空間曲面與空間曲線

7.5 空間曲面與空間曲線,一 曲面方程的概念 二 曲線方程的概念 三 二次曲面的截痕法,1 曲面方程的定義,一 曲面方程的概念,解,根據(jù)題意有,所求方程為,例1 求與原點(diǎn),及,的距離之比為,的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.,根據(jù)題意有,化簡得所求方程,解,例2 已知,求線段,面的方程.,的垂直平分,（1）球面,根據(jù)題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為,2 幾種常見的曲面,(球面方程的標(biāo)準(zhǔn)式),將標(biāo)準(zhǔn)方程展開得,由此可見球面方程的特點(diǎn),(球面方程的一般式),球面方程又可表示為,定義,（2）柱面,并沿定曲線,平行于定直線,下面建立母線平行于,軸，準(zhǔn)線為,平面曲線,的柱面方程。,因此,從柱面方程看柱面的特征：,柱面舉例,定義,一條平面曲線繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.,（3）旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)軸,求由,平面曲線,繞,軸旋轉(zhuǎn)一周所得,的旋轉(zhuǎn)面方程。,設(shè)旋轉(zhuǎn)面上任意一點(diǎn),則,同理：,例3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程,旋轉(zhuǎn)雙曲面,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,繞,軸；,面上橢圓,面上直線,圓錐面,繞,軸；,（4）錐面,通過定點(diǎn),動(dòng)直線,沿定曲線,例4 建立以橢圓,為準(zhǔn)線，,坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面方程。,解,由,錐面方程為,橢圓錐面,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,1 空間曲線的一般方程,二 曲線方程的概念,例5 方程組,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,表示怎樣的曲線？,2 空間曲線的參數(shù)方程,取時(shí)間t為參數(shù)，,解,，記,即有,解,參數(shù)式方程為:,即,3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影.,例8 求曲線,解,在 面上的投影.,例9,解,半球面和錐面的交線為,一個(gè)圓面:,.,),(,3,4,2,2,2,2,面上的投影,求它在,錐面所圍成,和,由上半球面,設(shè)一個(gè)立體,xoy,y,x,z,y,x,z,+,=,-,-,=,三 二次曲面的截痕法,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之二次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,1 橢球面,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,球面,2 雙曲面,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,3 拋物面,（ 與 同號）,橢圓拋物面,（ 與 同號）,雙曲拋物面（馬鞍面）,