自動(dòng)控制根軌跡ppt課件

第四章 根軌跡法,4-2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則,4-3 廣義根軌跡,4-4 滯后系統(tǒng)的根軌跡,4-1 根軌跡的基本概念,4-5 利用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能,4-6 用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡,1,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)在S平面上分布的位置有關(guān)。 決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在S平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。 為此目的，依萬(wàn)斯（W.R.EVans）在1984年提出了根軌跡法，令開(kāi)環(huán)函數(shù)的一個(gè)參數(shù)開(kāi)環(huán)增益（或另一個(gè)感興趣的參數(shù)）從0變化到，與此對(duì)應(yīng)，特征方程的根，便在S平面上描出一條軌跡，稱(chēng)這條軌跡為根軌跡。 根軌跡法是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。,2,二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng) 分為：二階無(wú)阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過(guò)阻尼系統(tǒng) 其阻尼比、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下圖所示：,3,§4-1 根軌跡的基本概念,一舉例說(shuō)明根軌跡的概念 特征方程 的根為,4,令開(kāi)環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對(duì)應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在S平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著值的增加，根軌跡的變化趨勢(shì)。,§根軌跡的基本概念,當(dāng)K=0時(shí)，S1=0，S2=-1,-1,j,5,§根軌跡的基本概念,從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息: 1、穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半S平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)所有的值都是穩(wěn)定的。 2、穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以是型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。,-1,j,6,3、暫態(tài)性能 （1）當(dāng)0K 0.25時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)是過(guò)阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過(guò)程。,（2）當(dāng)K0.25時(shí)，兩特征根重合，均為-0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。,（3）當(dāng)K0.25時(shí)，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程。,-1,j,7,由以上分析得知：,8,二繪制系統(tǒng)根軌跡的依據(jù),圖示系統(tǒng)的特征方程,繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫(xiě)為,開(kāi)環(huán)傳函,是復(fù)變量的函數(shù)，根據(jù)上式兩邊的幅 值和相角分別相等的條件，可以得到,9,這就是滿(mǎn)足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統(tǒng)根軌跡的重要依據(jù)。 現(xiàn)進(jìn)一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉(zhuǎn)換成實(shí)用的形式。,10,此時(shí)，幅值條件和相角條件可寫(xiě)成,開(kāi)環(huán)零點(diǎn)； 開(kāi)環(huán)極點(diǎn),注意這個(gè)形式和求穩(wěn)態(tài)誤差的式子不同，需變換成這種形式。,將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫(xiě)成下列標(biāo)準(zhǔn)的因子式,11,§根軌跡的基本概念,三根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點(diǎn),設(shè)某一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)如圖，在平面中的任意一點(diǎn) S0 ，用相角條件可以判斷 S0 是不是根軌跡的點(diǎn)。,1、從 S0 到各零極點(diǎn)連直線,2、用量角器量 ，等各個(gè)角,3、將量好的值代入（）式，若等式成立，則 S0 就是根軌跡上的點(diǎn),12,§根軌跡的基本概念,不滿(mǎn)足，故 S0 不是根軌跡上的點(diǎn)。,在繪制根軌跡時(shí)，在感興趣的區(qū)段，要比較細(xì)致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個(gè)根軌跡上的點(diǎn)。允許有一定的誤差，比如±°。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫(huà)出來(lái)。,繪制根軌跡圖時(shí)，平面虛軸和實(shí)軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致。,13,§4-2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,繪制根軌跡的基本規(guī)則實(shí)際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。,一根軌跡的對(duì)稱(chēng)性,實(shí)際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其特征根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此，根軌跡對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸。,二根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn),根軌跡的起點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 時(shí)特征根在S平面上的分布位置，而根軌跡的終點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于 時(shí)，特征根在S平面上的分布位置。,14,幅值條件改寫(xiě),當(dāng) ，必有S= ，即起點(diǎn)是開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。 當(dāng) ，必有S= ，即終點(diǎn)是開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。,但在控制系統(tǒng)中，總有nm，所以根軌跡從n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)處起始，到m個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的n-m條根軌跡將趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處。 舉例如題， ，起點(diǎn)：0、-1，無(wú)零點(diǎn)， n=2，m=0，n-m=2，有兩條根軌跡,-1,j,15,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,三根軌跡的分支數(shù),根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。,四實(shí)軸上的根軌跡,在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。,設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。