2013屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破4 導數(shù)的簡單應用及定積分 理

考必考問題4導數(shù)的簡單應用及定積分1(2011·全國)曲線ye2x1在點(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A. B. C. D1答案： Ay2e2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k2，切線方程為y2x2，該直線與直線y0和yx圍成的三角形如圖所示，其中直線y2x2與yx的交點A，所以三角形面積S×1×，故選A.2(2012·廣東)曲線yx3x3在點(1,3)處的切線方程為_解析曲線方程為yx3x3，則y3x21，又易知點(1,3)在曲線上，有y|x12，即在點(1,3)處的切線方程的斜率為2，所以切線方程為y32(x1)，即2xy10.答案2xy103(2012·陜西)設函數(shù)f(x)D是由x軸和曲線yf(x)及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為_解析當x0時，求導得f(x)，所以曲線在點(1,0)處的切線的斜率k1，切線方程為yx1，畫圖可知區(qū)域D為三角形，三個頂點的坐標分別為，(0，1)，(1,0)，平移直線x2y0，可知在點(0，1)處z取得最大值2.答案24(2012·江西)計算定積分1(x2sin x)dx_.解析1(x2sin x)dx.答案1利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程；考查定積分的性質(zhì)及幾何意義2考查利用導數(shù)的有關知識研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，進而解(證)不等式3用導數(shù)解決日常生活中的一些實際問題，以及與其他知識相結(jié)合，考查常見的數(shù)學思想方法首先要理解導數(shù)的工具性作用；其次要弄清函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)符號之間的關系，掌握求函數(shù)極值、最值的方法步驟，對于已知函數(shù)單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍問題，一般先利用導數(shù)將其轉(zhuǎn)化為不等式在某個區(qū)間上的恒成立問題，再利用分離參數(shù)法求解.必備知識導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(3)導數(shù)的物理意義：s(t)v(t)，v(t)a(t)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則(1)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導數(shù)的四則運算法則u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)(3)復合函數(shù)求導復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和yf(u)，ug(x)的導數(shù)之間的關系為yxf(u)g(x)利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f(x)；(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0；若已知yf(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解求可導函數(shù)極值的步驟(1)求f(x)；(2)求f(x)0的根；(3)判定根兩側(cè)導數(shù)的符號；(4)下結(jié)論求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求f(x)；(2)求f(x)0的根(注意取舍)；(3)求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值；(4)比較其大小，得結(jié)論(最大的就是最大值，最小的就是最小值)必備方法1利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟(1)審題設未知數(shù)；(2)結(jié)合題意列出函數(shù)關系式；(3)確定函數(shù)的定義域；(4)在定義域內(nèi)求極值、最值；(5)下結(jié)論2定積分在幾何中的應用被積函數(shù)為yf(x)，由曲線yf(x)與直線xa，xb(ab)和y0所圍成的曲邊梯形的面積為S.(1)當f(x)0時，S f(x)dx；(2)當f(x)0時，S f(x)dx；(3)當xa，c時，f(x)0；當xc，b時，f(x)0，則S f(x)dx f(x)dx.常考查：根據(jù)曲線方程，求其在某點處的切線方程；根據(jù)曲線的切線方程求曲線方程中的某一參數(shù)可能出現(xiàn)在導數(shù)解答題的第一問，較基礎【例1】 (2011·新課標全國)已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x2y30，求a、b的值審題視點 聽課記錄審題視點 求f(x)，由可求解f(x)，由于直線x2y30的斜率為，且過點(1,1)，故即解得a1，b1. 函數(shù)切線的相關問題的解決，抓住兩個關鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的導數(shù)是切線的斜率因此，解決此類問題，一般要設出切點，建立關系方程(組)其三，求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上；在點P處的切線，點P是切點【突破訓練1】 直線y2xb是曲線yln x(x0)的一條切線，則實數(shù)b_.解析切線的斜率是2，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可以求出切點的橫坐標，進而求出切點的坐標，切點在切線上，代入即可求出b的值y，令2得，x，故切點為，代入直線方程，得ln 2×b，所以bln 21.答案ln 21常考查：利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題；由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍尤其是含參函數(shù)單調(diào)性的研究成為高考命題的熱點，主要考查學生的分類討論思想，試題有一定難度【例2】 (2012·合肥一模)已知函數(shù)f(x)x(aR)，g(x)ln x求函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間審題視點 聽課記錄審題視點 確定定義域求導對a進行分類討論確定f(x)的單調(diào)性下結(jié)論解函數(shù)F(x)f(x)g(x)xln x的定義域為(0，)所以f(x)1.當14a0，即a時，得x2xa0，則f(x)0.所以函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞增當14a0，即a時，令f(x)0，得x2xa0，解得x10，x2.(1)若a0，則x20.因為x(0，)，所以f(x)0，所以函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞增(2)若a0，則x時，f(x)0；x，時，f(x)0.所以函數(shù)F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增綜上所述，當a0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當a0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，千萬不要忽視了定義域的限制【突破訓練2】 (2012·安徽)設函數(shù)f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)內(nèi)的最小值；(2)設曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，當f(x)0，即xln a時，f(x)在(ln a，)上遞增；當f(x)0，即xln a時，f(x)在(，ln a)上遞減當0a1時，ln a0，f(x)在(0，ln a)上遞減，在(ln a，)上遞增，從而f(x)在0，)內(nèi)的最小值為f(ln a)2b；當a1時，ln a0，f(x)在0，)上遞增，從而f(x)在0，)內(nèi)的最小值為f(0)ab.(2)依題意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函數(shù)可得2b3，即b.