高中數(shù)學(xué)必修一《集合與函數(shù)》.doc

集合的概念與集合的表示 集合概 念把研究對(duì)象的總體稱(chēng)為集合，把研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素。元素的性質(zhì)（1）確定性；（2）互異性；（3）無(wú)序性表示方法列舉法元素不重復(fù)元素?zé)o順序元素間用“，”隔開(kāi)描述法寫(xiě)清楚集合中元素的代號(hào)，如xR|x>0，不能寫(xiě)成x>2；說(shuō)明該集合中元素的性質(zhì)；所有描述的內(nèi)容都寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)。元素與集合的關(guān)系一般地，用大寫(xiě)拉丁字母如A、B、C表示集合，用小寫(xiě)拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就說(shuō)a屬于集合A，記作aA；如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作aA。常用數(shù)集及其記法N為零和正整數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集，N*或N+為正整數(shù)組成的集合；Z為整數(shù)組成的集合；Q為有理數(shù)組成的集合，R為實(shí)數(shù)組成的集合。例題1 判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由。（1）R=R；（2）方程組的解集為x=1，y=2；（3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21；（4）平面內(nèi)線段MN的垂直平分線可表示為P|PM=PN。答案：（1）R=R是不正確的，R通常為R=x|x為實(shí)數(shù)，即R本身可表示為全體實(shí)數(shù)的集合，而R則表示含有一個(gè)字母R的集合，它不能為實(shí)數(shù)的集合。（2）方程組的解集為x=1，y=2是不對(duì)的，因?yàn)榻饧脑厥怯行驅(qū)崝?shù)對(duì)（x，y），正確答案應(yīng)為（x，y）|=（1，2）。（3）x|y=x21=y|y=x21=（x，y）|y=x21是不正確的。 x|y=x21表示的是函數(shù)自變量的集合，它可以為x|y=x21=x|xR=R。 y|y=x21表示的是函數(shù)因變量的集合，它可以為y|y=x21=y|y1。 （x，y）|y=x21表示點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)在二次函數(shù)y=x21的圖象上。（4）平面上線段MN的垂直平分線可表示為P|PM=PN，該命題是正確的。知識(shí)點(diǎn)撥：正確理解集合的表示方法對(duì)以后的學(xué)習(xí)有極大幫助。特殊數(shù)集用特定字母表示有特別規(guī)定，不能亂用；二元一次方程組的解集必須為（x，y）|的形式；對(duì)描述法表示的集合一定要認(rèn)清豎杠前面的元素是誰(shuí)，豎杠后其特征又是什么。例題2 已知a1，1，a2，則a的值為_(kāi)。答案：a1，1，a2， a可以等于1，1，a2。 （1）當(dāng)a=1時(shí)，集合則為1，1，1，不符合集合元素的互異性。故a1。 （2）同上，a=1時(shí)也不成立。 （3）a=a2時(shí)，得a=0或1，a=1不滿足，舍去，a=0時(shí)集合為1，1，0。 綜上，a=0。知識(shí)點(diǎn)撥：集合元素的互異性指集合中的元素必須互不相同，無(wú)序性指集合中的元素與順序無(wú)關(guān)。因此在處理元素為字母的集合問(wèn)題時(shí)，既要注意對(duì)字母進(jìn)行討論，又要自覺(jué)注意集合元素的互異性、確定性。隨堂練習(xí)：下列各組對(duì)象中不能構(gòu)成集合的是（ ）A. 高一（1）班全體女生 B. 高一（1）班全體學(xué)生的家長(zhǎng)C. 高一（1）班開(kāi)設(shè)的所有課程 D. 高一（1）班身高較高的男同學(xué)知識(shí)點(diǎn)撥：根據(jù)集合的概念進(jìn)行判斷。因?yàn)锳、B、C中所給對(duì)象都是確定的，從而可以構(gòu)成集合；而D中所給對(duì)象不確定，原因是找不到衡量學(xué)生身高較高的標(biāo)準(zhǔn)，故不能構(gòu)成集合。若將D中“身高較高的男同學(xué)”改為“身高175 cm以上的男同學(xué)”，則能構(gòu)成集合。答案：D 判斷某組對(duì)象是否為集合必須同時(shí)滿足三個(gè)特征：（1）確定性，（2）互異性，（3）無(wú)序性，特別是確定性比較難理解，是指元素和集合的關(guān)系是非常明確的，要么該元素屬于集合，要么該元素不屬于集合，而不是模棱兩可。例題 判斷以下對(duì)象能否組成集合。（1）高一（1）班的身高大于1.75 m的學(xué)生；（2）高一（1）班的高個(gè)子學(xué)生。答案：（1）高一（1）班中身高大于1.75 m的學(xué)生是確定的，因此身高大于1.75 m的學(xué)生可以組成集合。 （2）高一（1）班中的高個(gè)子學(xué)生沒(méi)有具體身高標(biāo)準(zhǔn)，因此高個(gè)子學(xué)生不能組成集合。（答題時(shí)間：15分鐘）1. 下列集合表示法正確的是（ ）A. 1，2，3，3B. 全體有理數(shù)C. 00D. 不等式x3>2的解集是x|x>52. 下列語(yǔ)句集合x(chóng)|0<x<1可以用列舉法表示；集合1，2，1含有三個(gè)元素；正整數(shù)集可以表示為1，2，3，4，；由1，2，3組成的集合可表示為1，2，3或3，2，1。正確的是（ ）A. 只有和 B. 只有和C. 只有 D. 只有和3. 集合1，3，5，7，9用描述法表示應(yīng)是（ ）A. x|x是不大于9的非負(fù)奇數(shù)B. x|x9，xNC. x|1x9，xND. x|0x9，xZ4. 下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（ ）A. x|x1 B. y|（y1）20C. x1 D. 15. 集合M（x，y）|xy<0，xR，yR是指（ ）A. 