滬教版 九年級(下)學(xué)期 同步講義 第8講 等腰三角形的存在性問題(學(xué)生版)

等腰三角形的存在性問題內(nèi)容分析根據(jù)等腰三角形的定義，若DABC為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB= BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有 2 個甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤 其注意知識結(jié)構(gòu)模塊一：以函數(shù)為背景的等腰三角形問題 知識精講1、 知識內(nèi)容：在用字母表示某條線段的長度時(shí)，常用的方法有但不僅限于以下幾種：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長度表示出第三邊；（2）全等或相似：通過相似，將未知邊與已知邊建立起聯(lián)系，進(jìn)而表示出未知邊（3）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) A( x , y ) 、 B ( x , y )1 1 2 2AB = ( x -x ) 2 +( y -y ) 2 1 2 1 22、 解題思路：，則 A、B 兩點(diǎn)間的距離為：（1） 利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式；（2） 根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分 式或根式方程）（3） 解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根注：用相似的方法得到的代數(shù)式構(gòu)造一般比較簡單，但對幾何能力的要求較高，用勾 股定理則反之例題解析【例1】 如圖，已知 DABC 中，AB = AC = 6，BC = 8，點(diǎn) D 是 BC 邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn) E在 AC 邊上，ADE =B設(shè) BD 的長為 x，CE 的長為 y （1）當(dāng) D 為 BC 的中點(diǎn)時(shí)，求 CE 的長；A（2）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x 的取值范圍； （3）如果 DADE 為等腰三角形，求 x 的值EBDC2 / 10【例2】 已知，一條拋物線的頂點(diǎn)為 E（ -1，4），且過點(diǎn) A（ -3，0），與 y 軸交于點(diǎn) C， 點(diǎn) D 是這條拋物線上一點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為 m，且 -3 <m <-1，過點(diǎn) D 作 DK x 軸，垂足為 K，DK 分別交線段 AE、AC 于點(diǎn) G、H （1）求這條拋物線的解析式；y（2）求證：GH = HK；DE（3）當(dāng) DCGH 是等腰三角形時(shí)，求 m 的值CGHABK Ox模塊二：與圓有關(guān)的等腰三角形問題知識精講1、 與圓有關(guān)知識內(nèi)容：在模塊一的基礎(chǔ)上，加入了與圓有關(guān)的要求。相關(guān)點(diǎn)主要有：（1）同圓內(nèi)半徑相等，提供了全等三角形的邊或角相等條件；（2）切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，提供了可使用的直角三角形2、 解題思路：與模塊一類似；（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式 或根式方程）；（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根例題解析【例3】 如圖，在 Rt ABC 中，ACB = 90°，AC = 8，tan B =43，點(diǎn) P 是線段 AB 上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn) P 為圓心，PA 為半徑的P 與射線 AC 的另一個交點(diǎn)為 D，射線 PD 交射 線 BC 于點(diǎn) E，點(diǎn) Q 是線段 BE 的中點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn) E 在 BC 的延長線上時(shí)，設(shè) PAx，CEy，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫 出定義域；（2）以點(diǎn) Q 為圓心，QB 為半徑的Q 和P 相切時(shí)，求P 的半徑；（3）射線 PQ 與P 相交于點(diǎn) M，聯(lián)結(jié) PC、MC， PMC 是等腰三角形時(shí)，求 AP的長BPQADCE4 / 10【例4】 如圖，已知在 Rt DABC 中， ÐACB =90°，AB = 5 ， sin ÐA =45，P 是 BC 邊上的一點(diǎn)， PE AB ，垂足為 