故a，b.此類問題的命題背景很寬泛，涉及到的知識點多，綜合性強，?？疾椋褐苯忧髽O值或最值；利用極(最)值求參數(shù)的值或范圍常與函數(shù)的單調(diào)性、方程、不等式及實際應用問題綜合，形成知識的交匯問題【例3】 已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(1，6)，且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關于y軸對稱(1)求m，n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a0，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值審題視點 聽課記錄審題視點 (1)根據(jù)f(x)、g(x)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，列出關于m、n的方程，求出m、n的值(2)分類討論解(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，則g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的圖象關于y軸對稱，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和(2，)；由f(x)0，得0x2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極小值由此可得：當0a1時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極大值f(0)2，無極小值；當a1時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值；當1a3時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極小值f(2)6，無極大值；當a3時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值綜上得，當0a1時，f(x)有極大值2，無極小值；當1a3時，f(x)有極小值6，無極大值；當a1或a3時，f(x)無極值 (1)求單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求不等式f(x)0(不恒為0)的解集即可，已知f(x)在M上遞增f(x)0在M上恒成立，注意區(qū)別(2)研究函數(shù)的單調(diào)性后可畫出示意圖討論區(qū)間與0,2的位置關系，畫圖截取觀察即可【突破訓練3】 (2012·北京)已知函數(shù)f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a24b時，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(，1上的最大值解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因為曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)當ba2時，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0時，h(x)與h(x)的變化情況如下：xh(x)00h(x)所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為.當1，即0a2時，函數(shù)h(x)在區(qū)間(，1上單調(diào)遞增，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h(1)aa2.當1，且1，即2a6時，函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h1.當1，即a6時，函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因hh(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h1.定積分及其應用是新課標中的新增內(nèi)容，?？疾椋阂罁?jù)定積分的基本運算求解簡單的定積分；根據(jù)定積分的幾何意義和性質(zhì)求曲邊梯形面積關鍵在于準確找出被積函數(shù)的原函數(shù)，利用微積分基本定理求解各地考綱對定積分的要求不高學習時以掌握基礎題型為主【例4】 (2011·新課標全國)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6審題視點 聽課記錄審題視點 借助封閉圖形確定積分上、下限及被積函數(shù)C由y及yx2可得x4，所以由y、yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為(x2)dx. 求定積分的一些技巧：(1)對被積函數(shù)要先化簡，把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦、余弦函數(shù)與常數(shù)的和或差，再求定積分；(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)，分段求定積分，再求和；(3)對含有絕對值符號的被積函數(shù)，先要去掉絕對值符號再求定積分【突破訓練4】 若dx3ln 2，則a的值為()A6 B4 C3 D2答案：Da2ln a13ln 2，a2.導數(shù)法求最值中的分類討論由參數(shù)的變化引起的分類討論對于某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法【示例】 (2012·天津)已知函數(shù)f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當a1時，設函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值滿分解答(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.當x變化時f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)(5分)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點當且僅當解得0a.所以a的取值范圍是.(8分)(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調(diào)遞增，在1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增當t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調(diào)遞增，在1，t3上單調(diào)遞減因此f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調(diào)遞增，因此f(t)f(2).所以g(t)在3，2上的最小值為g(2).(12分)當t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調(diào)遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.(14分)老師叮嚀：本題中的第(3)問比較麻煩，由于所給的區(qū)間不確定，函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性也不確定，需要根據(jù)參數(shù)的不同取值進行分類討論，注意把握分類的標準，能夠確定出函數(shù)的最大值和最小值，要求思路清晰，結(jié)合第(1)問中的函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)g(t)的最值.【試一試】 (2011·北京)已知函數(shù)f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范圍解(1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得x±k.當k>0時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k)當k<0時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k，k)(2)當k>0時，因為f(k1)e>，所以不會有x(0，)，f(x).當k<0時，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).，4k21，k<0.故當x(0，)，f(x)時，k的取值范圍是.