第一象限內(nèi)的點(diǎn)集B. 第三象限內(nèi)的點(diǎn)集C. 第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)集D. 第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集6. （x，y）|xy6，x，yN用列舉法表示為_(kāi)。1. D2. D 解析：表示無(wú)限集，不能一一列舉，故不正確；含有相同的元素，不正確；、正確。3. A4. C 解析：A、B、D三項(xiàng)表示的集合都是1，而C選項(xiàng)表示含有一個(gè)方程的集合。5. D 解析：xy<0表示x>0且y<0或x<0且y>0。因此集合M表示第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集。6. （0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）集合的運(yùn)算子 集真 子 集定 義對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱(chēng)集合A為集合B的子集若集合AB，但存在元素xB，且xA，稱(chēng)集合A是集合B的真子集符號(hào)語(yǔ)言若任意xA，有xB，則AB。若集合AB，但存在元素xB，且xA，則AB表示方法A為集合B的子集，記作AB或BA。A不是B的子集時(shí)，記作AB或BA。若集合A是集合B的真子集，記作AB或BA。性 質(zhì)AA AAB，BCACAB，且BCAC子集個(gè)數(shù)含n個(gè)元素的集合A的子集個(gè)數(shù)為含n個(gè)元素的集合A的真子集個(gè)數(shù)為1空 集不含任何元素的集合，記為?？占侨魏渭系淖蛹?，用符號(hào)語(yǔ)言表示為A；若A非空（即A），則有A。集合的運(yùn)算：1. 并集的概念（1）自然語(yǔ)言表示：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集。（2）符號(hào)語(yǔ)言表示：AB=x|xA，或xB。（3）圖形語(yǔ)言（Venn圖）表示：。2. 交集的概念（1）自然語(yǔ)言表示：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的交集。（2）符號(hào)語(yǔ)言表示：AB=x|xA，且xB。（3）圖形語(yǔ)言表示（Venn圖）：。3. 補(bǔ)集的概念（1）自然語(yǔ)言表示：對(duì)于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集。（2）符號(hào)語(yǔ)言表示：A=x|xU，且xA。（3）圖形語(yǔ)言表示（Venn圖）：，陰影部分表示A。例題1 判斷下列說(shuō)法是否正確，如果不正確，請(qǐng)加以改正。（1）表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）1，2，3不是3，2，1；（4）0，1的所有子集是0，1，0，1；（5）如果AB且AB，那么B必是A的真子集；（6）AB與BA不能同時(shí)成立。思路導(dǎo)航：對(duì)每個(gè)說(shuō)法按照相關(guān)的定義進(jìn)行分析，認(rèn)真地與定義中的要素進(jìn)行對(duì)比，即答案：（1）不正確。應(yīng)該改為：，表示這個(gè)集合的元素是。（2）不正確?？占侨魏畏强占系恼孀蛹?，也就是說(shuō)空集不能是它自身的真子集。這是因?yàn)榭占c空集相等，而兩個(gè)相等的集合不能說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的真子集。由此也發(fā)現(xiàn)了，如果一個(gè)集合是另一個(gè)集合的真子集，那么這兩個(gè)集合必不相等。（3）不正確。1，2，3與3，2，1表示同一集合。（4）不正確。0，1的所有子集是0，1，0，1，。（5）正確。（6）不正確。A=B時(shí)，AB與BA能同時(shí)成立知識(shí)點(diǎn)撥：結(jié)合本題，要注意以下幾點(diǎn)：（1）不表示空集，它表示以空集為元素的集合，所以（1）不正確?？占袑?zhuān)用的符號(hào)“”，不能寫(xiě)成，也不能寫(xiě)成 。（2）分析空集、子集、真子集的區(qū)別與聯(lián)系。（3）不正確。兩個(gè)集合是不是相同，要看其中一個(gè)集合的每個(gè)元素在另一個(gè)集合中是不是都有相同的元素與之對(duì)應(yīng)，而不必考慮各元素的順序。（4）不正確。注意到是每個(gè)集合的子集。所以這個(gè)說(shuō)法不正確。（5）正確。AB包括兩種情形：AB和A=B。（6）不正確。A=B時(shí)，AB與BA能同時(shí)成立。例題2 已知集合A=x|ax23x+2=0，aR，若A中元素至多只有一個(gè)，求a的取值范圍。知識(shí)點(diǎn)撥：對(duì)于方程ax23x+2=0，aR的解，要看這個(gè)方程左邊的二次項(xiàng)的系數(shù)，a=0或a0時(shí)，方程的根的情況是不一樣的。則集合A的元素也不相同，所以首先要分類(lèi)討論。答案：（1）a=0時(shí)，原方程為3x+2=0x=，符合題意；（2）a0時(shí)，方程ax23x+2=0為一元二次方程，=98a0a。當(dāng)a時(shí)，方程ax23x+2=0無(wú)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，這都符合題意。綜合（1）（2），知a=0或a。例題3 設(shè)集合Ax|xa|<1，xR，Bx|1<x<5，xR。若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. a|0a6 B. a|a2或a4C. a|a0或a6 D. a|2a4知識(shí)點(diǎn)撥：本題主要考查絕對(duì)值不等式的基本解法與集合交集的運(yùn)算，屬于中等題。由|xa|<1得1<xa<1，即a1<x<a1。AB可以分兩種情況來(lái)討論，一種是A集合在B集合的左邊，一種是A集合在B集合的右邊。如圖，由圖可知a11或a15，所以a0或a6。