有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

第7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì),7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.3 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.4 利用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器 7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,7.1 線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn),FIR濾波器具有線性相位的特性，它的幅度有特殊的對(duì)稱(chēng)性，零點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)也很特別。 1. 線性相位的條件 對(duì)于長(zhǎng)度為N的h(n)，傳輸函數(shù)為,式中，Hg()稱(chēng)為幅度特性，()稱(chēng)為相位特性。注意，這里Hg()不同于|H(ej)|, Hg()為的實(shí)函數(shù)，可能取負(fù)值，而|H(ej)|總是正值。H(ej)線性相位是指()是的線性函數(shù)，即 ()=-, 為常數(shù) (7.1.3) 如果()滿(mǎn)足下式也稱(chēng)為線性相位， ()=0-, 0是起始相位 (7.1.4) 嚴(yán)格地說(shuō)，此時(shí)()不具有線性相位。但以上兩種情況都滿(mǎn)足群時(shí)延是一個(gè)常數(shù)，即,所以?xún)煞N情況都稱(chēng)為線性相位。一般稱(chēng)滿(mǎn)足(7.1.3)式是第一類(lèi)線性相位；滿(mǎn)足(7.1.4)式為第二類(lèi)線性相位。 FIR濾波器具有第一類(lèi)線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2偶對(duì)稱(chēng)，即 h(n)=h(N-n-1) FIR濾波器具有第二類(lèi)線性相位的條件是：h(n)是實(shí)序列且對(duì)(N-1)/2奇對(duì)稱(chēng)，即 h(n)=-h(N-n-1) 2. 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn),3. 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類(lèi)和第二類(lèi)線性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿(mǎn)足(7.1.7)式和(7.1.10)式，綜合起來(lái)用下式表示：,圖7.1.1 線性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布,4. 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè)N為偶數(shù)，則有,令m=N-n-1,則有,如果N為奇數(shù)，則將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出， 從上面的公式可以看出，線性相位FIR濾波器比FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)節(jié)省乘法器近一半。線性相位濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖如下：,圖7.1.2 第一類(lèi)線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),圖7.1.3 第二類(lèi)線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),7.2 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器,設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器傳輸函數(shù)為Hd(ej)，hd(n)是它的單位脈沖響應(yīng)，因此 對(duì)于理想的低通濾波器，它的傳遞函數(shù)為,相應(yīng)的單位取樣響應(yīng)hd(n)為,為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(duì)(N-1)/2對(duì)稱(chēng)。設(shè)截取的一段用h(n)表示，即 h(n)=hd(n)RN(n),我們實(shí)際實(shí)現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應(yīng)為h(n),長(zhǎng)度為N，其系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，,圖7.2.1 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗,以上就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的思路。另外，我們知道Hd(e j)是一個(gè)以2為周期的函數(shù)，可以展為傅氏級(jí)數(shù)，即,根據(jù)復(fù)卷積定理，得到：,式中，Hd(e j)和RN(e j)分別是hd(n)和RN(n) 的傅里葉變換，即,RN()稱(chēng)為矩形窗的幅度函數(shù)；將Hd(ej)寫(xiě)成下式：,按照(7.2.1)式，理想低通濾波器的幅度特性Hd()為,將Hd(e j)和RN(e j)代入(7.2.4)式，得到：,將H(ej)寫(xiě)成下式： 其卷積結(jié)果用圖表示比較直觀。,圖7.2.2 矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響,通過(guò)以上分析可知，對(duì)hd(n)加矩形窗處理后，H()和原理想低通Hd()差別有以下兩點(diǎn)： (1)在理想特性不連續(xù)點(diǎn)=c附近H()有過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即4/N。 (2)通帶內(nèi)H()有波動(dòng)，最大的峰值在c-2/N處。阻帶內(nèi)H()有余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。,下面介紹幾種常用的窗函數(shù)。設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中w(n)表示窗函數(shù)。 1. 矩形窗(Rectangle Window) 2. 三角形窗(Bartlett Window) 3. 漢寧(Hanning)窗升余弦窗 4. 哈明(Hamming)窗改進(jìn)的升余弦窗 5. 布萊克曼(Blackman)窗,圖7.2.4 常用的窗函數(shù),圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性 (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗；(d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)哈明窗；(e)布萊克曼窗,下面介紹用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟。 (1)根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)hd(n)。如果給出待求濾波器的頻響為Hd(ej)，那么單位取樣響應(yīng)用下式求出：,(2)根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度N。設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 (3) 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n)， h(n)=hd(n)w(n) (4)驗(yàn)算技術(shù)指標(biāo)是否滿(mǎn)足要求。設(shè)計(jì)出的濾波器頻率響應(yīng)用下式計(jì)算：,例7.2.1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾波器，設(shè)N=11,c=0.2rad。 解： 用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有,用漢寧窗設(shè)計(jì)：,用布萊克曼窗設(shè)計(jì)： 它們的幅頻特性如圖 所示。,圖7.2.7 例7.2.1的低通幅度特性,7.5 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較,首先，從性能上來(lái)說(shuō)，IIR濾波器傳輸函數(shù)的極點(diǎn)可位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，所以經(jīng)濟(jì)而效率高。但是這個(gè)高效率是以相位的非線性為代價(jià)的。FIR濾波器可得到線性相位，階數(shù)較高。,從結(jié)構(gòu)上看，IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，極點(diǎn)位置必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 FIR濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)。 從設(shè)計(jì)工具看，IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有有效的封閉形式的設(shè)計(jì)公式可供準(zhǔn)確計(jì)算，計(jì)算工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。 FIR濾波器的沒(méi)有封閉形式的設(shè)計(jì)公式，較復(fù)雜。,