為在實(shí)軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在 和 之間任選一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn) 。,16,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,1、共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到 的幅角之和為0°，相互抵消，因此開(kāi)環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上根軌跡的位置沒(méi)有影響，僅取決于實(shí)軸上的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)。 2、若實(shí)軸上的某一段是根軌跡，一定滿(mǎn)足相角條件。試驗(yàn)點(diǎn)左側(cè)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角為0°,而右側(cè)的相角為180°。 點(diǎn)滿(mǎn)足相角條件，所以 之間是根軌跡。,17,例4-1：,（單位反饋）, 有三個(gè)極點(diǎn)， 根軌跡有三條分支,j, n=3, m=2 有3-2=1條根軌跡， 2條終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。,在實(shí)軸上不同段上取試驗(yàn)點(diǎn),18,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,五根軌跡的漸近線,1、根軌跡中（n-m）條趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的 傾角為,，（n-m-1),當(dāng) 時(shí)，求得的漸近線傾角最??；,增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有(n-m)條,19,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,2、漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn),漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即 必為實(shí)數(shù)。在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可。,20,例4-2,求根軌跡,解：在平面中確定開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的位置。,j,確定實(shí)軸上的根軌跡。,n=3,m=0,應(yīng)有三個(gè)分支，并且都趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。,確定漸近線的位置,21,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,六、分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn),兩條根軌跡分支在S平面上某一點(diǎn)相遇，然后又立即分開(kāi)的點(diǎn)，稱(chēng)根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。它對(duì)應(yīng)于特征方程中的二重根（如例4-2，實(shí)軸上的根軌跡要從某一點(diǎn)分開(kāi)，然后沿漸近線方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，把分離點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)， 分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù) 常見(jiàn)的分離點(diǎn)或或會(huì)合點(diǎn)位于實(shí)軸上。 求方程式 的根，可以確定分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。,22,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,例4-2，求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。 系統(tǒng)的特征方程為 或,上式的根,因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在0至-1之間，故 為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄,用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：,23,七、根軌跡與虛軸的交點(diǎn),當(dāng) 增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過(guò)虛軸，進(jìn)入右半S平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開(kāi)環(huán)增益 。 在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)?？梢杂?代入特征方程求解，或者利用勞斯判據(jù)確定。,24,續(xù)例4-2，將 代入特征方程。,當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根 ，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,25,在確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢(shì)知道了，為了能較精確的畫(huà)出根軌跡，需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，使其滿(mǎn)足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線。,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,26,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,八、根軌跡的出射角和入射角,當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）。 根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角稱(chēng)為出射角。出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)時(shí)的走向。,開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處，根軌跡的入射角為,式中,即 為其它開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供的相角,開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處，根軌跡的出射角為,27,§繪制根軌跡的基本規(guī)則,求從 出發(fā)根軌跡的出射角。,用量角器量后，得 ， 在圖上標(biāo)出 。 的出射角和 對(duì)稱(chēng)。,28,根軌跡繪制舉例,例1.具有一個(gè)零點(diǎn)和3個(gè)實(shí)極點(diǎn)的三階系統(tǒng)的根軌跡。,設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,解：,把開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化為零、極點(diǎn)形式,29,1.根軌跡有3條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)0、0、-1/T，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-1/及無(wú)窮遠(yuǎn)處。,2.根軌跡在實(shí)軸上的分布為 -1/T，-1/ 。,3.根軌跡有n-m=2條漸近線，,30,例2.具有一對(duì)開(kāi)環(huán)復(fù)根和一個(gè)開(kāi)環(huán)實(shí)零點(diǎn)的四階系統(tǒng)的根軌跡。,設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,解：,1.根軌跡有4條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn) 0、 -3、 -1+j、-1-j，終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)-2及無(wú)窮遠(yuǎn)處。