小學(xué)數(shù)學(xué)五年級《奇數(shù)與偶數(shù)》 練習(xí)題

奇數(shù)與偶數(shù) 練習(xí)題（含答案） 偶數(shù)±偶書=偶數(shù)；偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù). 偶書×偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù).偶數(shù)個偶數(shù)相加減還是偶數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)相加減也是偶數(shù)；奇數(shù)個偶數(shù)相加減還是偶數(shù)；奇數(shù)個奇數(shù)相加減還是奇數(shù)；【例 1】（）能否從、四個 3，三個 5，兩個 7 中選出 5 個數(shù)，使這 5 個數(shù)的和等于 28.分析：因為 3，5，7 都是奇數(shù)，而且 5 個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不可能等于偶數(shù) 22，所以不能.鞏固：能否從 1、3、5、7、9、11、13、15 這 8 個數(shù)中選出 3 個數(shù)來，使它們的和為 24？分析：不能，奇數(shù)個奇數(shù)相加的和為奇數(shù)不可能為偶數(shù).【例 2】是否存在自然數(shù) a、b、c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=27043？分析：不存在 . 如果 (a-b) 、(b-c) 中有一個偶數(shù)則原式不成立，如果（ a-b ）、（b-c ）為奇數(shù)，那么 a-c=(a-b)+(b-c)為偶數(shù)還是不成立.拓展是否存在自然數(shù) a、b、c,使得（5a-3b）（5b-3c）（25a-9c）=36342？分析：不存在，（25a-9c）=5（5a-3b）+3（5b-3c），所以如果（5a-3b）、（5b-3c）為奇數(shù)，那么（25a-9c） 為偶數(shù)，所以（5a-3b）、（5b-3c）、（25a-9c）三個數(shù)中不可能都是奇數(shù)，所以不存在符合條件的 a、b、 c.拓展是否存在自然數(shù) a、b、c、d,使得（a-b）（b-c）（c-d）（a-d）=36342？分析：不存在.因為（a-d）=（a-b）+（b-c）+（c-d），所以如果（a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）這四個 數(shù)中有三個數(shù)是奇數(shù)，那么第四個數(shù)一定也是奇數(shù)，所以（ a-b）、（b-c）、（c-d）、（a-d）中偶數(shù)不可能 單獨出現(xiàn)，所以這四個數(shù)的積要么是 4 的倍數(shù)，要么是奇數(shù)，而 36342 既不是 4 的倍數(shù)，也不是奇數(shù)， 所以不可能存在自然數(shù) a、b、c、d 使等式成立.【例 3】（）用代表整數(shù)的字母 a、b、c、d 寫成等式組：a×b×c×d-a=2001a×b×c×d-b=2003a×b×c×d-c=2005a×b×c×d-d=2007試說明：符合條件的整數(shù) a、b、c、d 是否存在.分析：a、b、c、d 中如果有一個偶數(shù)，那么以偶數(shù)作為減數(shù)的等式等號左邊值應(yīng)該為偶數(shù)，與右邊的奇 數(shù)出現(xiàn)矛盾，如果 a、b、c、d 都是奇數(shù)，那么四條式子的等號左邊都是偶數(shù)，四條等式都不成立.【例 4】（）（圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克）沿著河岸長著 8 叢植物，相鄰兩叢植物上所結(jié)的漿果數(shù)目 相差 1 個問：8 叢植物上能否一共結(jié)有 225 個漿果?說明理由分析：任何相鄰兩叢植物上所結(jié)的漿果數(shù)目相差 1 個，所以任何相鄰兩叢植物上所結(jié)漿果數(shù)目和都是奇 數(shù)這樣一來，8 叢植物上所結(jié)的漿果總數(shù)是 4 個奇數(shù)之和，必為偶數(shù)，所以不可能結(jié)有 225 個漿果拓展 能否將 116 這 16 個自然數(shù)填入 4×4 的方格表中(每個小方格只填一個數(shù))，使得各行之和及各 列之和恰好是 8 個連續(xù)的自然數(shù)?如果能填，請給出一種填法；如果不能填，請說明理由分析：不能將所有的行和與列和相加，所得之和為4×4 的方格表中所有數(shù)之和的 2 倍即為(123 15×16)×2=16×17而 8 個連續(xù)的自然數(shù)之和設(shè)為k(k1)(k2)(k3)(k4)(k5)(k6)(k7)=8k28若 4×4 方格表中各行之和及各列之和恰好是 8 個連續(xù)的自然數(shù)，應(yīng)有8k28=16×17，即 2k7=4×17 顯然式左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，得出矛盾所以不能實現(xiàn)題設(shè)要求的填數(shù)法【例 5】（） 有 7 只正立的茶杯，要求全部翻過來.