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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)51 幾何證明選講

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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)51 幾何證明選講

考點(diǎn)51 幾何證明選講一、選擇題1.(2012·北京高考理科·5)如圖. ACB=90º,CDAB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E.則( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD²D.CE·EB=CD²ADBEC【解題指南】利用切割線定理及直角三角形中的射影定理.【解析】選A.CD,以BD為直徑的圓與CD相切,。在中,CD為斜邊AB上的高,有,因此,CE·CB=AD·DB.二、填空題2.(2012·湖北高考理科·15)如圖,點(diǎn)D在O的弦AB上移動(dòng),AB=4,連接OD,過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交O于點(diǎn)C,則CD的最大值為_(kāi).【解題指南】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,解答本題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系,取AB的中點(diǎn),連OC,把CD表示出來(lái).【解析】取AB的中點(diǎn)為E,連接CD,OE,則,要求CD的最大值,則點(diǎn)D與E重合.可知結(jié)果為:2.【答案】2.3.(2012·陜西高考理科·15)如圖,在圓中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,垂足為F,若,則 .【解題指南】圍繞RtBDE和圓的有關(guān)性質(zhì)列出成比例線段.【解析】連接AD,因?yàn)椋?所以BE=5, 在RtABD中,,在RtBDE中,由射影定理得.【答案】5.4. (2012·廣東高考文科·15)如圖所示,直線PB與圓O相切于點(diǎn)B,D是弦AC上的點(diǎn),.若AD=m,AC=n,則AB= .【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。判斷出,從而證出是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.【解析】由題意知,所以,所以所以.【答案】.5.(2012·廣東高考理科·15)如圖,圓O的半徑為1,A、B、C是圓周上的三點(diǎn),滿足,過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,則PA=_.【解題指南】本小題要注意利用圓的幾何性質(zhì)。連接OA,AC從而可得, 為等邊三角形,, 為等腰三角形,并且AC=CP=1,到此問(wèn)題基本得以解決.【解析】連接AO、AC,因?yàn)?所以,為等邊三角形,則為等腰三角形,且.【答案】.6.(2012·天津高考文科·13)與(2012·天津高考理科·13)相同如圖,已知AB和AC是圓的兩條弦,過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,AF=3,F(xiàn)B=1,則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi).【解題指南】利用相交線及切線的比例關(guān)系求解?!窘馕觥吭O(shè)CD=x,則AD=4x,因?yàn)锳F·FB=CF·FE,所以CF=2,又,又.【答案】.三、解答題7. (2012·遼寧高考文科·T22)與(2012·遼寧高考理科·T22)相同如圖,O和相交于兩點(diǎn),過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點(diǎn),連接DB并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E.證明 (); () .【解題指南】據(jù)弦切角等于圓周角,證明三角形相似,對(duì)應(yīng)邊成比例,證明等式.【解析】(1)由AC與圓相切于點(diǎn)A,得;同理,從而,所以(2)由AD與圓相切于點(diǎn)A,得;又,從而,所以又由(1)知,所以.8.(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·22)與(2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·22)相同如圖,D,E分別為ABC邊AB,AC的中點(diǎn),直線DE交ABC的外接圓于F,G兩點(diǎn),若CF/AB,證明:()CD=BC;()BCDGBD【解題指南】(1)連接AF,作為中間量過(guò)渡,證,證明時(shí)充分利用圖形中出現(xiàn)的平行四邊形;(2)利用圖形中的平行四邊形及等腰三角形關(guān)系,設(shè)法尋找BCD與GBD中的兩組對(duì)應(yīng)角相等,從而可得BCDGBD.【解析】(1)因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以,又已知,故四邊形是平行四邊形,所以.而,連結(jié),所以ADCF是平行四邊形,故CDAF.因?yàn)?,所以,?(2)因?yàn)楣?由(1)可知,所以.而,故.AEBDCO9. (2012·江蘇高考·21)如圖,AB是圓O的直徑,D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BD = DC,連接AC,AE,DE求證:【解題指南】要證,就得找一個(gè)中間量代換,一方面考慮到是同弧所對(duì)圓周角,相等;另一方面由是圓的直徑和可知是線段的中垂線,從而根據(jù)線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到,從而得證.【解析】證明:連接.是圓的直徑,(直徑所對(duì)的圓周角是直角)。(垂直的定義)。又,是線段的中垂線(線段的中垂線定義)。(線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等)。(等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì))。又為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn),(同弧所對(duì)圓周角相等)。(等量代換).【一題多解】可連接,利用三角形中位線來(lái)求證。證明:連接OD,因?yàn)锽DDC,O為AB的中點(diǎn),所以O(shè)D/AC,于是因?yàn)镺BOD,所以于是因?yàn)辄c(diǎn)A,E,B,D,都在圓O上,且D,E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),所以和為同弧所對(duì)的圓周角,故,所以.

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