考研輔導(dǎo)班第三講多元微積分學(xué).ppt

,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,多元微分學(xué),第三講,一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布,二、考點綜述及主要解題方法與技巧,三、真題解析,一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布,(1)偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2)偏導(dǎo)數(shù)與全微分計算,二、考點綜述與主要解題方法與技巧,(3)極值與最值,(4)方向?qū)?shù)與梯度,()偏導(dǎo)數(shù)與全微分定義問題,(a)偏導(dǎo)數(shù)定義,(b)偏導(dǎo)數(shù)定義推廣,(c)全微分定義,全微分,可微,是曲線,在點 M0 處的切線,對 x 軸的斜率.,在點M0 處的切線,斜率.,是曲線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,對 y 軸的,(d)偏導(dǎo)數(shù)幾何意義,連續(xù),可微,(d)偏導(dǎo)數(shù),可微與連續(xù)的關(guān)系,偏導(dǎo)數(shù)存在,在點 (0,0) 可微 .,例1,在點 (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證: 1),因,故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導(dǎo)數(shù)在點 (0,0) 不連,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證明函數(shù),所以,同理,極限不存在 ,在點(0,0)不連續(xù) ;,同理 ,在點(0,0)也不連續(xù).,2),3),題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4) 下面證明,可微 :,說明: 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.,令,則,題目 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,()偏導(dǎo)數(shù)與全微分計算問題,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),例,函數(shù)f 具有二階,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,，其中,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),(11年考研真題9分),，其中函數(shù)f 具有二階,連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x=1處取得極值g(1)=1,求,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),(11年考研真題4分),隱函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),(10年考研真題4分),由方程,確定，其中F為可微函數(shù)，且,隱函數(shù)求導(dǎo),設(shè)函數(shù),練習(xí),由方程,確定，其中F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)極值問題,、多元函數(shù)極值問題,無條件極值,有條件極值,顯函數(shù),隱函數(shù),閉區(qū)域邊界上,閉區(qū)域上,必要條件,充分條件,.無條件極值-顯函數(shù),求函數(shù),(12年考研真題10分),的極值,思路解析：,() 典型的無條件極值顯函數(shù)問題先求駐點,時, 具有極值,(2)令,則: 1) 當(dāng),A<0 時取極大值;,A0 時取極小值.,2) 當(dāng),3) 當(dāng),時, 沒有極值.,時, 不能確定 , 需另行討論.,.2.無條件極值-隱函數(shù),設(shè)函數(shù),(年考研真題1分),是由,思路解析：,() 典型的無條件極值（隱函數(shù)）先用必要條件 求駐點,確定的函數(shù)，求,的極值點和極值,(2) 用充分條件判別可疑點,已知曲線,(08年考研真題11分),求C上距離xoy面最,思路解析：,() 典型的兩條件極值問題閉區(qū)域邊界上的最值，,近和最遠的點,用拉格朗日乘數(shù)法,3.條件極值-閉區(qū)域邊界上的最值,為中心在原點的橢圓,求它的面積,思路解析：,分別是半長軸與半短軸,它們分別是橢圓上點到中,心的距離的最大值與最小值,練習(xí). 已知平面曲線,用拉格朗日乘數(shù)法,的面積為S，三邊長分別為a,b,c,思路解析：,從其內(nèi)部的點P向三邊作三條垂線，求使此三條垂線 乘積為最大的點P的位置.,條件：面積為S,練習(xí). 已知,用拉格朗日乘數(shù)法,.4.條件極值-閉區(qū)域上的最值,求函數(shù),(0年考研真題11分),在區(qū)域,思路解析：,() 典型的條件極值問題閉區(qū)域邊界內(nèi)的最值，,上的最大最小值,內(nèi)部點為駐點,邊界點用拉格朗日乘數(shù)法,.方向?qū)?shù)與梯度問題,(a)方向?qū)?shù)定義,.