（全國120套）2013年中考數(shù)學試卷分類匯編 解直角三角形（三角函數(shù)應用）

解直角三角形（三角函數(shù)應用）1、（綿陽市2013年）如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經(jīng)過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角為60º，又從A點測得D點的俯角為30º，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為（ A ）A20米 B米 C米 D米解析GE/AB/CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=ABcotACB=30×cot60º=10米，DF=AFtan30º=10×=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。2、（2013杭州）在RtABC中，C=90°，若AB=4，sinA=，則斜邊上的高等于（）ABCD考點：解直角三角形專題：計算題分析：在直角三角形ABC中，由AB與sinA的值，求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)面積法求出CD的長，即為斜邊上的高解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，在RtABC中，AB=4，sinA=，BC=ABsinA=2.4，根據(jù)勾股定理得：AC=3.2，SABC=ACBC=ABCD，CD=故選B點評：此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及三角形的面積求法，熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵3、（2013綏化）如圖，在ABC中，ADBC于點D，AB=8，ABD=30°，CAD=45°，求BC的長考點：解直角三角形分析：首先解RtABD，求出AD、BD的長度，再解RtADC，求出DC的長度，然后由BC=BD+DC即可求解解答：解：ADBC于點D，ADB=ADC=90°在RtABD中，AB=8，ABD=30°，AD=AB=4，BD=AD=4在RtADC中，CAD=45°，ADC=90°，DC=AD=4，BC=BD+DC=4+4點評：本題考查了解直角三角形的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是在直角三角形中利用解直角三角形的知識求出BD、DC的長度4、（2013鄂州）著名畫家達芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學家、發(fā)明家他曾經(jīng)設計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內(nèi)自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來若AB=20cm，則畫出的圓的半徑為10cm考點：直角三角形斜邊上的中線分析：連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長，畫出的圓的半徑就是OP長解答：解：連接OP，AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點，OP=AB，AB=20cm，OP=10cm，故答案為：10點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半5、（2013安順）在RtABC中，C=90°，BC=8，則ABC的面積為 考點：解直角三角形專題：計算題分析：根據(jù)tanA的值及BC的長度可求出AC的長度，然后利用三角形的面積公式進行計算即可解答：解：tanA=，AC=6，ABC的面積為×6×8=24故答案為：24點評：本題考查解直角三角形的知識，比較簡單，關鍵是掌握在直角三角形中正切的表示形式，從而得出三角形的兩條直角邊，進而得出三角形的面積6、（11-4解直角三角形的實際應用·2013東營中考）某校研究性學習小組測量學校旗桿AB的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為60°，在教學樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30°，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為 米. 15. 9.解析：過B作BECD于點E，設旗桿AB的高度為x，在中，所以，在中，所以，因為CE=AB=x，所以，所以x=9，故旗桿的高度為9米.7、（2013常德）如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，C=45°，sinB=，AD=1（1）求BC的長；（2）求tanDAE的值考點：解直角三角形分析：（1）先由三角形的高的定義得出ADB=ADC=90°，再解RtADC，得出DC=1；解RtADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=2，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CECD，然后在RtADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解解答：解：（1）在ABC中，AD是BC邊上的高，ADB=ADC=90°在ADC中，ADC=90°，C=45°，AD=1，DC=AD=1在ADB中，ADB=90°，sinB=，AD=1，AB=3，BD=2，BC=BD+DC=2+1；（2）AE是BC邊上的中線，CE=BC=+，DE=CECD=，tanDAE=點評：本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解RtADC與RtADB，得出DC=1，AB=3是解題的關鍵8、（13年山東青島、20）如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A、B兩點分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，A=67°，B=37°（1）求CD與AB之間的距離；（2）某人從車站A出發(fā)，沿折線ADCB去超市B，求他沿折線ADCB到達超市比直接橫穿馬路多走多少米（參考數(shù)據(jù)：， ，）解析：9、（2013益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，PAB=38.5°，PBA=26.5請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置（以A，B為參照點，結果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）考點：解直角三角形的應用專題：應用題分析：設PD=x米，在RtPAD中表示出AD，在RtPDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置解答：解：設PD=x米，PDAB，ADP=BDP=90°，在RtPAD中，tanPAD=，AD=x，在RtPBD中，tanPBD=，DB=2x，又AB=80.0米，x+2x=80.0，解得：x24.6，即PD24.6米，DB=2x=49.2答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關線段的長度，難度一般10、（2013婁底）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）考點：解直角三角形的應用分析：過點C作CDAB于點D，設CD=x，在RtACD中表示出AD，在RtBCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關于x的方程，解出即可解答：解：過點C作CDAB于點D，設CD=x，在RtACD中，CAD=30°，則AD=CD=x，在RtBCD中，CBD=45°，則BD=CD=x，由題意得，xx=4，解得：x=2（+1）5.5答：生命所在點C的深度為5.5米點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)知識表示出相關線段的長度，注意方程思想的運用11、（2013包頭）如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（ABO）為60°當木棒A端沿墻下滑至點A時，B端沿地面向右滑行至點B（1）求OB的長；（2）當AA=1米時，求BB的長考點：勾股定理的應用；解直角三角形的應用分析：（1）由已知數(shù)據(jù)解直角三角形AOB即可；（2）首先求出OA的長和OA的長，再根據(jù)勾股定理求出OB的長即可解答：解：（1）根據(jù)題意可知：AB=6，ABO=60°，AOB=90°，在RtAOB中，cosABO=，OB=ABcosABO=6cos60°=3米，OB的長為3米；（2）根據(jù)題意可知AB=AB=6米，在RtAOB中，sinABO=，OA=ABsinABO=6sin60°=9米，OA=OAAA，AA=1米，OA=8米，在RtAOB中，OB=2米，BB=OBOB=（23）米點評：本題考查了勾股定理的應用和特殊角的銳角三角函數(shù)，是中考常見題型12、（2013呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經(jīng)過C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛已知AC=10千米，A=30°，B=45°則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果保留根號）考點：解直角三角形的應用分析：過C作CDAB于D，在RtACD中，根據(jù)AC=10，A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長度，然后在RtBCD中，求出BD、BC的長度，用AC+BC（AD+BD）即可求解解答：解：過C作CDAB于D，在RtACD中，AC=10，A=30°，DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在RtBCD中，B=45°，BD=CD=5，BC=5，則用AC+BC（AD+BD）=10+5（5+5）=5+55（千米）答：汽車從A地到B地比原來少走（5+55）千米點評：本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形13、（2013巴中）2013年4月20日，四川雅安發(fā)生里氏7.0級地震，救援隊救援時，利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)地面上兩探測點A、B相距4米，探測線與地面的夾角分別為30°和60°，如圖所示，試確定生命所在點C的深度（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)1.41，1.73）考點：解直角三角形的應用分析：過點C作CDAB交AB于點D，則CAD=30°，CBD=60°，在RtBDC中，CD=BD，在RtADC中，AD=CD，然后根據(jù)AB=ADBD=4，即可得到CD的方程，解方程即可解答：解：如圖，過點C作CDAB交AB于點D探測線與地面的夾角為30°和60°，CAD=30°，CBD=60°，在RtBDC中，tan60°=，BD=，在RtADC中，tan30°=，AD=，AB=ADBD=4，=4，CD=23.5（米）答：生命所在點C的深度大約為3.5米點評：本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形，解直角三角形，也考查了把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力14、（2013舟山）某學校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米校門關閉時，每個菱形的銳角度數(shù)為60°（如圖2）；校門打開時，每個菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°（如圖3）問：校門打開了多少米？（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5°0.0872，cos5°0.9962，sin10°0.1736，cos10°0.9848）考點：解直角三角形的應用；菱形的性質(zhì)分析：先求出校門關閉時，20個菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時，20個菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可解答：解：如圖，校門關閉時，取其中一個菱形ABCD根據(jù)題意，得BAD=60°，AB=0.3米在菱形ABCD中，AB=AD，BAD是等邊三角形，BD=AB=0.3米，大門的寬是：0.3×206（米）；校門打開時，取其中一個菱形A1B1C1D1根據(jù)題意，得B1A1D1=10°，A1B1=0.3米在菱形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1A1O1=5°，在RtA1B1O1中，B1O1=sinB1A1O1A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），B1D1=2B1O1=0.05232米，伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米；校門打開的寬度為：61.0464=4.95365（米）故校門打開了5米點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形的應用，難度適中解題的關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解15、（2013紹興）如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘架所成的角BAC，當傘收緊時，結點D與點M重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度如下：單位：cm傘架DEDFAEAFABAC長度363636368686（1）求AM的長（2）當BAC=104°時，求AD的長（精確到1cm）備用數(shù)據(jù)：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799考點：解直角三角形的應用分析：（1）根據(jù)AM=AE+DE求解即可；（2）先根據(jù)角平分線的定義得出EAD=BAC=52°，再過點E作EGAD于G，由等腰三角形的性質(zhì)得出AD=2AG，然后在AEG中，利用余弦函數(shù)的定義求出AG的長，進而得到AD的長度解答：解：（1）由題意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）故AM的長為72cm；（2）AP平分BAC，BAC=104°，EAD=BAC=52°過點E作EGAD于G，AE=DE=36，AG=DG，AD=2AG在AEG中，AGE=90°，AG=AEcosEAG=36cos52°=36×0.6157=22.1652，AD=2AG=2×22.165244（cm）故AD的長約為44cm點評：本題考查了解直角三角形在實際生活中的應用，其中涉及到角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，難度適中16、(2013年南京)已知不等臂蹺蹺板AB長4m。如圖j，當AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾 角為a；如圖k，當AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為b。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含a、b的式子表示)jOABABaHObHk解析：解：在RtAHO中，sina= ，OA= 。 在RtBHO中，sinb= ，OB= 。 AB=4，OA+OB=4，即 + =4。OH= (m)。 (8分)(2013年江西省)如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，OAB=120°若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示 （1）求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結果精確到0.01） （2）求雨刮桿AB掃過的最大面積（結果保留的整數(shù)倍） （參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos60°=，tan60°=，26.851，可使用科學計算器）【答案】解：（1）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°  連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，OAB=120°，OAE=60°在RtOAE中，OAE=60°，OA=10，sinOAE=，OE=5， AE=5.EB=AE+AB=53， 在RtOEB中，OE=5，EB=53，OB=253.70； （2）雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180°得到CD，即OCD與OAB關于點O中心對稱，BAOOCD，SBAO=SOCD， 雨刮桿AB掃過的最大面積S=(OB2OA2) =1392.【考點解剖】 本題考查的是解直角三角形的應用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經(jīng)驗，弄不懂題意（提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難）【解題思路】 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，（1）AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°；在OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解，由OAB=120°想到作AB邊上的高，得到一個含60°角的RtOAE和一個非特殊角的RtOEB.在RtOAE中，已知OAE=60°，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進而求得RtOEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長；（2）雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積（以OB、OA為半徑的半圓面積之差）.【方法規(guī)律】 將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.【關鍵詞】 刮雨器 三角函數(shù) 解直角三角形 中心對稱 扇形的面積17、（2013陜西）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m。已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高CD的長.（結果精確到0.1m）BAECDNM第21題圖考點：此題考查穩(wěn)定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的應用測量高度，寬度等線段的長度的具體計算，將問題轉(zhuǎn)換成方程（組）來求解，經(jīng)常設置的具體的實際情景得到與測量相關的計算；解析：本題考查的是典型的測量問題之中心投影下的測量，而此問題設置基本上就是應用相似的性質(zhì)來將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題來解決，解：如圖，設CD長為m AMEC，CDEC，BNEC，EA=MAMACD，BNCD，EC=CD=，ABNACD 即 解得所以路燈高CD約為6.1米18、（2013年濰坊市）如圖1所示，將一個邊長為2的正方形和一個長為2、寬為1的長方形拼在一起，構成一個大的長方形.現(xiàn)將小長方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)至,旋轉(zhuǎn)角為.（1）當點恰好落在邊上時，求旋轉(zhuǎn)角的值；（2）如圖2，為的中點，且0°90°，求證：；（3）小長方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與能否全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的值；若不能，說明理由.答案：(1) DC/EF,DCD=CDE=CDE=. sin=,=30°(2) G為BC中點，GC=CE=CE=1，DCG=DCG+DCD=90°+, DCE=DCE+DCD=90°+,DCG=DCE又CD=CD, GCDECD, GD=ED(3) 能. =135°或=315°考點：圖形的旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、解直角三角形、全等三角形的判定點評：本題依據(jù)學生的認知規(guī)律，從簡單特殊的問題入手，將問題向一般進行拓展、變式，通過操作、觀察、計算、猜想等獲得結論.此類問題綜合性較強，要完成本題學生需要有較強的類比、遷移、分析、變形應用、綜合、推理和探究能力