答案：C隨堂練習(xí)：滿足1，3A=1，3，5的所有集合A的個(gè)數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4知識(shí)點(diǎn)撥：根據(jù)AB的定義可知，集合1，3，5應(yīng)該是集合1，3和A的元素并在一起構(gòu)成的集合，所以A中必有元素5，且其他元素只能從1，3中選出一個(gè)或兩個(gè)或不選，因此A有四種可能：5，1，5，3，5，1，3，5。答案：D（答題時(shí)間：15分鐘）1. 集合A2，3，5，當(dāng)xA時(shí)，若x1A，x1A，則稱(chēng)x為A的一個(gè)“孤立元”，則A中孤立元的個(gè)數(shù)為_(kāi)個(gè)。2. 設(shè)5x|x2ax50，則集合x(chóng)|x24xa0中所有元素之和為_(kāi)。3. 用另一種方法表示下列集合。（1）絕對(duì)值小于2的整數(shù)；（2）能被3整除，且小于10的正數(shù)；（3）x|x|x|，x<5且xZ；（4）3，1，1，3，5。4. 下面三個(gè)集合x(chóng)|yx21；y|yx21；（x，y）|yx21。（1）它們是不是相同的集合？（2）它們各自的含義是什么？5. 已知M1，2，3，9，若aM且10aM，則集合M的個(gè)數(shù)為（ ）A. 29 B.30 C.32 D.316. 設(shè)集合SA0，A1，A2，A3，在S上定義運(yùn)算為:AiAjAk，其中k為i+j被4除的余數(shù)，i，j0，1，2，3，則滿足關(guān)系式（xx）A2A0的x（xS）的個(gè)數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 設(shè)全集I1，2，3，9，A，B是I的子集，若AB1，2，3，就稱(chēng)集對(duì)（A，B）為“好集”，那么所有“好集”的個(gè)數(shù)為（ ）A. 6！ B. 62 C. 26 D. 361. 1解析：當(dāng)x2時(shí)，x11A，x13A，2不是孤立元；當(dāng)x3時(shí)，x12A，x14A，3不是孤立元；當(dāng)x5時(shí)，x14A，x16A，5是孤立元。2. 2解析：5x|x2ax50，5是方程x2ax50的根。（5）25a50，a4。x24xa0即x24x40，x1x22。又集合中的元素是互異的，x|x24xa02。3. 解：（1）列舉法表示為1，0，1。（2）列舉法表示為3，6，9。（3）列舉法表示為0，1，2，3，4。（4）描述法表示為x|x2n1，1n3，nZ。4. 解：（1）是互不相同的集合。（2）集合x(chóng)|yx21的代表元素是x，滿足條件yx21中的xR，x|yx21R；集合y|yx21的代表元素是y，滿足條件yx21的y的取值范圍是y1。y|yx21y|y1；集合（x，y）|yx21的代表元素是（x，y），是滿足yx21的數(shù)對(duì)（x，y）的集合；也可以認(rèn)為是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)（x，y），由于這些點(diǎn)的坐標(biāo)滿足yx21，（x，y）|yx21拋物線yx21上的點(diǎn)。 5. D解析：由題意，知M且1與9，2與8，3與7，4與6這4組數(shù)都要滿足：每組數(shù)的某一個(gè)數(shù)在集合M中，這組數(shù)的另一個(gè)也必定在集合M中，所以集合M的個(gè)數(shù)為。6. B解析：本題考查學(xué)生閱讀理解能力與根據(jù)信息解決問(wèn)題的能力。xA0時(shí)，（xx）A2A2A0；xA1時(shí)，（xx）A2A2A2A0；xA2時(shí)，（xx）A2A0A2A2A0；xA3時(shí)，（xx）A2A2A2A0；所以選B。7. D 解析：要使AB1，2，3，必須滿足集合A，B中都含有元素1，2，3，且對(duì)全集中的其他6個(gè)元素中的每一個(gè)，要么在集合A中，要么在集合B中，或既不在A中也不在B中，于是這6個(gè)元素所在集合的不同情況有3×3×3×3×3×336種。而這6個(gè)元素所在集合的不同情況種數(shù)即為“好集”的個(gè)數(shù)。故選D。集合的應(yīng)用有關(guān)集合運(yùn)算的性質(zhì)（1）AB=BA；AA=A；A=A。（2）AB=BA；AA=A；A=。（3）（A）A=R；（A）A=；（A）=A。（4）AB=AAB；AB=BAB；AB=AAB=B。（5）（AB）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。例題1 設(shè)A、B、I均為非空集合，且滿足ABI，則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ） A. （A）B=I B. （A）（B）=I C. A（B）= D. （A）（B）=B答案：對(duì)A選項(xiàng)，（A）B=（A（B）=I； 對(duì)B選項(xiàng)，（A）（B）=（AB）=A； 對(duì)C選項(xiàng)，A（B）=（AB）=； 對(duì)D選項(xiàng)，（A）（B）=（AB）=B。 綜上所述，應(yīng)選B。知識(shí)點(diǎn)撥：（1）可根據(jù)題意畫(huà)出韋恩圖，借助于圖形的直觀性，對(duì)照選項(xiàng)A、B、C、D即可求解。（2）根據(jù)題意ABI構(gòu)造集合A、B、I，不妨設(shè)A=1，B=1，2，I=1，2，3，利用特殊值代入法可求解。（3）根據(jù)集合的反演律求解，即（AB）=（A）（B）；（AB）=（A）（B）。例題2 已知集合A=a，b，B=x|xA，C=x|xA，試判斷A、B、C之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)撥：B中元素x的取值來(lái)源于A，C中元素是A的子集。集合B中的代表元素是x，x滿足的條件是xA，因此x=a或x=b，即B=a，b=A，而集合C則不然，集合C的代表元素雖然也是x，但x代表的是集合，xA，因此，x=a或x=b或x=a，b或x=，即C=，a，b，a，b，此時(shí)集合C中的元素是集合，故BC，AC。A=B，BC，AC。答案：A=B，BC，AC。知識(shí)點(diǎn)撥：對(duì)于元素與集合、集合與集合之間的、關(guān)系要理解透徹，“”用于描述元素與集合之間的關(guān)系，即只要元素a是構(gòu)成集合A的一個(gè)元素，則aA，如1與1，2，盡管1是一個(gè)集合，但1是構(gòu)成集合1，2的一個(gè)元素，故11，2，“”用于描述集合與集合之間的關(guān)系，如1，2，31，2，3，4。