有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器的設(shè)計(jì)方法--第三節(jié).ppt

4.3 頻率采樣法,工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接。 一、基本思想 使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。,內(nèi)插公式,關(guān)鍵點(diǎn)：求h(n)、H(z)及其頻率響應(yīng) 約束條件對(duì)H(k)的取值影響,二.設(shè)計(jì)方法,1）從頻域出發(fā)，對(duì)理想頻響加以等間隔采樣 ，并以此作為實(shí)際FIR的頻率特性的離散樣本，確定 2）通過(guò)IDFT，求有限長(zhǎng)序列h(n)，為 3）利用N個(gè)頻域的離散樣本H(k)，同樣求出H(z)及其頻響。,三、約束條件,為了設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)H(k)的約束。（表4.1）。 例如，要設(shè)計(jì)第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，則 幅度函數(shù)H()應(yīng)具有偶對(duì)稱性：,令 則 必須滿足偶對(duì)稱性： 而 必須取為：,同樣，若要設(shè)計(jì)第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的，,因此，Hk 也必須滿足奇對(duì)稱性： 相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。,四、逼近誤差,由 或 H(z)。 由上述設(shè)計(jì)過(guò)程得到的 與 的逼近程度 ，以及 與H（k）的關(guān)系？ 由,令 ，則,單位圓上的頻響為：,這是一個(gè)內(nèi)插公式。,式中 為內(nèi)插函數(shù) 令 則,內(nèi)插公式表明： 在每個(gè)采樣點(diǎn)上， 逼近誤差為零，頻響 嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等；,在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差小；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近， 會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。 N增大，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小。,圖 頻率采樣的響應(yīng),例3：設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字 LP 濾波器，其理想特性為 采樣點(diǎn)數(shù) N=33，要求線性相位。 解：根據(jù)P.142的表4.1，能設(shè)計(jì)低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。 即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關(guān)于偶對(duì)稱，也即 HK 偶對(duì)稱。 利用 HK 的對(duì)稱性,求2區(qū)間的頻響采樣值。,根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有33個(gè)取樣點(diǎn)，所以第k點(diǎn)對(duì) 應(yīng)頻率為 而截止頻率 0.5位于 之間 ，所以，k=08時(shí)，取樣值為1；根據(jù)對(duì)稱性， 故 k=2532時(shí)，取樣值也為1，因 k=33 為下一周期，所以0區(qū)間有9個(gè)值為 1的采樣點(diǎn)，2區(qū)間有8個(gè)值為 1 的采樣點(diǎn)，因此：,將 代入內(nèi)插公式，求H(ej)：,考慮到8<k<25時(shí) Hk=0，而其它k時(shí)，Hk=1,令 k=33-n，則,相應(yīng)地頻率響應(yīng)見圖4.12(b),從圖上可以看出，其過(guò)渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。 增大阻帶衰減三種方法： 1）加寬過(guò)渡帶寬，以犧牲過(guò)渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個(gè)過(guò)渡帶采樣點(diǎn)H9=H24=0.5，使過(guò)渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔4/33，重新計(jì)算的H(ej)見圖4.12(c)，其阻帶衰減增加到約 -40dB。,2）過(guò)渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì) 根據(jù)H(ej)的表達(dá)式，H(ej)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過(guò)渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過(guò)渡帶值）。 例如，本例中可以用簡(jiǎn)單的梯度搜索法來(lái)選擇H9、H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。,要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)到最大），可計(jì)算得H9=0.3904。對(duì)應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時(shí) 的阻帶衰減大大改善,衰減約-50dB。如果還要進(jìn)一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過(guò)渡區(qū)，添上第二個(gè)甚至第三個(gè)不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。,3）增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過(guò)渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值H18=H47=0.1065 , 這時(shí)得到的 H(ej)， 過(guò)渡帶為6/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。,N=65;k=0:(N-1)/2; Wm=2*pi*k./N; Ad(1:(N+1)/2)=1; %幅值 Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0; Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm); Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) ); %相位在取后半部分時(shí)的值要加共軛,幅度要偶對(duì)稱 h=real(ifft(Hd); w=linspace(0,pi-0.1,1000); H=freqz(h,1,w); plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;,例2、用頻率采樣法設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位低通濾波器，N=11，,，邊沿上設(shè)計(jì)一點(diǎn)過(guò)渡帶,試求各點(diǎn)采樣值H(k)。 解：N=11為奇數(shù)，只能是第一種類型濾波器。 頻率間隔為,，而,（在k=2,3之間）。 為保證通帶指標(biāo)取k=3,8為過(guò)渡點(diǎn)（因?yàn)楸仨殱M足,）。從而有,頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器函數(shù)： h=fir2(M,f,A) f和A分別是指定頻率及其預(yù)期的幅度響應(yīng) f在0,1，1相應(yīng)于奈奎斯特頻率，所以是除以pi,小結(jié)： 頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。 典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度； 缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。,