規(guī)定每次翻動其中 6 只.試問此事能否辦成？ 若茶杯是 10 只，每次只翻動 7 只，又能否把正立的茶杯全部翻過來？分析：（1）每一次操作都只能改變偶數(shù)個茶杯的放置狀態(tài)，被翻過來的茶杯永遠是偶數(shù)，所以不能將所 有正立的茶杯翻過來.（2）能，將 10 個杯子編號后，分四次將所有杯子全部翻過來.第一次翻編號為 1、 2、3、7、8、9、10 的杯子，第二次翻編號為 4、5、6、7、8、9、10 的杯子，第三次翻編號為 1、2、3、 4、5、7、8 的杯子，第三次翻編號為 1、2、3、4、5、9、10 的杯子.拓展 有 7 面時鐘，都指向 12 點，現(xiàn)在做一些操作，每次將其中六面鐘往前或往后撥 6 小時，那么是 否有可能將這 7 面鐘都歸于 6 點？分析：這道題與原題無任何區(qū)別，過渡到下一拓展.拓展有 9 面時鐘，其中有 3 面指向 12 點，有三面指向 3 點，另外三面指向 6 點，現(xiàn)在做一些操作，每 次將其中兩面鐘往前或往后撥 3 小時，那么是否有可能將這 9 面鐘都歸于 6 點？分析：不可能,不妨將一面種往前或往后撥 3 小時稱為一個操作，那么將這 9 面鐘歸于 6 點，需要經(jīng)過奇 數(shù)個操作，但是，每次都要進行兩個操作，因此不可能經(jīng)過若干次偶數(shù)個操作完成技術(shù)個操作.【例 6】（奧數(shù)網(wǎng)原創(chuàng)）36 盞燈排成 6×6 的方陣，這 36 盞燈中只有 9 盞燈是亮著的，現(xiàn)在作一些操作，每次操作拉一下同一行或同一列燈的開關(guān)，請問能否經(jīng)過若干次操作，使這 36 盞燈全部亮.分析：不能，每一次改變 6 盞燈的狀態(tài)，無論這 6 盞燈原來的狀態(tài)如何，等只能增加或減少偶數(shù)盞亮著 的燈，所以無論拉多少次都不能將這 36 盞燈全部亮.拓展如果 36 盞燈當中有兩盞燈是亮著的，那么是否有可能經(jīng)過若干次操作，使這 36 盞燈全部亮.分析：不能，如果兩盞燈是亮著，而且經(jīng)過若干次操作，使這36 盞燈全部亮的話，那么原來亮著得燈要 拉偶數(shù)下，原來不亮的燈要拉奇數(shù)下，兩盞燈若在同一行（或同一列），那么該行（或該列）被拉的次數(shù)， 與這兩盞燈所在的列（或行）被拉的次數(shù)同奇偶，與其他列（或行）被拉的次數(shù)的奇偶性質(zhì)相反，那么 其他行（或列）被拉的次數(shù)無論是奇數(shù)還是偶數(shù)，都不能使該行所有燈同熄同亮，若兩盞原來兩著的燈 不同行同列，分析法雷同.【例 7】有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝 1001 枚白棋子和 1000 枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足 夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋 子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了 1999 次棋子后， 大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？分析：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共 1001+1000=2001（枚）。因為每次都是摸出 2 枚棋子放回 1 枚棋子，所 以每摸一次少 1 枚棋子，摸了 1999 次后，還剩 2001-1999=2（枚）棋子。從大盒內(nèi)每次摸 2 枚棋子有以 下兩種情況：（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當所摸兩枚 棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。 （2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一 枚黑棋子。綜合（ 1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù) 的奇偶性。原來大盒內(nèi)有 1000 枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了 1999 次，即改變了 1999 次奇偶性后，還剩奇數(shù) 枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下 2 枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白、奇偶數(shù)性質(zhì)運用：一些東西，如果能將它們兩兩配對，那么這些東西的數(shù)目為偶數(shù)；如果一些東西的數(shù)目為奇數(shù)；則它們不能兩兩配對正偶數(shù)當中只有 2 是素數(shù)，素數(shù)當中只有 2 是偶數(shù).