例題3 某班舉行數(shù)理化競(jìng)賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，參加物理競(jìng)賽的有25人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有27人，其中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，參加物理、化學(xué)兩科的有7人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，畫(huà)出集合關(guān)系圖，并求出全班人數(shù)。思路導(dǎo)航：本題考查集合的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言，借助于韋恩圖的直觀性把它表示出來(lái)，再根據(jù)集合中元素的互異性求出問(wèn)題的解。設(shè)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合分別為A、B、C，由題意可知A、B、C三集合中元素的個(gè)數(shù)分別為27、25、27，AB、BC、AC、ABC的元素個(gè)數(shù)分別為10、7、11、4。畫(huà)出韋恩圖：可知全班人數(shù)為10+13+12+6+4+7+3=55（人）。答案： 全班人數(shù)55人。 點(diǎn)評(píng)：能正確使用一些集合符號(hào)把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，是我們把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，它實(shí)現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。 1. 解有關(guān)集合的交、并、補(bǔ)集時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式（韋恩圖或符合題設(shè)條件的集合A、B、I），并借助它認(rèn)識(shí)和解決原問(wèn)題，這種構(gòu)造法對(duì)解好選擇題有很大的幫助。2. 一般來(lái)說(shuō)，元素與集合之間應(yīng)該用“”或“”；而“，”應(yīng)該出現(xiàn)于集合與集合之間；作為特殊集合應(yīng)遵從A，A（非空）。但這不是絕對(duì)的，選擇的關(guān)鍵在于具體分析二者的關(guān)系。例1，21，2，1，而，1，1都是對(duì)的。（答題時(shí)間：15分鐘）1. 若A、B、C為三個(gè)集合，ABBC，則一定有（ ）A. AC B. CA C. AC D. A2. 若集合A1，2，x，4，Bx2，1，AB1，4，則滿足條件的實(shí)數(shù)x的值為（ ）A. 4 B. 2或2 C. 2 D. 23. 設(shè)集合S2，1，0，1，2，TxR|x+12，則（ST）等于（ ）A. B. 2 C. 1，2 D. 0，1，24. 設(shè)U為全集，M、P是U的兩個(gè)子集，且（M）PP，則MP等于（ ）A. M B. P C. P D. 5. 設(shè)集合Mx|xR且1x2，Nx|xR且|x|a，a0，若MN，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A. a1 B. a1 C. a2 D. a26. 設(shè)滿足y|x1|的點(diǎn)（x，y）的集合為A，滿足y|x|+2的點(diǎn)（x，y）的集合為B，則AB所表示圖形的面積是_。7. 設(shè)Ax|x2+4x0，Bx|x2+2（a+1）x+a210，若ABB，求a的值。1. A 解析：由ABBC，知ABB，ABC，ABC。故選A。2. C 解析：由AB1，4，Bx2，1，得x24，得x±2，又由于集合元素互異，x2。3. B 解析：由題意，知Tx|x1，ST2，1，0，1，（ST）2。4. D 解析：由（M）PP，知PM，于是PM。故選D。5. D 解析：Mx|1x2，Nx|xa或xa。若MN，則a1且a2，即a1且a2，綜上a2。6. 解析：畫(huà)出y|x1|及y|x|+2的圖象，則AB表示的圖形為矩形；由交點(diǎn)坐標(biāo)及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單計(jì)算即得。7. a1或a1。解：Ax|x2+4x00，4。（1）由ABB，得BA。B或B0或B4或B0，4。若B，則4（a+1）24（a21）0，則a1。若B0，則a1。若B4，則無(wú)解。若B0，4，則解得a1。所求a的范圍是a1或a1。函數(shù)概念及函數(shù)的表示函數(shù)的定義設(shè)A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：AB為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x）函數(shù)的三要素函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系，符號(hào)表示為f：AB，A為定義域，B為值域C的一個(gè)擴(kuò)集，（即C為B的子集）f為對(duì)應(yīng)關(guān)系y=f（x）的內(nèi)涵當(dāng)自變量為x時(shí)，經(jīng)過(guò)f對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f（x），即y=f（x）不一定有具體解析式兩個(gè)函數(shù)相等兩個(gè)函數(shù)的三要素相同定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域相同定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系相同例題1 下列對(duì)應(yīng)是從集合M到集合N的函數(shù)的是（ ）A. M=R，N=R，f：xy= B. M=R，N=R+（正實(shí)數(shù)組成的集合），f：xy=C. M=x|x0，N=R，f：xy2=xD. M=R，N=y|y0，f：xy=x2思路導(dǎo)航：本題主要考查函數(shù)的定義。