微積分學數(shù)列極限收斂準則.ppt

一元微積分學,大 學 數(shù) 學（一）,第四講 數(shù)列極限收斂準則、 無窮小量、極限運算,腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民,第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項級數(shù),本章學習要求：,第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項級數(shù),第二節(jié) 數(shù)列極限收斂準則 第三節(jié) 數(shù)列極限的運算,一、數(shù)列極限收斂準則,二、無窮小量與無窮大量,三、極限的運算,四、施篤茲定理及其應(yīng)用,1.單調(diào)收斂準則,單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限 .,單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限 .,一、數(shù)列極限收斂準則,通常說成：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.,證,由中學的牛頓二項式展開公式,類似地, 有,又,等比數(shù)列求和,放大不等式,每個括號小于 1 .,綜上所述, 數(shù)列xn是單調(diào)增加且有上 界的, 由極限存在準則可知, 該數(shù)列的極限 存在, 通常將它紀為 e, 即,e 稱為歐拉常數(shù).,歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士 巴塞爾，20年后卻永遠離開了祖國。在他76年 的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（1741 1766年），其余時間則留在俄國彼得堡。 歐拉31歲時右眼失明，59歲時雙目失明。 他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與 他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。,歐拉聲譽顯赫。12次獲巴黎科學院大獎（17381772年） 曾任彼得堡科學院、柏林科學院、倫敦皇家學會、巴塞爾物理 數(shù)學會、巴黎科學院等科學團體的成員。,歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未 出版的論著。僅僅雙目失明后的 17 年間，還口述了幾本書 和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學家。 歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學學文科，兩年后獲學 士學位。第二年又獲碩士學位。后為了滿足父親的愿望，學 了一段時期的神學和語言學。從18歲開始就一直從事數(shù)學研 究工作。 歐拉具有超人的計算能力。法國天文學家、物理學家阿 拉哥（D. F. J. Arago，17861853）說：“歐拉計算一點也不 費勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風飛翔一樣。”,有一次，歐拉的兩個學生計算一個復雜的收斂級數(shù)的 和，加到第17 項時兩人發(fā)現(xiàn)在第 50 位數(shù)字相差一個單位。 為了確定究竟誰對，歐拉用心算進行了全部運算，準確地 找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運用心算解決了使 牛頓頭疼的月球運動的復雜分析運算。 歐拉創(chuàng)用 a，b，c 表示三角形的三條邊，用 A，B，C 表示對應(yīng)的三個角( 1748 )；創(chuàng)用 表示求和符號 ( 1755 )； 提倡用 表示圓周率（1736）；1727年用 e 表示自然對數(shù) 的底；還用y 表示差分等等。 十八世紀四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國， 如他在1748年出版的無窮分析引論。,2.數(shù)列極限的夾逼定理,設(shè)數(shù)列 xn, yn, zn 滿足下列關(guān)系:,(2),則,想想：如何證明夾逼定理?,解,由于,想得通吧？,解,夾逼定理,解,解,夾逼定理,請自己做!,有界數(shù)列的重要性質(zhì),由任何有界數(shù)列必能選出收斂的子數(shù)列.,定理,左端點構(gòu)成單調(diào)增加的數(shù)列,右端點構(gòu)成單調(diào)減少的數(shù)列,上面所用到的方法歸結(jié)起來稱為“區(qū)間套定理”.,(區(qū)間套定理),定理,3. 柯西收斂準則,證,由柯西收斂準則可知, 該數(shù)列是發(fā)散的.,證,由柯西收斂準則可知, 該數(shù)列是收斂的.,柯 西 A.L.Cauchy (17891857),業(yè)績永存的 數(shù)學大師,柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通 古典文學的律師，與當時法國的大數(shù)學家拉格朗日和拉 普拉斯交往密切。少年時代柯西的數(shù)學才華就頗受這兩 位大數(shù)學的贊賞，并預言柯西日后必成大器。在拉格朗 日的建議下，其父親加強了對柯西文學素質(zhì)的培養(yǎng)，使 得后來柯西在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。 