浙江財(cái)經(jīng)大學(xué) 微積分 下冊(cè)總復(fù)習(xí)

下冊(cè)下冊(cè) 總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí)考試題型：考試題型：一、選擇題（一、選擇題（2分分*5=10分分）二、填空題（二、填空題（2分分*10=20分分）三、求積分（三、求積分（6分分*3=18分分）四、求偏導(dǎo)數(shù)（四、求偏導(dǎo)數(shù)（6分分*4=24分分）五、求解微分方程（五、求解微分方程（7分）分）六、求二重積分（六、求二重積分（7分）分）七、綜合應(yīng)用題（七、綜合應(yīng)用題（7分分*2=14分分）1、定積分的應(yīng)用（求面積，求體積）、定積分的應(yīng)用（求面積，求體積）2、最大利潤(rùn)（二元函數(shù)求極值）、最大利潤(rùn)（二元函數(shù)求極值）kdx)1Ckx2)x dx)1(11x13)dxxln|xCdxx211)4arctan xC215)1dxxarcsin xC6)cos xdx sin;xC7)sin xdx cos;xC28)cosdxx2sec xdx tan;xC29)sindxx2csc xdx cot;xC10)sectanxxdx sec;xC11)csc cotxxdx csc;xC12)xe dx;xeC13)xa dx;lnxaCa基本積分表：基本積分表：tanln|cos|;cotln|sin|xdxxCxdxxC secln|sectan|cscln|csccot|xdxxxCxdxxxC補(bǔ)充公式：補(bǔ)充公式：三、求積分（三、求積分（6分分*3=18分分）f(x)()f(x)()(xx dxdxFC1、第一換元法：湊微分（解決復(fù)合函數(shù)求第一換元法：湊微分（解決復(fù)合函數(shù)求積分）積分）湊內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)湊內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)湊內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)湊內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)()(),已已知知f x dxF xC51)(21)xdx5121(12()2)xxdx5()(2121)12 dxx6(21)12 xC153dxx 1(55)1353 xdxx1()535315dxx1ln|53|5xC32xx e dx 3(ln)xdxx 2.第二換元法：變量代換第二換元法：變量代換22(2)ax;sintax 可令可令22(3)ax可令可令;tantax 22(4)xa可令可令.sectax(1)axb可令可令=axbt5112)11dxx 221;1;(1)2txxtdxdttdt解：令解：令x=1,t=0;x=5,t=2時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)202=1tdtt 原式原式20=2111tdtt 201=2(1)1dtt 20=2(t-ln|1+t|)=2(2-ln3)12012).1dxx 令令tan,xt0 x 0,t1x ,4t 2sec,dxtdt原式原式40sectdt 40(ln|sectan|)tt ln(21).uvdxudvuvvdu3.分部積分：分部積分：1)cosxxdx2)sinxxdx3).xxe dx1)lnxxdx2)sinxarcxdx3)arctan.xxdx10(1)xxe dx 10 xxdxe 10 xxde ()()()()()|babbaav xvdu x v xdxu xu x 1100 xxexedx 1100 xxxee 1 11(2)lnexxdx 211ln2()1exxdx 1121ln2exdx 1112211(lnln)2eexxxdx 112111(ln)2eexxxdx 1212111(ln)22eexxx213 144 e 四、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分四、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1)arctan;yzdzx 求:求:(,)(,)xydzz x y dxz x y dy (2)();,yzf xyz x x求:z求:z(3)cos(),xyxyzexyzz 求求：(4)(,),xyxzf xyzzy 求求：(5);yxyzxz 求:（6）求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)z=f(x,y)的偏的偏導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)。sin zxyz Th1：由方程：由方程F(x,y)=0確定的函數(shù)確定的函數(shù)y=f(x)稱作隱函數(shù)，稱作隱函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為：其導(dǎo)函數(shù)為：()xyFfxF 隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)Th2：由方程：由方程F(x,y,z)=0確定的函數(shù)確定的函數(shù)z=f(x,y)稱作隱函數(shù)，稱作隱函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為：其導(dǎo)函數(shù)為：/,/xxzyyzzFFzFF (1)(1)求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)。的導(dǎo)函數(shù)。2yexy (2)求由方程求由方程 所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。sin zxyz 五、重積分的計(jì)算五、重積分的計(jì)算,bxa ).()(21xyx （1）X-型區(qū)域型區(qū)域D=(x,y)|.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf cyd,(y)x(y).12D=(x,y)|d(y)c(y)Df(x,y)ddyf(x,y)dx.21（2）Y-型區(qū)域型區(qū)域所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域是是由由兩兩條條拋拋物物線線其其中中2,)1(xyxyDdyxD 解解積積分分區(qū)區(qū)域域下下圖圖所所示示 Ddyx 210 xxxdxydy dxyxxx23223dxxx)3232(41047 556 D解解 積分區(qū)域如下圖所示積分區(qū)域如下圖所示 Ddxyx)(22 yydxxyxdy22220)(dyxxyxyy22022323 2023)832419(dyyy203481412419yy 613.2,2,)()2(22所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域及及是由直線是由直線其中其中xyxyyDdxyxD yxoD六、微分方程計(jì)算六、微分方程計(jì)算 ydye sinxx=0,y=0dx求：的通解和滿足的特解。求：的通解和滿足的特解。（1）ydysinxdxe解：分離變量解：分離變量 ye dysinxdx兩邊同時(shí)積分兩邊同時(shí)積分 yecosxC ycosxeC即是方程的通解即是方程的通解x0,y0C0時(shí)，時(shí)，ycosxe0方程的特解為即方程的特解為即 g(y)dyf(x)dx dyyf()dxx形如形如作變量代換作變量代換 yxu,即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu duf(u)u.dxx即即可分離變量的方程可分離變量的方程（2）dyyytandxxx求：的通解。