A. 對(duì)于M中的元素1，N中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，故該對(duì)應(yīng)不是從M到N的函數(shù)。B. 對(duì)于M中任意值為負(fù)數(shù)的元素，N中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，該對(duì)應(yīng)f：MN不是函數(shù)。C. 對(duì)于M中的任一元素，如x=4，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f：xy2=x得到N中有兩個(gè)元素±2與之對(duì)應(yīng)，故f：xy2=x不是從M到N的函數(shù)。答案：D點(diǎn)評(píng)：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)法則是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵是看給出定義域內(nèi)的任意一個(gè)值，通過(guò)給出的對(duì)應(yīng)法則，看是否有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)。例題2 下列四組函數(shù)中，有相同圖象的一組是（ ）A. y=x1，y= B. y=，y=C. y=2，y= D. y=1，y=x0思路導(dǎo)航：A. y=x1與y=|x1|的對(duì)應(yīng)法則不同；B. y=的定義域?yàn)?，+），y=的定義域?yàn)椋?，+），兩函數(shù)的定義域不同；D. y=1的定義域?yàn)镽，y=x0的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），兩函數(shù)定義域不同；C. y=2與y=是兩相等的函數(shù)，所以圖象相同。選C。答案：C點(diǎn)評(píng)：1. 定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域分別相同的函數(shù)有相同的圖象，三要素中只要有一項(xiàng)不同，兩個(gè)函數(shù)就不相等。由于值域由定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系所確定，所以判斷函數(shù)是否相等，只要判斷定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同即可。2. 判斷對(duì)應(yīng)法則是否相同，可以化簡(jiǎn)以后再判斷，但是必須通過(guò)原函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域。例題3 如圖，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，其下底AB是O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上，梯形周長(zhǎng)y是否是腰長(zhǎng)x的函數(shù)？如果是，寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域。思路導(dǎo)航：判定兩個(gè)變量是否構(gòu)成函數(shù)，關(guān)鍵看兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義。該題中的每一個(gè)腰長(zhǎng)都能對(duì)應(yīng)唯一的周長(zhǎng)值，因此周長(zhǎng)y是腰長(zhǎng)x的函數(shù)。若要用腰長(zhǎng)表示周長(zhǎng)的關(guān)系式，應(yīng)知等腰梯形各邊長(zhǎng)，已知下底長(zhǎng)為2R，兩腰長(zhǎng)為2x，因此只需用已知量（半徑R）和腰長(zhǎng)x把上底表示出來(lái)，即可寫(xiě)出周長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式。 如上圖，AB=2R，C、D在O的半圓周上，設(shè)腰長(zhǎng)AD=BC=x，作DEAE，垂足為E，連結(jié)BD，那么ADB是直角，由此RtADERtABD。 AD2=AE·AB，即AE=。 CD=AB2AE=2R。 周長(zhǎng)y滿足關(guān)系式 y=2R+2x+（2R）=+2x+4R， 即周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=+2x+4R。 ABCD是圓內(nèi)接梯形，AD>0，AE>0，CD>0，即解不等式組，得函數(shù)y的定義域?yàn)閤|0<x<R。答案：函數(shù)關(guān)系式為y=，y的定義域?yàn)閤|0<x<R。點(diǎn)評(píng)：該題是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題過(guò)程是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，利用函數(shù)概念的內(nèi)涵，判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的最簡(jiǎn)單的情形。（答題時(shí)間：15分鐘）1. 下列四組中f（x），g（x）表示相等函數(shù)的是（）A. f（x）x，g（x）（）2B. f（x）x，g（x）C. f（x）1，g（x） D. f（x）x，g（x）|x|2. 下列函數(shù)中，定義域不是R的是（）A. ykxb B. yC. yx2c D. y3. 已知函數(shù)f（x）2x3，x1，2，3，則f（x）的值域?yàn)開(kāi)。4. 已知函數(shù)f（x）x2x1.（1）求f（2），f（），f（a）。（2）若f（x）5，求x.5. 下列式子中不能表示函數(shù)yf（x）的是（）A. xy21 B. y2x21C. x2y6 D. x1. B 解析：對(duì)于A、C，函數(shù)定義域不同；對(duì)D，兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同。