微積分學(xué)PPt標(biāo)準(zhǔn)課件29-第29講一元微積分應(yīng)用

一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）,第二十九講 一元微積分的應(yīng)用(二),腳本編寫：劉楚中,教案制作：劉楚中, 函數(shù)(曲線)的凹凸性、拐點(diǎn)、 函數(shù)圖形的描繪,第六章 一元微積分的應(yīng)用,本章學(xué)習(xí)要求： 熟練掌握求函數(shù)的極值、最大最小值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、判斷函數(shù)的凸凹性以及求函數(shù)拐點(diǎn)的方法。 能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、凸凹性證明不等式。 掌握建立與導(dǎo)數(shù)和微分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。能熟練求解相關(guān)變化率和最大、最小值的應(yīng)用問題。 知道平面曲線的弧微分、曲率和曲率半徑的概念，并能計(jì)算平面曲線的弧微分、曲率、曲率半徑和曲率中心。 掌握建立與定積分有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的方法。 熟練掌握“微分元素法”，能熟練運(yùn)用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積、平行截面面積為已知的幾何體的體積、平面曲線的弧長、變力作功、液體的壓力等。 能利用定積分定義式計(jì)算一些極限。,一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn),二、曲線的漸近線,三、函數(shù)圖形的描繪,第六章 一元微積分的應(yīng)用,第三節(jié) 曲線的凹凸性、 函數(shù)圖形的描繪,我們說一個(gè)函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù),所對(duì)應(yīng)的曲線的圖形嗎?,.,.,一、曲線的凹凸性、拐點(diǎn),它的圖形的形式不盡相同.,一般說來, 對(duì)于一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)的,圖形都存在一個(gè)需要判別弧段位于相應(yīng)的弦線,的“上方”或“下方”的問題 .,簡(jiǎn)單地說 , 在區(qū)間 I 上 :,曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方時(shí), 稱之為凸的;,曲線弧段位于相應(yīng)的弦線下方時(shí), 稱之為凹的.,定義,1. 曲線凹凸性的定義及其判別法,有何體會(huì)？,判別可微函數(shù)的凸凹性主要是對(duì),進(jìn)行比較.,有什么公式能把以上的函數(shù)值與函數(shù)的,二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢?,泰勒 公式,結(jié)論是正確的, 我們是利用函數(shù)的連續(xù),性將開區(qū)間內(nèi)的結(jié)論延伸到了閉區(qū)間上.,以上過程實(shí)際上證明了下面的判別曲線,凹凸性的一個(gè)方法.,定理,該函數(shù)的圖形 請(qǐng)自己繪出.,解,解,解,比較例3 和例4 , 發(fā)現(xiàn)使得曲線所對(duì),的分界點(diǎn) .,我們的興趣 , 因?yàn)樗赡苁乔€凹凸性,應(yīng)的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)引起了,連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度分界點(diǎn) , 稱為曲線的拐點(diǎn).,2. 曲線拐點(diǎn)的定義及判別法,定理,( 判別拐點(diǎn)的必要條件 ),定理,( 判別拐點(diǎn)的充分條件 ),根據(jù)拐點(diǎn)的定義立即可證明該定理 .,定理,( 判別拐點(diǎn)的充分條件 ),求拐點(diǎn)一般步驟,拐點(diǎn),拐點(diǎn),解,解,解,你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?,畫畫圖就能搞清楚.,中學(xué)就會(huì)求了.,若動(dòng)點(diǎn) P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無,限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí), 動(dòng)點(diǎn) P 到一直線 L 的距離,趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x ) 的一條,漸近線 .,二、曲線的漸近線,定義,水平漸近線,垂直漸近線,想想： 怎么求 a ,b ?,斜漸近線,解,解,曲線無水平漸近線,(函數(shù)間斷),曲線有斜漸近線嗎？,解,所以, 該曲線無水平漸近線和垂直漸近線 .,解,現(xiàn)在給定一個(gè)函數(shù) , 我們可以討論它的：,定義域、 值 域、 奇偶性、 有界性、,周期性、 連續(xù)性、 間斷點(diǎn)、 可微性、,單調(diào)性、 極 值、 最 值、 凹凸性、,拐 點(diǎn)、 漸近線、 零點(diǎn)位置 .,用極限討論函數(shù)的變化趨勢(shì) .,用泰勒公式將函數(shù)離散化 .,作函數(shù)圖形的一般步驟如下：,(1) 確定函數(shù)的定義域 , 觀察奇偶性、周期性 .,(2) 求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù) ,(3) 列表 , 確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點(diǎn) .,(4) 求曲線的漸近線 .,(5) 作出函數(shù)的圖形 .,三、函數(shù)圖形的描繪,確定極值可疑點(diǎn)和拐點(diǎn)可疑點(diǎn) .,解,極大,拐點(diǎn),曲線無水平漸近線 .,