【例 8】（列寧格勒數(shù)學(xué)奧林匹克）圓桌旁坐著 2k 個人，其中有 k 個物理學(xué)家和 k 個化學(xué)家，并 且其中有些人總說真話，有些人則總說假話今知物理學(xué)家中說假話的人同化學(xué)家中說假話的人一樣 多又當問及：“你的右鄰是什么人”時，大家全部回答：“是化學(xué)家”證明：k 為偶數(shù)分析：由于大家都說自己的右鄰是化學(xué)家，所以每個物理學(xué)家的左鄰都說了假話，而每個說假話的人的 右鄰都是物理學(xué)家因此，說假話的人數(shù)等于物理學(xué)家的人數(shù)，即為 k 個而物理學(xué)家和化學(xué)家中說假 話的人數(shù)一樣多，所以共有偶數(shù)個說假話的人，即 k 為偶數(shù)【例 9】（）一隊少年兒童不超過 50 人，圍成一圈作游戲。每個兒童的左右相鄰都恰好是一個男 孩一個女孩.問：這隊少年兒童最多有多少人？為什么？分析：設(shè) n 個少年兒童排成一圈，每個兒童的左右相鄰的都是一個男孩子和一個女孩子，則一定是兩個 男孩子兩個女孩子依次相鄰，男男女女男男女女地排成一圈，所以 n 是偶數(shù)，令 n=2k.將相鄰兩個 男孩子記為 A，相鄰兩個女孩子記為 B.則 A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,，共有 k 個相間排列成一圈，所以 A，B 的個數(shù)相等，于是 k 也是偶數(shù)，即 k=2l，所以 n=4l.也就是說 n 是 4 的倍數(shù).由于 n 不超過 50，所 以這隊少年兒童最多有 48 人.拓展：一條線段上分布著 n 個點，這些點的顏色不是黑的就是白的，它們將線段分為 n+1 段，已知線 段兩端的兩個點都是黑的，而中間的每一個點的兩邊各有一黑一白.那么白點的數(shù)目是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析：因為中間的每一個點的兩邊各有一黑一白，所以所有的點一定是兩個黑點，兩個白點依次相鄰（除 了首尾可能出現(xiàn)一個黑點），所以白點都是成對出現(xiàn)的.所以白點的個數(shù)為偶數(shù).拓展：一條線段上分布著 n 個點，這些點的顏色不是黑的就是白的，它們將線段分為 n+1 段，已知線 段兩端的兩個點都是黑的，n+1 段線段中兩端的端點為一黑一白的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析：法一：線段有四種：左黑右黑、左白左白、左黑右白、左白右黑，兩端的端點為一黑一白的線段 有兩種，一種左黑右白，一種左白右黑，對于每一段線段來講，左黑的線段，左邊的線段右必黑；左白 的線段，左邊的線段右邊白；右黑的線段，右邊的線段左必黑；右白的線段，右邊的線段左必黑.所以， 因此左黑右白和左白右黑的兩種線段必定交替出現(xiàn)（中間只可能以左黑右黑或左白左白的線段相隔），并 且靠左端的一定是左黑右白的線段，靠右邊的一定是左白右黑的險段. 所以 n+1 段線段中兩端的端點為 一黑一白的個數(shù)是偶數(shù).法二：將黑點上標 1，白點上標 0，然后在每段線段上計算端點的和，易知左黑右黑、左白左白的線段上 的端點和為偶數(shù)，左黑右白、左白右黑上的端點和為奇數(shù)，而這些端點和的總和為偶數(shù)（中間的端點每 個都被計算了兩次，兩端的黑點計算了一次）所以，這些些端點和中奇數(shù)的個數(shù)為偶數(shù).所以 n+1 段線段 中兩端的端點為一黑一白的個數(shù)是偶數(shù).【例 10】（）在 ll 張卡片上各寫有一個不超過 5 的數(shù)字將這些卡片排成一行，得到一個 1l 位數(shù)； 再將它們按另一種順序排成一行，又得到一個 1l 位數(shù)證明：這兩個 11 位數(shù)的和的十進制表達式中至 少有一位數(shù)字是偶數(shù)分析：如果在求和時發(fā)生進位現(xiàn)象，那么這只有在兩個 11 位數(shù)的同一位數(shù)字都是 5 時才有可能發(fā)生而 在出現(xiàn)進位的最右面的位置上，和數(shù)的該位數(shù)字一定為 0如果在求和時不發(fā)生進位現(xiàn)象，那么只有在 兩個 11 位數(shù)的同位數(shù)字的奇偶性不同時，其和的該位數(shù)字才為奇數(shù)因此只有在卡片上奇數(shù)個數(shù)與偶 數(shù)個數(shù)相同時，和數(shù)的各位數(shù)字全為奇數(shù)然而卡片的張數(shù) 11 是奇數(shù)，不可能將 11 個數(shù)字奇偶配對， 所以不可能出現(xiàn)這種現(xiàn)象，所以和數(shù)中至少有一位數(shù)字是偶數(shù)【例 11】（圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克）骨牌的形狀有三種：邊長為 1 的等邊三角形，由兩個邊長 為 1 的等邊三角形形成的菱形和由三個邊長為 1 的等邊三角形拼成的梯形一副骨牌中有 222 塊菱形牌、 333 塊等邊三角形牌和 444 塊梯形牌證明，不能用所有這些骨牌拼成一個周長為 888 的多邊形在拼 接時，骨牌與骨牌之間不能留有空隙.