2013年全國高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計(jì)第3講 隨機(jī)變量及其分布列 理

專題七概率與統(tǒng)計(jì)第3講隨機(jī)變量及其分布列真題試做1(2012·上海高考，理17)設(shè)10x1x2x3x4104，x5105.隨機(jī)變量1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均為0.2，隨機(jī)變量2取值，的概率也均為0.2.若記D1，D2分別為1，2的方差，則()AD1D2BD1D2CD1D2DD1與D2的大小關(guān)系與x1，x2，x3，x4的取值有關(guān)2(2012·課標(biāo)全國高考，理15)某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時(shí)的概率為_3(2012·山東高考，理19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)4(2012·陜西高考，理20)某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個(gè)顧客開始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí)(1)估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望考向分析本講是概率統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)，主要考查三方面的內(nèi)容：相互獨(dú)立事件及其概率，題型有選擇題、填空題，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中與其他知識(shí)交匯命題；二項(xiàng)分布及其應(yīng)用，準(zhǔn)確把握獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)是解答二項(xiàng)分布問題的關(guān)鍵，一般以中檔題為主；隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差，以考生比較熟悉的實(shí)際應(yīng)用題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件及獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查對(duì)隨機(jī)變量的識(shí)別及概率計(jì)算能力，解答時(shí)要注意分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，其中有選擇題，也有填空題，但更多的是解答題，難度中檔熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一相互獨(dú)立事件及其概率【例】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球(1)求開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；(2)求開始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先的概率規(guī)律方法(1)求復(fù)雜事件的概率的一般步驟：列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式，即把隨機(jī)事件分成幾個(gè)互斥事件的和，每個(gè)小事件再分為n個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算(2)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較繁時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率變式訓(xùn)練1甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響(1)求乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的概率熱點(diǎn)二二項(xiàng)分布及其應(yīng)用【例】購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保險(xiǎn)費(fèi)a元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為10.999104.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p；(2)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保險(xiǎn)費(fèi)(單位：元)規(guī)律方法事件服從二項(xiàng)分布的條件：(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的(3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生(4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)變式訓(xùn)練2某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分記為射手射擊3次后的總得分?jǐn)?shù)，求的分布列熱點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【例】(2012·天津高考，理16)現(xiàn)有4個(gè)人去參加某項(xiàng)娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望E()規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵是計(jì)算各個(gè)概率值，一方面要弄清楚相應(yīng)的概型(古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)等)，以便運(yùn)用相關(guān)的計(jì)算公式計(jì)算；另一方面要注意運(yùn)用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求概率值是否正確變式訓(xùn)練3(2012·山東青島高三自評(píng)，理19)甲居住在城鎮(zhèn)的A處，準(zhǔn)備開車到單位B處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖(例如，ACD算作兩個(gè)路段：路段AC發(fā)生堵車事件的概率為，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為，且甲在每個(gè)路段只能按箭頭指的方向前進(jìn))(1)請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最??；(2)若記路線ACFB中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及E()思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想期望與概率的實(shí)際應(yīng)用解題中要善于透過問題的實(shí)際背景，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來解決實(shí)際問題【典型例題】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假設(shè)甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由注：(1)產(chǎn)品的“性價(jià)比”；(2)“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 解：(1)因?yàn)镋(X1)6，所以5×0.46a7b8×0.16，即6a7b3.2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)3×0.34×0.25×0.26×0.17×0.18×0.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價(jià)格為6元/件，所以其“性價(jià)比”為1.因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價(jià)格為4元/件，所以其“性價(jià)比”為1.2.