,2.根軌跡在實(shí)軸上的分布為(-,-3和-2，0。,31,3.根軌跡有n-m=3條漸近線，,4.極點(diǎn)-1+j的出射角為-26.6o 極點(diǎn)-1-j的出射角為+26.6o,32,5.根軌跡與虛軸的交點(diǎn),系統(tǒng)特征方程為,把s=j代入上式可解得,即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ，相應(yīng)的根軌跡 增益為Kgc=7 。,33,34,§4-3 廣義根軌跡,其它種類(lèi)的根軌跡:,3.正反饋回路和零度根軌跡,2.多回路系統(tǒng)的根軌跡,1.參數(shù)根軌跡,35,在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，除了根軌跡增益Kg外，還常常要分析其它參數(shù)變化時(shí)對(duì)閉環(huán)特征根的影響。比如，特殊的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)，校正環(huán)節(jié)的參數(shù)等。,除Kg以外的其它參數(shù)變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的軌跡，就是參數(shù)根軌跡。,繪制方法：用特征方程中不含可變參數(shù)的部分去除特征方程，得到等效的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，使參變量的位置與Kg 的位置相當(dāng)。,一、參數(shù)根軌跡,36,例1.一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示，試用根軌跡法分析其反饋系數(shù) Kf 對(duì)系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。,解：,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,特征方程為,37,等效開(kāi)環(huán)傳函,1. 根軌跡有兩條分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)-1+j3、 -1-j3 ， 終點(diǎn)為開(kāi)環(huán)零點(diǎn)0及無(wú)窮遠(yuǎn)處。,2. 根軌跡在實(shí)軸上的分布為(-,0 。,3.求分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。,s1=-3.16為會(huì)合點(diǎn)，相應(yīng)的Kf =0.432 s1=+3.16不在根軌跡上，舍去。,38,4. 求極點(diǎn)p1= 1+j3處的出射角,由對(duì)稱(chēng)性可知 p2=-1-j3處的出射角為,以Kf為參變量的根軌跡如圖所示。,等效開(kāi)環(huán)傳函,39,等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,分析：,Kf為任何值系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。,當(dāng)Kf0.432時(shí)，系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)根，階躍響應(yīng)為欠阻尼情況，且Kf越小，阻尼比越??；,當(dāng)Kf=0.432時(shí)，系統(tǒng)有二重根，階躍響應(yīng)為臨界阻尼情況；,當(dāng)Kf 0.432時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，階躍響應(yīng)為過(guò)阻尼情況。,40,等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,分析：,用幅值條件可求得相應(yīng)的Kf 值。,求 時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)及Kf 值。,作 的射線與根軌跡的交點(diǎn)即為所求閉環(huán)極點(diǎn)。,41,二、多回路系統(tǒng)的根軌跡,根軌跡不僅適合于單回路,也適用于多回路。,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),系統(tǒng)特征方程,以為參數(shù),42,43,研究以Kc 為變量的根軌跡,系統(tǒng)有兩個(gè)環(huán)，內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)就是外環(huán)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)！,1）繪制內(nèi)環(huán)的根軌跡圖,內(nèi)環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則繪制出以Kf為參數(shù)的內(nèi)環(huán)根軌跡圖,44,45,2)確定內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn),要求內(nèi)環(huán)的反饋系數(shù) 3.2Kf3.5,內(nèi)環(huán)的特征方程,在實(shí)軸上選取試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試探，P1=-1.6時(shí)，Kf =3.36,3)繪制外環(huán)的根軌跡圖,外環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),可求得內(nèi)環(huán)的另外兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為,46,47,1、局部正反饋系統(tǒng)的框圖,正反饋回路的閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程,三、正反饋回路和零度根軌跡,48,幅值條件,相角條件,特征方程,對(duì)于正反饋回路： 相角條件為 ， 因此通常也稱(chēng)為零度根軌跡。,49,繪制正反饋回路根軌跡的基本規(guī)則：,（1）根軌跡的分支數(shù) (相同) （2）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) (相同) （3）根軌跡的對(duì)稱(chēng)性 (相同),（4）實(shí)鈾上的根軌跡： 實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開(kāi)環(huán)實(shí)數(shù)零、 極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。,（5）根軌跡的漸近線： 根軌跡漸近線與實(shí)袖的交點(diǎn) (相同) 根軌跡漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為,50,（6）根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn) (相同),（7）根軌跡的出射角和入射角,（8）根軌跡與虛軸的交點(diǎn) (相同) （9）閉環(huán)極點(diǎn)的和 (相同),51,例：控制系統(tǒng)方框圖如下所示,系統(tǒng)的內(nèi)環(huán)為正反饋，繪制內(nèi)環(huán)根軌跡圖。,解：,（1）內(nèi)環(huán)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),（3）實(shí)軸上的根軌跡,（2）根軌跡的起點(diǎn) 0，-1，-3 終點(diǎn) 均為,52,（4）根軌跡的漸近線,（6）根軌跡的分離點(diǎn),特征方程,53,54,在自動(dòng)控制系統(tǒng)中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)純時(shí)間滯后現(xiàn)象,滯后環(huán)節(jié)的存在使系統(tǒng)的根軌跡具有一定的特殊性，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)帶來(lái)不利的影響。,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),特征方程,這是一個(gè)超越方程，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根不再是有限個(gè)，而是無(wú)限多個(gè)，這是滯后系統(tǒng)的重要特征。,§ 4-4 滯后系統(tǒng)的根軌跡,55,滯后系統(tǒng)根軌跡繪制條件,滯后系統(tǒng)根軌跡方程,滯后系統(tǒng)特征方程,56,幅值條件,相角條件,滯后系統(tǒng)根軌跡方程,57,繪制滯后系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則：,（3）實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)開(kāi)環(huán)實(shí)零、 極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。