方向?qū)?shù)與梯度問題,(a)方向?qū)?shù)定義（1）,為平面直線,(a)方向?qū)?shù)定義式（2）,為空間直線,(b)方向?qū)?shù)計算式（1）,對于二元函數(shù),為, ，的方向?qū)?shù)為,特別:, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,向角,(b)方向?qū)?shù)計算式（2）,對于三元函數(shù),為, ,特別:, 當(dāng) l 與 x 軸同向, 當(dāng) l 與 x 軸反向,向角,的方向?qū)?shù)為,例1. 求函數(shù),在點 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向?qū)?shù) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求函數(shù),在點P(2, 3)沿曲線,朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).,解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為,它在點 P 的切向量為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 設(shè),是曲面,在點 P(1, 1, 1 )處,指向外側(cè)的法向量,解:,方向余弦為,而,同理得,方向,的方向?qū)?shù).,在點P 處沿,求函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方向?qū)?shù)公式,梯度,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(c)梯度定義,梯度定義式,三元函數(shù) f (P) 在點 P 處的梯度,(gradient),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明:,函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.,二元函數(shù),在點,處的梯度,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,稱為函數(shù) f 的等值線 .,（d)梯度的幾何意義,旋轉(zhuǎn)曲面,結(jié)論1: 任意點梯度向量垂直于該點等值線（的切線）,為了更形象地理解梯度的特征,不妨將函數(shù),z = f (x, y)的圖形想象為一座山,如果你向梯度方向爬山,總是沿著梯度垂直的方向走,那么你一定上不了山,因為在這種情況下你總是在一,(如圖).,如果你,最陡, 最費力;,條等高線上走.,討論規(guī)劃最優(yōu)解問題,梯度方向與函數(shù)值變化的關(guān)系.,最優(yōu)解（1，4）,（梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.）,方向?qū)?shù),驗證：,梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,方向,驗證：,這說明,.,梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,f 變化率最大即梯度方向是函數(shù)值增大最快的方向.,l與梯度方向重合時,2.,f 變化率為零即沿等值線方向，函數(shù)值不變,l與梯度方向垂直時,.,f 變化率最小即沿梯度相反方向，是函數(shù)值減少最快.,l與梯度方向相反時,討論函數(shù)變化率的最值問題,梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系,例：,（）問在點(1, )處，沿什么方向電壓升高最快?其速率為多少?,設(shè)一金屬板上電壓的分布函數(shù)為,（）問在點(1, )處，沿什么方向電壓下降最快?其速率為多少?,（）問在點(1, )處，沿什么方向電壓變化最慢？,f. 關(guān)系,方向?qū)?shù)存在,偏導(dǎo)數(shù)存在, 可微,求,(年考研真題分),思路解析：,() 考察梯度定義與計算,求,(年考研真題分),思路解析：,() 考察梯度定義與計算,在點（，）的梯度,設(shè)函數(shù),(年考研真題分),思路解析：,() 考察方向?qū)?shù)定義與計算,單位向量,則,（）,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 .,在點A( 1 , 0 , 1) 處沿點A,函數(shù),提示:,則,(96考研真題),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù),在點,處的梯度,解:,則,注意 x , y , z 具有輪換對稱性,(92年考研真題),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)有一小山，取它的底面為xoy坐標(biāo)面，其底部所占,(年考研真題分),的區(qū)域為,小山的高度函數(shù)為,（）設(shè),為區(qū)域D上的一個點，問,在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？,若記此方向?qū)?shù)的最大值為,試寫出,的表達式,（）現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳,一上山坡度最大的點作為攀登的起點，也就是,在D的邊界曲線上尋找出（）中,達到最大,值的點，試確定攀登起點的位置,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,積分對稱性,、積分對稱性問題,定積分,曲線積分,二重函數(shù),三重積分,曲面積分,對弧長,對坐標(biāo),對面積,對坐標(biāo),