所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性1設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3，2)，若P(m)a，則P(6m)等于()Aa B12aC2a D1a2設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和且P(A)m，令隨機(jī)變量則的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)3一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以Z表示取出球的最大號(hào)碼，令aP(Z6)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A BC(，1) D(1，)4箱中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)現(xiàn)有4人參與摸獎(jiǎng)，恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是()A BC D5(2012·浙江五校聯(lián)考，理16)甲、乙兩個(gè)籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用5局3勝制(即先勝3局者獲勝)若甲、乙兩隊(duì)在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率分別為和，記需要比賽的場(chǎng)次為，則E()_.6(2012·山東濟(jì)南二模，理20)一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)是正確的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個(gè)選項(xiàng)，答對(duì)得5分，不答或答錯(cuò)得0分”某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中有兩道題都可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜請(qǐng)求出該考生：(1)得60分的概率；(2)所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1A23解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)，P(C)P(D)，由于ABCD，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D)××××××.(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(X0)P()1P(B)1P(C)1P(D)××，P(X1)P(B)P(B)P()P()××，P(X2)P(CD)P(C)P(D)××××，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)××××，P(X4)P(CD)××，P(X5)P(BCD)××.故X的分布列為X012345P所以E(X)0×1×2×3×4×5×.4解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘；第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘；第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)·P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.1×0.30.3×0.10.4×0.40.22.(2)方法一：X所有可能的取值為0,1,2.X0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X1對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.1×0.90.40.49；X2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51.方法二：X所有可能的取值為0,1,2.X0對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1×0.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)0×0.51×0.492×0.010.51.精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】解：記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分；B表示事件：開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2；C表示事件：開始第5次發(fā)球時(shí)，甲得分領(lǐng)先(1)BA0·AA1·，P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)2×0.6×0.40.48，P(B)P(A0·AA1·)P(A0·A)P(A1·)P(A0)P(A)P(A1)P()0.16×0.40.48×(10.4)0.352.(2)P(B0)0.620.36，P(B1)2×0.4×0.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.CA1·B2A2·B1A2·B2，P(C)P(A1·B2A2·B1A2·B2)P(A1·B2)P(A2·B1)P(A2·B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0.48×0.160.36×0.480.36×0.160.307 2.【變式訓(xùn)練1】解：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，知P(C)P()P()P()P()P(B1)P()·P(B2)P()P()P()P()P()P(B3).(2)記“投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球”為事件D，則由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，知P(D)P()P()P()P()·P()P(B2)P()P()P()P()P(A3).【例2】解：各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，記投保的10 000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則B(104，p)(1)記A表示事件：保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10 000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)0，P(A)1P()1P(0)1，又P(A)1，故p0.001.(2)該險(xiǎn)種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與成本的和支出10 00050 000.盈利10 000a(10 00050 000)，盈利的期望為E()10 000a10 000E()50 000，由B(104,103)知，E()10 000×103，E()104a104E()5×104104a104×104×1035×104.E()0104a104×105×1040a1050a15(元)故每位投保人應(yīng)交納的最低保險(xiǎn)費(fèi)為15元【變式訓(xùn)練2】解：(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則XB.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X2).(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則P(A)P()P()P(A3A4A5).(3)由題意可知，的所有可能取值為0,1,2,3,6，P(0)P()；P(1)P()P()P()；P(2)P()××；P(3)P(A1A2)P()；P(6)P(A1A2A3).所以的分布列是01236P【例3】解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i0,1,2,3,4)，則P(Ai).(1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2).(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4).所以這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()0×2×4×.【變式訓(xùn)練3】解：(1)記路段AC發(fā)生堵車事件為AC，各路段發(fā)生堵車事件的記法與此類同因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線ACDB中遇到堵車的概率為P11P(··)1P()P()P()11P(AC)1P(CD)1P(DB)1××.同理，路線ACFB中遇到堵車的概率為P21P(··).路線AEFB中遇到堵車的概率為P31P(··).顯然由A到B只可能在以上三條路線中選擇因此選擇路線ACFB，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小(2)路線ACFB中遇到堵車次數(shù)可能取值為0,1,2,3.P(0)P(··)，P(1)P(AC··)P(·CF·)P(··FB)××××××，P(2)P(AC·CF·)P(AC··FB)P(·CF·FB)××××××，P(3)P(AC·CF·FB)××.所以的分布列為0123P故E()0×1×2×3×.創(chuàng)新模擬·預(yù)測(cè)演練1D2D3A4B56解：(1)設(shè)“可判斷兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”兩道題之一選對(duì)為事件A，“可判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的”一道題選對(duì)為事件B，“不理解題意的”一道題選對(duì)為事件C，P(A)，P(B)，P(C)，得60分的概率為P×××.(2)可能的取值為40,45,50,55,60.P(40)×××，P(45)××××××××××，P(50)××××××××××××××，P(55)××××××××××，P(60)×××.所得分?jǐn)?shù)的分布列為：4045505560PE()40×(4550)×55×60×.