分析：所有骨牌的周長之和為奇數(shù)如果能夠用所有這些骨牌拼成一個周長為 888 的多邊形的話，那么 所有骨牌的周長之和就應(yīng)當?shù)扔诙噙呅蔚闹荛L加上各個骨牌的公共邊界的長度之和的 2 倍，從而為偶數(shù)， 導(dǎo)致矛盾前鋪（2006 香港圣公會小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）多米諾骨牌是由塑料制成的 1×2 長方形，共 28 張，每張 牌上的兩個 1×1 正方形中刻有“點”，點的個數(shù)分別為 0，1，2，6 個不等，其中 7 張牌兩端的點數(shù) 一樣，即兩個 0，兩個 1，兩個 6；其余 21 張牌兩端的點數(shù)不一樣，所謂連牌規(guī)則是指：每相鄰兩張 牌必須有一端的點數(shù)相同，且以點數(shù)相同的端相連，例如：現(xiàn)將一付多米諾骨牌按連牌規(guī)則連成一條鏈，如果在鏈的一端為 6 點，那么在鏈的另一端為多少點? 并簡述你的理由分析：由連牌規(guī)則可知，在鏈的內(nèi)部各種點數(shù)均成對相連，即所有點都有偶數(shù)個，而6 點的個數(shù)為 8，所 以在鏈的兩端一定有偶數(shù)個點，所以鏈的另一端也應(yīng)為 6【例 12】（）某班有 49 名同學(xué)，坐成 7 行 7 列，每個座位的前、后、左、右的座位叫做它的“鄰 座”.要讓這 49 位同學(xué)中的每一位都換到他的鄰座上去，問這種調(diào)換座位的方案能不能實現(xiàn)？為什么？分析：49 名同學(xué)分為兩類，一類同學(xué)的座位號行號和列號的和為偶數(shù)，這一類同學(xué)一共有 25 名，另一 類同學(xué)的座位號的行號和列號的和為奇數(shù)，這一類同學(xué)一共有 24 名，同一類的同學(xué)互不相鄰，每一位同 學(xué)的鄰座都是與他不同類的同學(xué)，將 23 名同學(xué)和 22 名同學(xué)的座位交換不可能.評注這類問題的通常作法是將所有作為間隔染色，但間隔染色的實質(zhì)也是將行號和列號之和作奇偶區(qū) 分.練習(xí)一1、（例 1）在括號中填入加號和減號能否使下面的等式成立？1（）2（）3（）4（）5（）6（）7（）8（）936分析：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，因為 45 奇數(shù)，把其中任何一個數(shù)改變符號，結(jié)果都將減去這個數(shù)的兩 倍，所以改變符號之后，結(jié)果仍然是奇數(shù)，而 36 是偶數(shù)，所以不可能.2、（例 3）將兩個自然數(shù)的差乘上它們的積，能否得到數(shù) 45 045?分析：因為 45 045 是奇數(shù)，所以它只能表示成 3 個奇數(shù)的連乘積，但是對任何兩個奇數(shù) x 和 y(xy)來說， yx 都是偶數(shù)；從而45 045xy(yx)，而如果 x 和 y 中有偶數(shù)，則亦為不可能3、（例 5）在黑板上記上數(shù) 1，2，3，4，,1994.允許擦去任意的 2 個數(shù)，且寫上他們的 和或者差，重復(fù)下去，直到黑板上僅留下 1 個數(shù)為止.這個數(shù)可能為 0 嗎？分析：每一次操作都沒有改變黑板上所有數(shù)之和的奇偶性質(zhì)，黑板上的所有數(shù)的和永遠為奇數(shù)，不可能 為 0.4、（奧數(shù)網(wǎng)原創(chuàng) 例 6）100 盞燈排成 10×10 的方陣，這 100 盞燈中只有 25 盞燈是亮著的，現(xiàn) 在作一些操作，每次操作拉一下同一行或同一列燈的開關(guān)，請問能否經(jīng)過若干次操作，使這 100 盞燈全 部亮.分析：不能，每一次改變 10 盞燈的狀態(tài)，無論這 10 盞燈原來的狀態(tài)如何，都只能增加或減少偶數(shù)盞亮 著的燈，所以無論拉多少次都不能將這 100 盞燈全部亮.5、（奧數(shù)網(wǎng)原創(chuàng) 例 11）是否能存在一個多面體，它的表面由 9 個三角形，4 個四邊形，3 個 六邊形組成？分析：不可能，多面體的每一條棱與兩個面相關(guān)，所以 9 個三角形，4 個四邊形，3 個六邊形的所有邊應(yīng) 該能兩兩配對，但一共有 27+16+18=61 條邊所以該多面體是不存在的.