江蘇省金湖縣實驗中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換(一)

江蘇省金湖縣實驗中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換(一)我們認(rèn)為：1. 試題數(shù)量及其分?jǐn)?shù)在試卷中所占比例將基本保持穩(wěn)定。2. 所有試題都是中低檔難度試題，而解答題的難度還將略有下降，原因有三個：一是需用時將列出有關(guān)公式，這實際上是對解題的關(guān)鍵步驟給出了提示；二是“簡單的三角方程”已經(jīng)改為不作高考要求的選學(xué)內(nèi)容，因而需用解簡單的三角不等式的試題將會更加簡單；三是新的教學(xué)大綱中規(guī)定刪去了“三角函數(shù)中較復(fù)雜得恒等變形”，因此，即使在新大綱實施之前，高考命題也會受到它的影響。3. 涉及積化和差與和差化積公式的試題在三角試題中的比例將會明顯下降，而同時涉及這兩組公式的試題已幾乎不可能再出現(xiàn)，因此這兩組公式已不再是高考的熱點。4. 倍角公式的變形半角公式、升冪公式與降冪公式考查的可能性較大，掌握這幾個公式對解決一些相對復(fù)雜的三角變換有好處.即：sin2，5. 由于解斜三角形需要較多的應(yīng)用平面幾何知識，因而今后幾年涉及這一類中的高考題，仍將會像1998年的三角解答題那樣，僅限于簡單的應(yīng)用正弦定理和余弦定理。另外，這兩個定理也很可能在解答幾何或結(jié)合實際的應(yīng)用題中使用。由于2000年的三角解答題的難度已經(jīng)“略有下降”，因此，今后幾年此類試題的難度也將“基本保持穩(wěn)定”。在本講的復(fù)習(xí)中，我們將注意以下幾點：1. 以小題為主，中低檔題為主，并注重三角函數(shù)與其他知識的交匯點處的習(xí)題2. 適當(dāng)增大復(fù)習(xí)題中的求值與求范圍的題目的比例3. 對正、余弦定理的應(yīng)用力求熟練，并避免繁雜的近似計算本講分三個部分：第一部分是三角函數(shù)的變換，第二部分是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，第三部分是三角形中的三角函數(shù)問題，主要是正弦定理和余弦定理的應(yīng)用第一部分例1. 已知sincos，且，那么cossin的值為A.B.C.D.分析:由于，所以cossin,于是cossin,選D例2. 若tan2，則_提示：將分子中的2化為單角，分母中的1用sin2cos2替換，然后分子分母同除以cos2即可。結(jié)論為例3. 化簡(0)提示：將分子分母全部化為的表達(dá)式，然后注意0,即可得結(jié)論：cos例4. 求tan9°cot117°tan243°cot351°的值解：原式tan9°tan27°cot27°cot9° (tan9°cot9°)(tan27°cot27°) 例5. 已知、(0，)且tan()，tan，求2的值解： () tantan() tan(2)tan() 1 又 (0,),且tan0, (,),同理可得(0, ) 20 于是 2例6. 已知(0，)，sincos，求的值解：由已知得：sin2，且2(,) cos2, tan2,帶入所求式 練習(xí)一一、選擇題1. 若cos2，且，則sinA.B.C.D.提示：注意是鈍角，所以sin0,由半角公式可得：sin，選A2. 已知tan159°m，則sin2001°A.B.C.D.解：由已知得tan21°tan159°m 2001°sin21°tan21°cos21°.選B3. 已知180°270°，且sin(270°)，則tanA.3B.2C.2D.3解：由已知cos,而180°270°， sin tan3.選D4. 已知tan()，tan(，那么tan()A.B.C.D.提示：注意到()()，則直接使用正切差角公式即可得結(jié)論.選B5. 若sinsin(coscos)，、(0，)，則的值為A.B.C.D.解：已知等式兩邊和差化積得：2sin 02, sin0,于是tan 又注意到coscos0， ,且(,) ,. 選D6. 已知(0，)，lg(1sin)m，lgn，則lgcosA.mnB.mC.(mn)D.(m)解：lgcoslglg(1sin)lg(1sin)(mn).選C二、填空題7. 若(sincos)22x2x，(0，)，則tan_解：由三角函數(shù)定義(sincos)22，而由基本不等式2x2x2 于是只有(sincos)22.由此推得銳角8. 已知sincos，則sin3cos3_解：已知等式平方可得sincos 于是：sin3cos3(sincos)(1sincos)9. _解：原式10. f(x)2tanx，則f()_解：化簡f(x)2(tanx)，利用半角公式計算可得tan2 2 f()8三、解答題11. 已知tan，求cos()的值解：cos()cossin tan 由萬能公式可得sin4/5 cos3/5 cos()12. 求2cos40°sin10°(1tan10°)的值解：原式cos10°(2cos40°sin10°) 2cos10°cos40°sin10°(cos10°sin10°) 2(cos10°cos40°sin10°sin40°)2cos30°13. 已知cos()，sin()，且2，求cos()的值解： ()() 2， 又cos()，sin()， sin()，cos() coscos()()14. 若tan2log3x，tan3logx，且，求x解： ， tan()1 又tan()1 6logx5log3x10 Þ x或x已知sinsinsin165°，coscoscos165°，求cos()及cos()的值解：已知兩式平方相加得22cos()1，即cos() 已知兩式平方相減得cos2cos22cos()cos330° 2cos()cos()3cos()cos30° 2cos()()2cos() cos()