微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件06-第6講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法

一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第六講 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民,第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),本章學(xué)習(xí)要求：,第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),第五節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義,若級(jí)數(shù),則稱之為正項(xiàng)級(jí)數(shù).,定義,實(shí)質(zhì)上應(yīng)是非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù),2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件,正項(xiàng)級(jí)數(shù),Sn 有界.,定理,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的,單調(diào)有界的數(shù)列必有極限,理由,在某極限過程中有極限的量必界,級(jí)數(shù),是否收斂？,該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 又有,(n =1, 2, ),故 當(dāng)n 1 時(shí), 有,即其部分和數(shù)列 Sn 有界, 從而, 級(jí)數(shù),解,3. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法,且 0 un vn ( n = 1, 2, ),大收小收, 小發(fā)大發(fā).,記, 0 un vn (n = 1, 2, ), 0 Sn Gn,證 (1),證 (2),判斷級(jí)數(shù),的斂散性. ( 0 < x < 3 ),由于,又,由等比級(jí)數(shù)的斂散性可知：,原級(jí)數(shù)收斂.,解,討論 P 級(jí)數(shù),( p 0 ) 的斂散性.,當(dāng) p1時(shí), P 級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù):,它是發(fā)散的.,當(dāng) 0 < p < 1 時(shí), 有,由比較判別法, P 級(jí)數(shù)此時(shí)是發(fā)散的.,解,當(dāng) p 1 時(shí), 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 項(xiàng),而,對(duì) P 級(jí)數(shù)加括號(hào), 不影響其斂散性：,故當(dāng) p 1 時(shí), P 級(jí)數(shù)收斂.,綜上所述:,當(dāng) p 1 時(shí), P 級(jí)數(shù)收斂.,當(dāng) p 1 時(shí), P 級(jí)數(shù)發(fā)散.,4.比較判別法的極限形式,由于,( 0 < < + ),故 0, N 0, 當(dāng) n N 時(shí),不妨取,運(yùn)用比較判別法可知,具有相同的斂散性.,證(1),當(dāng) 0 < < + 時(shí),由于,( = 0 ),取 =1 時(shí), N 0, 當(dāng) n N 時(shí),故由比較判別法, 當(dāng) = 0 時(shí),證(2),由于,( = ), M 0 (不妨取 M 1) ,即,由比較判別法,證(3),故, N 0, 當(dāng) n N 時(shí),當(dāng) = 時(shí),0 vn < un,判別級(jí)數(shù),的斂散性 ( a 0 為常數(shù)).,因?yàn)?( 即 = 1 為常數(shù) ),又,是調(diào)和級(jí)數(shù), 它是發(fā)散的,發(fā)散.,解,原級(jí)數(shù),故,解,由比較判別法及 P 級(jí)數(shù)的收斂性可知：,5.達(dá)朗貝爾比值判別法,利用級(jí)數(shù)本身來進(jìn)行判別.,即 = x2 , 由達(dá)朗貝爾判別法：,解,需要討論 x 的取值范圍,綜上所述, 當(dāng) 0 1 時(shí), 原級(jí)數(shù)發(fā)散.,解,這是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù):,單調(diào)增加有上界,以 e 為極限.,由達(dá)朗貝爾比值判別法知該正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得,利用級(jí)數(shù)知識(shí)求某些數(shù)列得極限.,解,達(dá)朗貝爾( DAiember Jean Le Rond )是法 國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1717年11月生于巴黎， 1783年10月卒于巴黎。 達(dá)朗貝爾是私生子，出生后被母親遺棄在 巴黎一教堂附近，被一憲兵發(fā)現(xiàn)，臨時(shí)用該教 堂的名字作為嬰兒的名字。后被生父找回，寄 養(yǎng)在一工匠家里。,達(dá)朗貝爾少年時(shí)就讀于一個(gè)教會(huì)學(xué)校，對(duì)數(shù)學(xué)特別感興趣。 達(dá)朗貝爾沒有受過正規(guī)的大學(xué)教育，靠自學(xué)掌握了牛頓等大科 學(xué)家的著作。1741年24歲的達(dá)朗貝爾因研究工作出色進(jìn)入法國(guó) 科學(xué)院工作。1754年成為法國(guó)科學(xué)院終身院士。,達(dá)朗貝爾在力學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)等學(xué)科都有卓著的建樹。 達(dá)朗貝爾的研究工作偏向于應(yīng)用。1743年提出了被稱之為達(dá) 朗貝爾原理的 “作用于一個(gè)物體的外力與動(dòng)力的反作用之和 為零” 的研究結(jié)果。達(dá)朗貝爾建立了將動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為精 力學(xué)問題的一般方法。1747年在研究弦振動(dòng)問題時(shí)得到了一 維波動(dòng)方程的通解，被稱為達(dá)朗貝爾解。1752年首先用微分 方程表示場(chǎng)。 達(dá)朗貝爾終身未婚。1776年由于工作不順利，加之好友 勒皮納斯小姐去世，使他陷入極度悲傷和失望中。達(dá)朗貝爾 去世后，由于他反宗教的表現(xiàn)，巴黎市政府拒絕為他舉行葬 禮。,6. 柯西根值判別法,解,記,解,即,當(dāng) x a 時(shí),當(dāng) 0 < x < a 時(shí),當(dāng) x = a 時(shí), = 1, 但,故此時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散.,（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）,二. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性,交錯(cuò)級(jí)數(shù)是各項(xiàng)正負(fù)相間的一種級(jí)數(shù),或,其中, un 0 ( n = 1 , 2 , ).,它的一般形式為,定義,(萊布尼茲判別法),滿足條件:,(1),(2) un un+1 ( n =1, 2, ),則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂, 且其和 S 的值小于 u1 .,(級(jí)數(shù)收斂的必要條件),定理,若交錯(cuò)級(jí)數(shù),(單調(diào)減少),0 (由已知條件),證明的關(guān)鍵在于它的極限是否存在？