無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器設(shè)計(中).ppt

二、雙線性變換法 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步： 第一步：將整個S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； 第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。,為了將S平面的j軸壓縮到S1平面j1軸上的/T到/T 一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：,這里C是待定常數(shù)，下面會講到用不同的方法確定C，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字源波器的頻率特性在不同頻率點 有對應(yīng)關(guān)系。 經(jīng)過這樣的頻率變換， 當(dāng)由 時, 1由-/T經(jīng)過變化到/T ，即S平面的整個j軸被壓縮到S1平面的2/T 一段。,通常取C=2/T,考慮z = ej,再將 S1 平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，即令,將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個S平面，則得到 S平面到S1平面的映射關(guān)系：,最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系： 雙線性變換法的主要優(yōu)點是S平面與Z平面一一單值對應(yīng)，S平面的虛軸(整個j)對應(yīng)于Z平面 單位圓的一周，S平面的=0處對應(yīng)于Z平面的=0處，對應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折疊頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。,現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始提出的由模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器時，從 S平面到Z平面映射變換的二個基本要求： 當(dāng) 時，得：,對單位圓 , 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。,時,即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。如圖1。 圖 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系,小結(jié),1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點：S平 面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到的），即整個j軸單值的對應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為： 可見，和為非線性關(guān)系，如圖2。,圖2 雙線性變換的頻率非線性關(guān)系 由圖中看到，在零頻率附近，接近于線性關(guān)系，進(jìn)一步增加時，增長變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線性變換不會出現(xiàn)由于高頻部 分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,2)雙線性變換缺點： 與成非線性關(guān)系，導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。 例如，一個模擬微分器，它的幅度與頻率是直線關(guān)系，但通過雙線性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器,b. 線性相位模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線性相位。 c.要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的，故雙線性變換只能用于設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。,雖然雙線性變換有這樣的缺點，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計工具。這是因為大多數(shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們在通帶內(nèi)要求逼近一個衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個衰減為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過雙線性變換后，雖然頻率發(fā)生了非線性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。,例如，一個考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點、谷點頻率等臨界頻率點發(fā)生了非線性變化，即畸變。這種頻率點的畸變可以通過預(yù)畸來加以校正。,預(yù)畸變：,即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過雙線性變換后正好映射到所需要的頻率上。 利用關(guān)系式： 將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點 ，變換成對應(yīng)的模擬域頻率 ，利用此 設(shè)計模擬濾波器，再通過雙線性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是 。如圖所示。,雙線性變換時頻率的預(yù)畸,)計算H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計計算更直接和簡單。由于s與z之間的簡單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過程: 頻響： ,這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時域瞬態(tài)響應(yīng)時，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對于IIR的設(shè)計，大多采用雙線性變換。,3.2 常用模擬低通濾波器特性,為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計方法，高通、帶通 、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設(shè)計就是根據(jù)一組設(shè)計規(guī)范設(shè)計模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器特性。 因果系統(tǒng)中 式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實函數(shù)。 不難看出,定義振幅平方函數(shù) 式中 Ha(s)模擬濾波器 系統(tǒng)函數(shù) Ha(j)濾波器的頻率響應(yīng) |Ha(j)|濾波器的幅頻響應(yīng) 又 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j,問題：由A(-S2)Ha(S) 對于給定的A(-S2)，先在S復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點和零點，由(1)式知，A(-S2)的極點和零點總是“成對出現(xiàn)”，且對稱于S平面的實軸和虛軸，選用A(-S2)的對稱極、零點的任一半作為Ha(s)的極、零點，則可得到Ha(s)。 