2. B 解析：選項(xiàng)A、C都是整式函數(shù)，符合題意，選項(xiàng)D中，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立。3. 1，1，3 解析：當(dāng)x1時(shí)，f（1）2×131，當(dāng)x2時(shí)，f（2）2×231，當(dāng)x3時(shí)，f（3）2×333，f（x）的值域?yàn)?，1，3。4. 解：（1）f（2）22215，f（）1，f（a）a2a1.（2）f（x）x2x15，x2x60，x2或x3.5. A 解析：對(duì)于A，由xy21得y2x1.當(dāng)x5時(shí)，y±2，故y不是x的函數(shù)；對(duì)B，y2x21是二次函數(shù)；對(duì)C，x2y6yx3是一次函數(shù)；對(duì)D，由x得yx2（x0）是二次函數(shù)。故選A.函數(shù)的單調(diào)性性 質(zhì)圖 象定 義增函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮。如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)。減函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮。如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間。例題1 利用單調(diào)性定義證明：函數(shù)f（x）=在其定義域內(nèi)是增函數(shù)。思路導(dǎo)航：本題是利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)典型例子，由于函數(shù)的定義域沒(méi)有給出，證明前要先求出定義域，然后證明。答案：證明：證法一：函數(shù)f（x）=的定義域是x1，+），任取x1、x21，+）且x1x2，則f（x2）f（x1）=。x1、x21，+），且x1x2，+0，x2x10。f（x1）f（x2），即函數(shù)f（x）=在其定義域上是增函數(shù)。證法二：函數(shù)f（x）=的定義域是x1，+，任取x1、x21，+）且x1x2，則，x1、x21，+），且x1x2，0x11x21。01。1。f（x2）=0，f（x1）f（x2）。函數(shù)f（x）=在其定義域1，+）上是增函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的單調(diào)性是在某指定區(qū)間上而言的，自變量x的取值必須是連續(xù)的。用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是“取值作差（或作商）變形定號(hào)判斷”。當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間上恒正或恒負(fù)時(shí)，也常用“作商判1”的方法來(lái)解決，特別是函數(shù)中含有指數(shù)式時(shí)常用此法。解決帶根號(hào)的問(wèn)題，常用的方法就是將分子、分母有理化。從形式上看是由“”變成“+”。例題2 f（x）是定義在（ 0，）上的增函數(shù)，且f（）= f（x）f（y） （1）求f（1）的值。 （2）若f（6）= 1，解不等式 f（ x3 ）f（）2。思路導(dǎo)航：（1）利用賦值法，在等式中令x=y=1，則f（1）=0。（2）在等式中令x=36，y=6，則。故原不等式為：即fx（x3）f（36），又f（x）在（0，）上為增函數(shù)，故不等式等價(jià)于。答案：（1）0 （2）點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這種抽象函數(shù)問(wèn)題，常利用賦值法解題。例題3 作出函數(shù)f（x）=的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。思路導(dǎo)航：由于所給的函數(shù)是兩個(gè)被開(kāi)方數(shù)和的形式，而被開(kāi)方數(shù)恰能寫(xiě)成完全平方的形式，因此可先去掉根號(hào)，轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式，再作圖寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間。原函數(shù)可化為f（x）=|x+1|+|x1|=答案：函數(shù)的圖象如圖所示：所以函數(shù)的遞減區(qū)間是（，1，函數(shù)的遞增區(qū)間是1，+）。 點(diǎn)評(píng)：若所給的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，作出草圖，再根據(jù)函數(shù)的定義域和圖象的直觀性寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間。去絕對(duì)值的關(guān)鍵是令每一個(gè)絕對(duì)值等于0，找到分界點(diǎn)，再討論去絕對(duì)值。（答題時(shí)間：15分鐘）1. 設(shè)f（x）、g（x）都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題，其中正確的命題為（ ）若f（x）單調(diào)遞增，g（x）單調(diào)遞增，則f（x）g（x）單調(diào)遞增 若f（x）單調(diào)遞增，g（x）單調(diào)遞減，則f（x）g（x）單調(diào)遞增 若f（x）單調(diào)遞減，g（x）單調(diào)遞增，則f（x）g（x）單調(diào)遞減 若f（x）單調(diào)遞減，g（x）單調(diào)遞減，則f（x）g（x）單調(diào)遞減A. B. C. D. 2. 已知函數(shù)f（x）在2，3上單調(diào)，且f（2）·f（3）<0，則方程f（x）=0在2，3內(nèi)（ ）A. 至少有一實(shí)根 B. 至多有一實(shí)根 C. 沒(méi)有實(shí)根 D. 必有唯一實(shí)根3. 設(shè)函數(shù)f（x）是（，+）上的減函數(shù)，則（ ）A. f（a）>f（2a） B. f（a2）<f（a）C. f（a2+a）<f（a） D. f（a2+1）<f（a）4. f（x）是定義在R上的增函數(shù)，有下列函數(shù)：y=f（x）2是增函數(shù)；y=是減函數(shù)；y=f（x）是減函數(shù)；y=|f（x）|是增函數(shù)。其中錯(cuò)誤的結(jié)論是_。5. 已知函數(shù)f（x）=x2+mx在（，1）上遞減，在1，+上遞增，則f（x）在2，2上的值域?yàn)開(kāi)。6. 函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是_。7. 用定義證明y=x3+1在（，+）是遞減函數(shù)。8. 求函數(shù)y=2x1的最大值。1. C 解析：由函數(shù)單調(diào)性定義可得：正確，也可舉反例否定命題。2. D 解析：由于f（x）在2，3上單調(diào)，又f（2）·f（3）<0，y=f（x）在2，3上必與x軸有一交點(diǎn)，如下圖。故選D。3. D 解析：a2+1a=（a）2+>0， a2+1>a。 f（x）在（，+）上為減函數(shù)， f（a2+1）<f（a），選D。4. 解析：利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷。5. 1，8解析：由條件知：=1，m=2。 f（x）=x2+2x，ymin=1，ymax=f（2）=8。6. （，1）和（1，+）解析：解y=1+，可得單調(diào)遞減區(qū)間是（，1）和（1，+）。7. 證明：設(shè)x1<x2R，則x=x2x1>0， y=f（x2）f（x1）=（x23+1）（x13+1） =x13x23=（x1x2）（x12+x1x2+x22） =（x1x2）（x1+）2+x22。 x1x2=x<0， （x1+）20，x220且x1x2， （x1+）2+x22>0， y<0，即函數(shù)f（x）=x3+1在（，+）上是遞減函數(shù)。8. 解法一：令t=（t0），則x=，y=1t=t+=（t+1）2+6。 t0，y=（t+1）2+6在0，+上為減函數(shù)， 當(dāng)t=0時(shí)，y有最大值。解法二：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，）?2x1在（，）上遞增，在（，）上遞減， y=2x1在（，）上為增函數(shù)。當(dāng)x=時(shí)，y有最大值。函數(shù)的奇偶性性 質(zhì)定 義偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫偶函數(shù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；定義域中有零，則其圖象必過(guò)原點(diǎn)，即f（0）=0。如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫奇函數(shù)注意：在公共定義域內(nèi)，（1）奇函數(shù)與奇函數(shù)之積是偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)與偶函數(shù)之積是奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)與偶函數(shù)之積是偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)與奇函數(shù)的和（差）是奇函數(shù)；（5）偶函數(shù)與偶函數(shù)的和（差）是偶函數(shù)。例題1 已知f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。思路導(dǎo)航：利用函數(shù)奇偶性及圖象特征比較容易對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷，但是證明單調(diào)性必須用定義證明。答案：f（x）在（，0）上是增函數(shù)。證明如下：設(shè)x1<x2<0，x1>x2>0，f（x1）<f（x2）。由于f（x）是偶函數(shù)，因此f（x1）=f（x1），f（x2）=f（x2）。f（x1）<f（x2），即f（x）在（，0）上是增函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的奇偶性研究關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的問(wèn)題，需特別注意求解哪個(gè)區(qū)間的問(wèn)題，就設(shè)哪個(gè)區(qū)間的變量，然后利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)到已知區(qū)間上去，進(jìn)而利用已知去解決問(wèn)題。例題2 若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x（1x），求當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式。思路導(dǎo)航：將x0時(shí)f（x）的解析式轉(zhuǎn)化到x0的區(qū)間上，這是解決本題的關(guān)鍵。由于f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=f（x）=（x）1（x）=x（1+x）； 當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=f（0），即f（0）=0。當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x（1+x）。答案：當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x（1+x）點(diǎn)評(píng)：判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，應(yīng)對(duì)x在各個(gè)區(qū)間上分別討論，由x的取值范圍確定相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后要綜合得出在定義域內(nèi)總有f（x）=f（x）或f（x）=f（x），從而判定其奇偶性。例題3 設(shè)f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（，0）上遞增，且有f（2a2+a+1）f（3a22a+1），求a的取值范圍。