E，以點(diǎn) P 為圓心，PC 為半徑的圓與射線 PE 相交于點(diǎn) Q，線 段 CQ 與邊 AB 交于點(diǎn) D（1）求 AD 的長；（2）設(shè) CP = x， DPCQ 的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （3）過點(diǎn) C 作 CF AB ，垂足為 F，聯(lián)結(jié) PF、QF，如果 DPQF 是以 PF 為腰的等腰 三角形，求 CP 的長QBEPDCA模塊三：與角有關(guān)的等腰三角形問題知識精講有時(shí)，等腰三角形通過邊來計(jì)算過于復(fù)雜，而條件中又恰好有關(guān)于角的一些條件，此時(shí) 經(jīng)常可以討論角之間的關(guān)系，再利用“等角對等邊”的性質(zhì)從而形成等腰三角形例題解析【例5】 如圖 1，在ABC 中，ABC90°，AB5，C30°，點(diǎn) D 是 AC 邊上一動點(diǎn)（不 與 A、C 重合），過點(diǎn) D 分別作 DEAB 于點(diǎn) E，DFBC 于點(diǎn) F，聯(lián)結(jié) EF，設(shè) AEx， EFy（1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）以 F 為圓心、FC 為半徑的F 交直線 AC 于點(diǎn) G，當(dāng)點(diǎn) G 為 AD 中點(diǎn)時(shí)，求 x 的 值；（3）如圖 2，聯(lián)結(jié) BD，將EBD 沿直線 BD 翻折，點(diǎn) E 落在點(diǎn) E處，直線 BE與直線 AC 相交于點(diǎn) M，當(dāng)BDM 為等腰三角形時(shí)，求ABD 的度數(shù)AAEDEDBFMEC B C圖 1圖 26 / 10【習(xí)題1】隨堂檢測已知：如圖 1，在梯形 ABCD 中，AD/BC，BCD=90º， BC=11，CD=6，tanABC=2，點(diǎn) E 在 AD 邊上，且 AE=3ED，EF/AB 交 BC 于點(diǎn) F，點(diǎn) M、N 分別在射 線 FE 和線段 CD 上（1）求線段 CF 的長；（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) M 在線段 FE 上，且 AMMN，設(shè) FM·cosEFC=x，CN=y ，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如 AMN 為等腰直角三角形，求線段 FM 的長A E D A E DNMA E DB F（圖 1）C BF（圖 2）C B F（備用圖）C4【習(xí)題2】 如圖，已知在平行四邊形 ABCD 中，AB5，BC8，cosB ，點(diǎn) P 是邊 BC5上的動點(diǎn)，以 CP 為半徑的圓 C 與邊 AD 交于點(diǎn) E、F（點(diǎn) F 在點(diǎn) E 的右側(cè)），射線CE 與射線 BA 交于點(diǎn) GG（1）當(dāng)圓 C 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)，求 CP 的長；（2）聯(lián)結(jié) AP，當(dāng) AP/CG 時(shí)，求弦 EF 的長； （3）當(dāng)AGE 是等腰三角形時(shí)，求圓 C 的半徑長BEAP CFD8 / 10課后作業(yè)【作業(yè)1】 如圖，在 DABC 中，C = 90 °，BC = 3 ，AB = 5 點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度沿 BCAB 的方向運(yùn)動；點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，以每秒 2 個單位長 度的速度沿 CAB 的方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn) B 后立即原速返回，若 P、Q 兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動， 相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t 秒（1）當(dāng) t =_秒時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 相遇；（2）在點(diǎn) P 從點(diǎn) B 到點(diǎn) C 運(yùn)動的過程中，當(dāng) t 為何值時(shí)， DPCQ 為等腰三角形？BPCQA【作業(yè)2】 在O 中，OC弦 AB，垂足為 C，點(diǎn) D 在O 上（1）如圖 1，已知 OA = 5，AB = 6，如果 OD/AB，CD 與半徑 OB 相交于點(diǎn) E，求 DE 的長；（2）已知 OA = 5 ，AB = 6（如圖 2），如果射線 OD 與 AB 的延長線相交于點(diǎn) F，且 OCD 是等腰三角形，求 AF 的長；（3）如果 OD / AB，CDOB，垂足為 E，求 sinODC 的值OEDOACBACB圖 1圖 210 / 10