為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點作為Ha(s)的極點，零點可選用任一半。,N為濾波器階數(shù)， 如圖1,其幅度平方函數(shù)：,特點：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f，幅頻特 性 單調(diào)。,三種模擬低通濾波器的設(shè)計： 1）巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器) (巴特沃茲逼近),圖1 巴特沃茲濾波器 振幅平方函數(shù),通帶: 使信號通過的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過的頻帶 過渡帶：通帶到阻帶間過渡的頻率范圍 c ：通帶邊界頻率。 過渡帶為零， 阻帶|H(j)|=0 通帶內(nèi)幅度|H(j)|=const.， H(j)的相位是線性的。,理想濾波器,圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過渡帶越陡。 在過渡帶內(nèi)，階次為的巴特沃茲濾波器的幅度響應(yīng)趨于斜率為-6NdB/倍頻程的漸近線。 通帶內(nèi)，分母/c1， ( /c)2N 1, 增加， A(2)快速減小。 =c, ， ,幅度衰減 ，相當(dāng) 于3dB衰減點。,振幅平方函數(shù)的極點： 令分母為零，得 可見，Butterworth濾波器 的振幅平方函數(shù)有2N個極點，它們均勻?qū)ΨQ地分布在|S|=c的圓周上。 例：為N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點分布，如圖。,圖2 三階A(-S2)的極點分布,考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點（SP3，SP4，SP5）組成的，它們分別為： 系統(tǒng)函數(shù)為： 令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話，則有,MATLAB設(shè)計模擬Butterworth filter,例：設(shè)計滿足下列條件的模擬Butterworth低通濾波器 fp=1kHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dB,Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40; N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s); num,den = butter(N,Wc,s); omega = 0: 200: 12000*pi; h = freqs(num,den,omega); gain = 20*log10(abs(h); plot (omega/(2*pi),gain); xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);,0,1000,2000,3000,4000,5000,6000,-50,-40,-30,-20,-10,0,Frequency in Hz,G,a,i,n,i,n,d,B,N=4 Ap= 0.1098 dB As= 40.0000 dB,2）切比雪夫（chebyshev）濾波器 (切比雪夫多項式逼近) 特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下降很多，或者說，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式逼近所希望的 。 切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小?？筛鶕?jù)需要對通帶內(nèi)允許的衰減量（波動范圍）提出要求，如要求波動范圍小于1db。,振幅平方函數(shù)為,有效通帶截止頻率 與通帶波紋有關(guān)的參量， 大 ，波紋大。 0 < <1 VN（x）N階切比雪夫多項式，定義為,如圖1,通帶內(nèi) 變化范圍1 c ，隨/c ， 0 (迅速趨于零) 當(dāng) =0時， N為偶數(shù)， ，min ， N為奇數(shù)， ， max，,切比雪夫濾波器的振幅平方特性,給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求 。,有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率c ，預(yù)先給定 b、通帶波紋為,c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件確定。（ 、A事先給定）,MATLAB設(shè)計模擬type I Chebyshev filter,例：設(shè)計滿足下列條件的模擬CB I型低通濾波器,fp=1KHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dB,Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40; N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s); num,den = cheby1(N,Ap,Wc,s); omega=Wp Ws; h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2); omega = 0: 200: 12000*pi; h = freqs(num,den,omega); gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain); xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);,Ap= 1.0000 As= 47.8467,3、橢圓濾波器（考爾濾波器） 特點：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對于給定的階數(shù)和給定的波紋要求，橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬，就這點而言，橢圓濾波器是最優(yōu)的。 其振幅平方函數(shù)為 RN（，L）雅可比橢圓函數(shù) L表示波紋性質(zhì)的參量,N=5， 的特性曲線 可見，在歸一化通帶內(nèi)（-11）， 在（0，1）間振蕩，而超過L后， 在 間振蕩。 這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。,下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數(shù) 橢圓濾波器的振幅平方函數(shù) 圖中和A的定義 同切比雪夫濾波器,r,r,當(dāng)c、r、和A確定后，階次N的確定方法為：,式中,為第一類完全橢圓積分,MATLAB設(shè)計橢圓低通濾波器,N,Wc=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,s) 確定橢圓濾波器的階數(shù)N。Wc=Wp。 num,den=ellip(N,Ap,As,Wc,s) 確定階數(shù)為N，通帶參衰減為Ap dB，阻帶衰減為As dB的橢圓濾波器的分子和分母多項式。Wc是橢圓濾波器的通帶截頻。,上面討論了三種最常用的模擬低通濾波器的特性和設(shè)計方法，設(shè)計時按照指標(biāo)要求，合理選用。 一般，相同指標(biāo)下，橢圓濾波器階次最低，切比雪夫次之，巴特沃茲最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。 以上討論了由A（2 ）Ha (s),下面討論由Ha(s)H(Z)的變換設(shè)計法。,