,只需證級(jí)數(shù)部分和 Sn 當(dāng) n 時(shí)極限存在.,證,1) 取交錯(cuò)級(jí)前 2m 項(xiàng)之和,由條件 (2) ：,得 S2m 及,由極限存在準(zhǔn)則：,un un+1, un 0,2) 取交錯(cuò)級(jí)數(shù)的前 2m +1 項(xiàng)之和,由條件1) :,綜上所述, 有,討論級(jí)數(shù),的斂散性.,這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)：,又,由萊布尼茲判別法, 該級(jí)數(shù)是收斂.,解,解,由萊布尼茨判別法, 原級(jí)數(shù)收斂.,微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一,數(shù)學(xué)大師,萊布尼茨Friedrich. Leibniz (16461716年),萊布尼茨（Leibniz）,萊布尼茨 (16461716年) 是在建立微積分中唯一可以與 牛頓并列的科學(xué)家。他研究法律，在答辯了關(guān)于邏輯的論文 后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年以論文論組合的藝術(shù)獲 得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同時(shí)獲得該校的教授席位。,1671年，他制造了他的計(jì)算機(jī)。1672 年 3月作為梅因茲 的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪問使他同數(shù)學(xué)家和 科學(xué)家有了接觸，激起了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣?？梢哉f，在此之 前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。,1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他 更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入 各種政治活動(dòng)，但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè) 余生活的活動(dòng)范圍是龐大的。,除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史 學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù) 學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要工 作。雖然他的教授席位是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的 著作被列于世界上曾產(chǎn)生過的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保 持和人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（Ceylon）和中國(guó)。,他于1669年提議建立德國(guó)科學(xué)院，從事對(duì)人類有益的力學(xué) 中的發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn) （ 1700 年柏林科學(xué)院成 立）。,萊布尼茨從1684年開始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他 的思想的發(fā)展，實(shí)際上都包含在他從1673年起寫的，但從未發(fā) 表過的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從 一個(gè)課題跳到另一個(gè)課題，并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所 用的記號(hào)。有些是它在研究格雷戈里、費(fèi)馬、帕斯卡、巴羅的 書和文章時(shí)，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的方 式時(shí)所出現(xiàn)的簡(jiǎn)單思想。,1714年萊布尼茨寫了微分學(xué)的歷史和起源，在這本書 中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書的目 的是為了澄清當(dāng)時(shí)加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺地歪 曲了關(guān)于他的思想來源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都 揭示了一個(gè)最偉大的才智，怎樣為了達(dá)到理解和創(chuàng)造而奮斗。 特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識(shí)到，微分與積分 （看作是和）必定是相反的過程；1676 年 6月 23日的手稿中， 他意識(shí)到求切線的最好方法是求 dy/dx ，其中 dy， dx 是變量 的差，dy/dx 是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而 且意義深遠(yuǎn)，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸 好貝努利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工作。,1716年，他無聲無息地死去。,2.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性,(1) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)斂和條件收斂,定義,定理,( 即絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂 ),證, un | un |,從而,定理,(達(dá)朗貝爾判別法),解,由 P 級(jí)數(shù)的斂散性：,即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,記,解,由達(dá)朗貝爾判別法：,解,由調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性可知,但原級(jí)數(shù)是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù), 且滿足：,故原級(jí)數(shù)是條件收斂, 不是絕對(duì)收斂的.,由萊布尼茲判別法可知, 該交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂.,(2) 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1. 任意交換絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的位 置, 其斂散性不變, 其和也不變.,性質(zhì)2. 兩個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的積仍是一 個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù), 且其和等于 原來兩個(gè)級(jí)數(shù)的和之積.,(3) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)判別法,(狄利克雷判別法),定理,其中, M 0 為與 n 無關(guān)的常數(shù),單調(diào)遞減趨于零,部分和有界,其中, x 2k , kZ .,解,單調(diào)遞減趨于零,又,而 x 2k , kZ ,于是,且,故,