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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)42 拋物線

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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)42 拋物線

考點(diǎn)42 拋物線一、選擇題1.(2012·山東高考文科·11)已知雙曲線:的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線的方程為( ) (A) (B) (C)(D)【解題指南】本題關(guān)鍵利用離心率求出漸近線方程,而拋物線焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離相等,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出p.【解析】選D.因?yàn)殡p曲線:的離心率為2,所以,所以c=2a,所以,雙曲線的漸近線為,即。拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為:,所以p=8, 所以拋物線的方程為.二、填空題2. (2012·陜西高考文科·14)與(2012·陜西高考理科·13)相同右圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬 米.【解題指南】建立平面直角坐標(biāo)系,求出拋物線方程,根據(jù)方程求解.【解析】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,如圖所示,設(shè)拋物線方程為(),則點(diǎn)(2,)在此拋物線上 代入可求出拋物線的方程是,當(dāng)時(shí),所以,水面寬是.【答案】.3.(2012·北京高考理科·12)在直角坐標(biāo)系xOy中.直線過拋物線=4x的焦點(diǎn)F.且與該撇物線相交于A、B兩點(diǎn).其中點(diǎn)A在x軸上方.若直線的傾斜角為60º.則OAF的面積為 . 【解題指南】寫出直線的方程,再與拋物線方程聯(lián)立,解出A點(diǎn)坐標(biāo),再求面積.【解析】拋物線的焦點(diǎn),直線。由,解得,.所以.【答案】.4.(2012·天津高考文科·11)已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,且的右焦點(diǎn)為,則.【解題指南】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)列式求解.【解析】由題意可得,解得.【答案】1 2.三、解答題5.(2012·江西高考理科·20)已知三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足.(1) 求曲線C的方程;(2)動點(diǎn)Q(x0,y0)(-2x02)在曲線C上,曲線C在點(diǎn)Q處的切線為,問:是否存在定點(diǎn)P(0,t)(t0),使得與PA,PB都相交,交點(diǎn)分別為D,E,且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)?若存在,求t的值。若不存在,說明理由.【解題指南】(1)將各點(diǎn)坐標(biāo)代入.,化簡整理即得曲線C的方程;(2)根據(jù)題目中的已知條件用t表示出,探求當(dāng)之比為常數(shù)時(shí),所滿足的等式條件,根據(jù)條件建立方程或方程組,求得的值.【解析】(1)由,由已知得,化簡得曲線C的方程:.(2)假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,則直線PA的方程是的方程是曲線C在Q處的切線的方程是它與y軸的交點(diǎn)為.由于,因此. 當(dāng)時(shí),存在,使得, 當(dāng)時(shí),所以與直線PA,PB一定相交,分別聯(lián)立方程組,解得D,E的橫坐標(biāo)分別是,則又,有,又,.對任意,要使為常數(shù),即只須滿足解得此時(shí),故存在,使得與的面積之比是常數(shù)2.6.(2012·江西高考文科·21)已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在上單調(diào)遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0.(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)g(x)= f(-x)- f(x),求g(x)在上的最大值和最小值.【解題指南】(1)利用f(0)=1,f(1)=0將用表示出來,然后利用f(x)=(ax2+bx+c)ex在上單調(diào)遞減在上恒成立,然后通過分類討論求得a的取值范圍;(2)化簡g(x)= f(-x)- f(x),通過對g(x)求導(dǎo),然后分類討論求最值.【解析】(1)由得,則依題意須對于任意,有.當(dāng)時(shí),因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象開口向上,而,所以須,即;當(dāng)時(shí),對任意有,符合條件;當(dāng)時(shí),對于任意,符合條件;當(dāng)時(shí),因,不符合條件.故的取值范圍為. (2)因,(i)當(dāng)時(shí),在上取得最小值,在上取得最大值.(ii)當(dāng)時(shí),對于任意,有,在取得最大值,在取得最小值.(iii)當(dāng)時(shí),由得. 若,即時(shí),在上單調(diào)遞增,在取得最小值,在取得最大值. 若,即時(shí),在取得最大值,在或取得最小值,而, 則當(dāng)時(shí),在取得最小值;當(dāng)時(shí),在取得最小值.7.(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T20)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,A為C上一點(diǎn),已知以為圓心,為半徑的圓交于兩點(diǎn);(1)若,的面積為;求的值及圓的方程;(2)若三點(diǎn)在同一直線上,直線與平行,且與只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值.【解題指南】(1)由BFD=90°及拋物線的對稱性可推知為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出的面積,建立等式關(guān)系求得p的值,然后由圓心和半徑寫出圓的方程;(2)由“A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行”這一條件求出直線的斜率,設(shè)出直線n的方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用兩者只有一個(gè)公共點(diǎn)(),可求得直線的方程(方程中含有p),然后利用距離公式及對稱性求出坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.【解析】(1)由對稱性知:是等腰直角,斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 所以, 圓的方程為.(2)因?yàn)锳、B、F三點(diǎn)在同一直線上,所以AB為圓F的直徑,.由拋物線定義知 , 所以,的斜率為或. 當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),由已知可設(shè),代入得 由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故.解得.因?yàn)閙的截距,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時(shí),由圖形對稱性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到,距離的比值為3.8.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·20)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為,A為C上一點(diǎn),已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交于B,D兩點(diǎn)。(I)若BFD=90°,ABD的面積為4,求p的值及圓F的方程;(II)若A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.【解題指南】(1)由BFD=90°及拋物線的對稱性可推知為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)表示出的面積,建立等式關(guān)系求得p的值,然后由圓心和半徑寫出圓的方程;(2)由“A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行”這一條件求出直線的斜率,設(shè)出直線n的方程,與拋物線方程聯(lián)立,利用兩者只有一個(gè)公共點(diǎn)(),可求得直線的方程(方程中含有p),然后求距離公式求出坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值. 【解析】(I)由對稱性知:是等腰直角,斜邊 點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 所以, 圓的方程為.(II)因?yàn)锳、B、F三點(diǎn)在同一直線上,所以AB為圓F的直徑,.由拋物線定義知 , 所以,的斜率為或. 當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),由已知可設(shè),代入得 由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),故.解得.因?yàn)閙的截距,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為3.當(dāng)m的斜率為時(shí),由圖形對稱性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到,距離的比值為3.

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