n時(shí),|Sm-Sn| =|an+1+an+2+…+am| ≤|an+1|+|an+2|+…+|am| ≤12n+1+12n+2+…+12m =12n+11-12m-n1-12 =12n1-12m-n<12n. 10.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394040若數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=nn+1,求證x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn. 證明因?yàn)?-xn1+xn=1-nn+11+nn+1=12n+1, 又2n-12n2n-12n+1=2n-12n+12n =4n2-12n<4n22n=1, 所以2n-12n<2n-12n+1, 所以x1x3x5…x2n-1 =1234…2n-12n <1335…2n-12n+1=12n+1, 故x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn.

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