,（1）滯后系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的并對(duì)稱(chēng)于實(shí)軸,（2）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn),起點(diǎn),終點(diǎn),58,（4）根軌跡的漸近線：,根軌跡漸近線有無(wú)數(shù)條，且平行于實(shí)軸,根軌跡漸近線僅與虛軸相交，交點(diǎn)為,（5）根軌跡的分離點(diǎn)：,59,（6）根軌跡的出射角和入射角：,（7）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：,60,例：設(shè)滯后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,要求繪制此系統(tǒng)的根軌跡圖。,繪制根軌跡的相角條件為,（1）根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn),起點(diǎn) - p1=-1 , =- 終點(diǎn) 趨于無(wú)窮遠(yuǎn),61,（2）實(shí)軸上的根軌跡（-，-1,（3）根軌跡的漸近線平行于實(shí)軸并與虛軸交于,（4）令k=0畫(huà)出主根軌跡,k=0 的根軌跡，稱(chēng)為主根軌跡,k=1、2、 的根軌跡，稱(chēng)為輔助根軌跡,作圖方法,62,63,系統(tǒng)中滯后環(huán)節(jié)的存在對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利影響,如果系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益較大,即使原來(lái)為一階的系統(tǒng)也可能變?yōu)椴环€(wěn)定系統(tǒng)。,說(shuō)明：,1、以近似式畫(huà)出的根軌跡圖與主根軌跡近似。,2、當(dāng)開(kāi)環(huán)增益較大時(shí)，近似方法誤差很大。,近似方法：,64,§ 4-5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能,一、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與暫態(tài)響應(yīng)的定性關(guān)系,對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)的基本要求是：系統(tǒng)要穩(wěn)定；暫態(tài)過(guò)程的快速性、平穩(wěn)性要好；穩(wěn)態(tài)誤差要小。,閉環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能的關(guān)系為：,1、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于s平面左半平面。,2、如果閉環(huán)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)，且無(wú)零點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為非振蕩的，響應(yīng)時(shí)間取決于距離虛軸最近的極點(diǎn)，若其它極點(diǎn)距離虛軸的距離比最近極點(diǎn)的距離大5倍以上，可以忽略不計(jì)。,65,3. 如果系統(tǒng)具有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)呈振蕩性質(zhì)，其超調(diào)量主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率,并與其它極點(diǎn)接近原點(diǎn)的程度有關(guān)，調(diào)整時(shí)間主要取決于主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部,66,4. 如果系統(tǒng)中存在非常接近的零點(diǎn)和極點(diǎn)，其相互距離比其本身的模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則把這對(duì)閉環(huán)零、極點(diǎn)稱(chēng)為偶極子。偶極子的位置距離原點(diǎn)非常近時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響一般需要考慮，但不會(huì)影響閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的主導(dǎo)作用。偶極子的位置距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，其對(duì)暫態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。,單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)相同，在設(shè)計(jì)時(shí)可以有意識(shí)地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn)，以抵消對(duì)暫態(tài)過(guò)程影響較大的不利的極點(diǎn)，使系統(tǒng)的暫態(tài)性能得到改善。,67,5. 除主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)外的其它實(shí)數(shù)極點(diǎn)的存在會(huì)增大系統(tǒng)的阻尼比，使響應(yīng)速度減慢，超調(diào)量減少。閉環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)的存在減小系統(tǒng)阻尼，使響應(yīng)速度加快，超調(diào)量增加。,68,二、附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,漸近線與實(shí)軸傾角隨著m數(shù)增大而增加,根軌跡向左方向彎曲,漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)隨著zc增大（zc點(diǎn)在實(shí)軸上向右移）而左移,提高了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中有時(shí)為改善系統(tǒng)的性能而增設(shè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，由此給根軌跡帶來(lái)明顯的改變。,69,例：一個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,分析附加一個(gè)零點(diǎn)-z 時(shí)系統(tǒng)根軌跡的變化,70,71,附加一個(gè)零點(diǎn)相當(dāng)于增加一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)，在實(shí)際中，能夠得到的比例微分作用的環(huán)節(jié)是比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的復(fù)合環(huán)節(jié)。,只要選取p5z，可以產(chǎn)生類(lèi)似附加單純零點(diǎn)的作用。,72,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)上附加極點(diǎn),降低了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,三、附加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響,73,增加開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的影響,74,如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位置已經(jīng)確定，適當(dāng)配置零點(diǎn)，可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生積極的影響。 實(shí)際上附加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)后，除了改變了閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的分布，而且也使閉環(huán)傳遞函數(shù)增加了零點(diǎn)，從而對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生影響。,四、穩(wěn)態(tài)性能分析,75,