思路導(dǎo)航：要求a的取值范圍，就要列關(guān)于a的不等式（組），因而利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)式”是關(guān)鍵。答案：由f（x）在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間（，0）上遞增知f（x）在（0，+）上遞減。2a2+a+1=2（a+）2+0，3a22a+1=3（a）2+0， 且f（2a22a+1）f（3a22a+1），2a2+a+13a22a+1， 即a23a0。 解得0a3。點(diǎn)評(píng)：該例題在求解過(guò)程中，要注意利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，一側(cè)遞增，一側(cè)遞減。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與構(gòu)成它的函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān)，其規(guī)律可列表如下：（1）若函數(shù)f（x）、g（x）、fg（x）的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，那么由u=g（x），y=f（u）的奇偶性得到y(tǒng)=fg（x）的奇偶性的規(guī)律如下：函數(shù)奇偶性u(píng)=g（x）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)y=f（u）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)y=fg（x）奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)即當(dāng)且僅當(dāng)u=g（x）和y=f（u）都是奇函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)y=fg（x）是奇函數(shù)。（2）若函數(shù)u=g（x）在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y=f（u）在g（a），g（b）或g（b），g（a）上也是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fg（x）在區(qū)間a，b上是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性規(guī)律如下：函數(shù)單調(diào)性u(píng)=g（x）增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)y=f（u）增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=fg（x）增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)即當(dāng)u=g（x），y=f（u）增減性相同時(shí)，y=fg（x）為增函數(shù)；增減性相反時(shí)，y=fg（x）為減函數(shù)。（答題時(shí)間：15分鐘）1. 下列命題中錯(cuò)誤的是（）圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)一定為奇函數(shù)奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)偶函數(shù)的圖象與y軸一定相交圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)一定為偶函數(shù)A. B. C. D. 2. 已知f（x）x7ax5bx5，且f（3）5，則f（3）（）A. 15 B. 15C. 10 D. 103. 已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間0，）單調(diào)遞增，則滿足f（2x1）<f的x取值范圍是（）A. B. C. D. 4. 若f（x）ax2bxc（a0）為偶函數(shù)，則g（x）ax3bx2cx的奇偶性為_(kāi)。5. 已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）g（x）x2x2，求f（x），g（x）的表達(dá)式。6. 函數(shù)f（x）是定義在（1，1）上的奇函數(shù)，且f，求函數(shù)f（x）的解析式。7. 定義在（1，1）上的奇函數(shù)f（x）是減函數(shù)，且f（1a）f（1a2）<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。1. D解析：f（x）為奇函數(shù)，其圖象不過(guò)原點(diǎn)，故錯(cuò)；y為偶函數(shù)，其圖象與y軸不相交，故錯(cuò)。2. A解析：解法1：f（3）（3）7a（3）5（3）b5（37a·353b5）10f（3）105，f（3）15.解法2：設(shè)g（x）x7ax5bx，則g（x）為奇函數(shù)，f（3）g（3）5g（3）55，g（3）10，f（3）g（3）515.3. A解析：由題意得|2x1|<，<2x1<<2x<，<x<，選A.4. 奇函數(shù)解析：由f（x）ax2bxc（a0）為偶函數(shù)得b0，因此g（x）ax3cx，g（x）g（x），g（x）是奇函數(shù)。5. f（x）x22，g（x）x.解析：f（x）g（x）x2x2，由f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)得，f（x）g（x）x2x2又f（x）g（x）x2x2，兩式聯(lián)立得：f（x）x22，g（x）x。6. f（x）。解析：因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)且定義域?yàn)椋?，1），所以f（0）0，即b0.又f，所以，所以a1，所以f（x）。7. a|0<a<1 解析：由f（1a）f（1a2）<0及f（x）為奇函數(shù)得，f（1a）<f（a21），f（x）在（1，1）上單調(diào)減，解得0<a<1.故a的取值范圍是a|0<a<1。