求：的通解。解：解：作變量代換作變量代換,xyu yxu,即即dyduux,xdxd代入原式代入原式duuxu tanu,dx dxcotudu;x 分分離離變變量量 dxcotudu;x ln|sinu|ln|x|lnC;sinucx 變量還原變量還原ysincxx n一階線性非齊次微分方程一階線性非齊次微分方程的通解為的通解為yP(x)yQ(x).P(x)dxP(x)dxye Q(x)edxC 1sinx(3)yyxx 求方程的通解。求方程的通解。解：解：,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 七、綜合應(yīng)用題七、綜合應(yīng)用題 1.求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。baAdx 上邊界下邊界上邊界下邊界 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周ydcAdy 右邊界左邊界右邊界左邊界2-bxaVdx 2 2外外邊邊界界內(nèi)內(nèi)邊邊界界.,)12xVxxyxy體積軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的此圖形繞圍成的圖形的面積；求由oxyxy 2yx120()Axxdx 解：解：12301()236xx12220()xVxxdx 13502()3515xx 2-bxaVdx2外邊界 內(nèi)邊界1x2x多元函數(shù)取極值的多元函數(shù)取極值的充分條件充分條件 定理定理(充分條件充分條件):設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰的某鄰域內(nèi)連續(xù)、存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)域內(nèi)連續(xù)、存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且且 00(,)0 xfxy ，00(,)0yfxy 00(,)xxfxyA，00(,)xyfxyB，00(,)yyfxyC（1）20BAC 20BAC （3）20BAC （2）練習(xí)練習(xí)p1p2q2 某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，銷售某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，銷售價(jià)分別為價(jià)分別為 和和 ，銷售量分別為，銷售量分別為 和和 ，需求需求函數(shù)分別為函數(shù)分別為 和和總成本函數(shù)為總成本函數(shù)為問：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，才能使其獲得總問：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，才能使其獲得總利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少？q1C(qq)123540q.p22100 05q.p11240 2練習(xí)解答練習(xí)解答L(p,p)R(p,p)C(p,p)121212p qp q(qq)11221235402211220 2320 05121395.pp.pp ppL.pL.p 12120 43200 1120由由(,).80 120p pp pp pAL.;BL;CL.1112220 400 1BAC.20 040(,)80 120是唯一極大值點(diǎn)是唯一極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)；也是最大值點(diǎn)；L(80,120)=605Ch6 微分方程微分方程2340(1)(y)(y)yxy 是是幾幾階階的的，線線性性非非線線性性的的微微分分方方程程。（二階非線性）（二階非線性）2ln x()yxy 求求微微分分方方程程的的通通解解。（分離變量）（分離變量）22yln xC Ch8 二重積分二重積分（1 1）求）求 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) Dzxfx,y d 2xyz,z解：解：xyz;z 202214D(x,y)|xy,(2 2)若若Dd 3（3）：交換積分順序：交換積分順序210 xxdxf(x,y)dy 10yydyf(x,y)dx Ch7多元函數(shù)微分多元函數(shù)微分222222,0(,)0,0 xyxyxyf x yxy (1 1)：在在(0 0,0 0)極限是否存在？函數(shù)是否連續(xù)？函數(shù)是否可導(dǎo)？極限是否存在？函數(shù)是否連續(xù)？函數(shù)是否可導(dǎo)？極限不存在；函數(shù)不連續(xù)；函數(shù)可導(dǎo)。極限不存在；函數(shù)不連續(xù)；函數(shù)可導(dǎo)。00000000(,)(,)(,)limlimxxxf xx yf xyzzxyxx 定義（分段函數(shù)在分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）定義（分段函數(shù)在分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）00000000(,)(,)(,)limlimyyyf xyyf xyzzxyyy 2(2)();,yxzfzy x x求:z求:z2(3)ln();,yzf x yz x x求:z求:z22(4)(,),xyzf xyx yzz 求求：(5)(,),xzzf xyx y 2 2求求：Ch5 定積分定積分(1)()aaf x dx ()badf x dxdx ()xaf t dt 00f(x)()()()xaf t dtf xaxb 2(2)(cos)xattdt 2x cos x()()()()()()()u xv xf t dtf u xu xf v xv x ln1(3)()xxf t dt 2111(ln)()()fxfxxx 2040sin0(4);()0limxxtdtx 12(5)(2)bafx dx 1222(f(b)f(a)220(6).(0)aax dxa .42a oxya00()(7)()2()()aaaf xf x dxf x dx f x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)為偶函數(shù)為偶函數(shù)3223cos(9)1xxxdxx 92 211111lnln,(ln),lneeeexdxxdxx dxdxx (8 8）比比較較大大小小，11.110pCCpdxxp 時(shí)時(shí)。一般地，當(dāng)時(shí)在一般地，當(dāng)時(shí)在收斂收斂，時(shí)發(fā)散。時(shí)發(fā)散。101,;1,.()bpadxpxpa 當(dāng)當(dāng)2 2.積積分分當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)義義斂斂廣廣發(fā)發(fā)散散收收1(9)(ln)kedxkxx 當(dāng) 為何值時(shí)收斂？當(dāng) 為何值時(shí)收斂？1111ln(ln)(ln)kkkeedxdxdtxxxt31(10)pdxpx 1 10 0取何值時(shí)，廣義積分收斂。取何值時(shí)，廣義積分收斂。120 31 133pp 時(shí)時(shí)，即即1112000111dxdxdxxxx (1 11 1)請(qǐng)請(qǐng)判判別別，的的斂斂散散性性。