18051810年，柯西考入巴黎理工學校，兩年后以 第一名的成績被巴黎橋梁公路學院錄取，畢業(yè)時獲該校 會考大獎。1810年成為工程師。1815年獲科學院數(shù)學大 獎，1816年3月被任命為巴黎科學院院士，同年9月，被 任命為巴黎理工學校分析學和力學教授。,由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放 棄工程師工作，致力于純數(shù)學研究。柯西在數(shù)學上的最大 貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立 了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的一個重大 事件，也是柯西對人類科學發(fā)展所作的巨大貢獻。1821年 柯西提出了極限定義的方法，把極限過程用不等式刻劃 出來，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進為現(xiàn)在教科書上所說的極限 定義或定義。當今所有微積分教科書都還（至少在 本質(zhì)上）沿用柯西關(guān)于極限、連續(xù)、收斂等概念?？挛鲗?定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。他把定積分定義為和的 極限，并強調(diào)在作定積分運算前，應(yīng)判斷定積分的存在性。,他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯 西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學分析的基本 概念得到嚴格化處理，從而結(jié)束了 200 年來微積分在思想 上的混亂局面，并使微積分發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學最基礎(chǔ)、最龐 大的數(shù)學學科。 數(shù)學分析嚴謹化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。 在一次學術(shù)會議上柯西提出了級數(shù)收斂理論，會后，拉普 拉斯急忙回家，關(guān)起門來，避不見人，直到將他所發(fā)表和 未發(fā)表的與級數(shù)有關(guān)的論文和著作全部檢查一遍，確認無 誤為止。,柯西一生撰寫的數(shù)學論著有800多種。他是19 個科學院 或著名學術(shù)團體的成員。1838年他還被授予男爵封號。他在 學術(shù)上的貢獻涉及到分析學、復變函數(shù)論、彈性力學、微分 方程、群論、行列式、數(shù)論、解析幾何、數(shù)值分析、微分幾 何、光學、天體力學等學科或?qū)W科分支。 柯西一生最大的錯誤是“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學家 伽羅華與阿貝爾的開創(chuàng)性的論文手稿，致使群論晚問世近半 個世紀。 1857年5月23日柯西病逝于巴黎。他的臨終遺言： “人總是要死的，但他們的業(yè)績永存。”,二、無窮小量與無窮大量,1. 無窮小量,對數(shù)列極限的描述, 實際上, 就是對整序變量,極限的描述.,(1) 無窮小量的定義,無窮小量描述的是變量的變化趨勢, 不是指一個很小的數(shù).,無窮小量描述的是變量的變化趨勢, 不是指一個很小的數(shù).,(2) 無窮小量的運算性質(zhì),(推廣：常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.),證,其它性質(zhì)可仿此進行證明.,2. 無窮大量,首先要注意到是, 無窮大量與無窮小量一樣, 無窮大量不是指的一個很大的數(shù),也是描述的變量 的變化趨勢.,(1) 無窮大量的定義,定義無窮大量時, 用的是絕對值,去掉絕對值符號, 則可以定義正無窮大量和負無窮大量.,去掉絕對值符號 會怎么樣？,無窮大量描述的是變量的變化趨勢, 不是指一個很大的數(shù).,由無窮大量與無界量的定義是否可得出:,無窮大量一定是無界量, 反之,無界量一定是無窮大量?,無窮大量一定是無界量. 無界量不一定是無窮大量.,(2) 無窮小量與無窮大量的關(guān)系,無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)關(guān)系？,分母不能為零,利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系 可以將一些無窮大量的運算歸結(jié)為相 應(yīng)的無窮小量運算, 并可得到有關(guān)無 窮大量的運算性質(zhì).,利用這里提供的數(shù)列可以得出上面的結(jié)論.,(3) 無窮大量的運算性質(zhì),請同學自己證明.,(1) 無窮小量與極限的關(guān)系,上述過程顯然可以反推過去, 于是就可得出,下面的重要定理：,三、極限的運算,定理怎么寫？,或?qū)憺?(2) 數(shù)列 (整序變量 ) 極限的運算,證,由無窮小量的運算性質(zhì), 可得到,其余的證明由學生自己完成,解,由于兩個無窮大量的差不一定是無窮大, 所以,進行變形處理：,部分分式法,解,解,類似該例的做法,還可以得到下列結(jié)果:,解,解,四、施篤茲(O.Stolz)定理及其應(yīng)用,運用施篤茲定理計算數(shù)列的極限, 往往會使問題變得十分簡單.,施篤茲定理:,解,由施篤茲定理, 令,則,由此, 利用對數(shù)函數(shù)可得出例12的幾何平均的極限.,展開后得,算數(shù)平均值,算數(shù)平均值,剩下的問題請同學自己解決。,