高等數學中極限思想在中學數學中的滲透.doc

本科生畢業(yè)論文題目：高等數學中極限思想在中學數學中的滲透 學生姓名：段錫朋 學 號：20121050225 專 業(yè)：數理基礎科學 指導教師：葛瑜 2016年4月27日目錄摘要2緒論42.2極限在拋物線上的應用6第三章極限在數列中的應用83.1極限在等比數列中的應用83.2洛必達法則在等比數列中的應用9第四章極限在不等式中的應用104.1極限比較不等式的大小114.2證明不等式12第五章極限在立體幾何中的應用135.1極限確定角度的大小13結論16致謝17參考文獻18摘要大學數學主要以極限為基礎，中學數學主要鍛煉人的形象思維，隨著中學數學課程的改革，在中學數學中滲透入大學數學的基礎內容已成為常態(tài)，因此，了解和應用一些簡單的大學數學中極限方法對于中學生來說是非常有必要的。極限思想是大學數學中比較重要的一種思想，它從數量上描述了變量在運動過程中的變化趨勢。極限思想不僅在高等數學中有廣泛的應用，而且在中等數學中的應用也十分廣泛，特別是在幾何，函數，數列求解，三角函數，不等式等方面也有著密切的聯(lián)系。因此，極限的方法在解決中學數學的部分問題時有著不可忽視的作用。對于有些較難的數學問題，通過對問題的極端狀態(tài)的討論和研究，運用極限思想求解，可以避開一些復雜的運算，優(yōu)化了解題的過程，降低了問題的難度，達到事半功倍的效果。關鍵字：大學數學，中等數學，極限，幾何，數列，函數，不等式。AbstractCollege mathematics is based on the limit while the main purpose of mathematics teaching in middle school is to cultivate students ability of imaginal thinking. With the reform of math course in middle school, it has become normal state to infiltrate basic components of college mathematics into math teaching in middle school. Thus, it is necessary for middle school students to learn the limit method. The limit cognition which describes the variation tendency of variables in movement, is an important thinking in college math study. It has been widely applied not only in advanced mathematics but only in mathematical teaching in middle school, especially in geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation. That is to say, limit method is assignable in solving some problems of middle school mathematics. It is effective. Through the discussion and study of the extreme condition, the application of the limit cognition in solving intricate mathematical problems can simplify and optimize the concrete operations, ease the difficulty level and get twofold results with half the effort.key: College mathematics，limit，geometry, function, sequence calculation, trigonometric function and inequation緒論 極限思想是近代數學發(fā)展中的一種比較重要的思想。所謂的極限思想就是指用極限的概念分析問題和解決問題的一種重要的數學思想。極限思想的核心就是極限，極限簡單點來說就是永遠接近的意思。極限思想解決問題的一般步驟分為：確定問題的未知量，再構造一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最后用極限計算來得到這結果。隨著中學課程的改革，中高考中逐漸加強對極限思想的考查，通過一些創(chuàng)新題，讓學生感受其中蘊含的極限思想。所以這就對學生的要求越來越高，需要對大學數學中的極限初步掌握。在解決數學問題的過程中，有些題目雖然和極限無關，但若運用變化的觀點，靈活地用極限思想來思考，往往可以降低解題難度。 本課題就從大學數學中極限思想在解決中學數學中的幾類數學問題的應用進行了探究，用無限逼近的方式從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變。研究意義極限思想作為一種重要思想，在大學數學中乃至整個數學發(fā)展史中都占有重要的地位。極限思想在大學數學和中學數學中都有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關系。用極限思想解決問題，往往能突破思維上的禁錮，化繁為簡。 本課題解決的主要問題本文主要對大學數中的學極限思想在中學數學中函數、數列、立體幾何、不等式中的應用進行分析，然后具體比較大學數學中的極限思想的解法和中學數學中的不同，進而體現(xiàn)出極限思想的優(yōu)點。極限的定義極限是高等數學中比較重要的一個模塊，內容涉及到了函數，數列，導數，定積分等多個領域，學習和掌握難度較大。而由于極限在中學中的滲透，且應用相對于高等數學來說，難度較小。所以，對于中學生來說，掌握一些簡單的極限以及極限的應用是十分必要的。極限在中學中的滲透主要體現(xiàn)于函數極限和數列極限。下面就介紹函數極限的定義和數列極限的定義及其極限之間的簡單運算。函數極限的定義：設y=f(x)是一個函數，A是一個常數，x0 是一個點，f(x)在x0的一個去心鄰域內有定義。如果當x越來越接近x0時，函數值越來越接近常數A，則稱A為趨于x0的函數的極限。記為 limxx0fx=A或fxAxx0 數列極限的定義：設xn是一個數列，如果存在實數a，對于任意正數(不論多么小)，總存在正整數N，使得當n>N時，均有不等式xn-a|<成立，那么稱常數a是數列xn的極限，記作 limnxn=a或xna（n）極限的四則運算數列極限的四則運算法則：若an和bn為收斂數列，則an+bn，an-bn，an·bn也都是收斂數列，且有l(wèi)imnan±bn=limnan±limnbnlimn（an·bn）=limnan·limnbn第二章極限思想在函數中的應用2.2極限在拋物線上的應用例1. 拋物線y=2x2與過焦點F的直線m交于兩點P、Q，F(xiàn)分線段PQ為兩個線段，其長分別為p,q則1p+1q等于（ ）A,4 B,14 C,8 D,2圖一解：（1）中學數學解法：由題意可得拋物線的焦點F（0，18）由直線的參數方程可得過點F的直線m的參數方程為x=tcos y=18+tsin （1） y=2x2 (2)聯(lián)立方程（1）和（2）并消去x和y得2cos2t2-tsin-18=0 （3）韋達定理：一個一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1和x2，則x1+x2=-ba ,x1 x2=ca根據韋達定理得方程的兩個根t1t2的關系為t1+t2=sin2cos2 t1t2=-116cos21p+1q=p+qpq=|t1+t2|t1t2=18（2）極限的解法：因為F是拋物線的焦點，所以可以得出F的坐標為F（0,18）因為直線m是經過點F任意運動的。所以利用極限的思想，我們可以讓P點運動到頂點O點，此時點Q就是運動到無窮遠點所以可以得到q，即1q0于是1p+1q=118+0=8.即答案為C解析：本題是探究拋物線的不動點問題，中學數學的解法是探求p，q之間的關系，中間還應用到了參數方程和韋達定理，其過程比較繁瑣，計算比較復雜，不適合于解答選擇題。而利用大學數學中極限的解法，只要能認識到動點的極限狀態(tài)，借助于極限的思想就會使問題變得簡單：將線段PQ繞點F運動到無窮遠處，因為PF=OF=p=18，QF=q，所以很快就可以得到1p+1q。極限的這種解法充分的體現(xiàn)了思維的靈活性和敏捷性。第三章極限在數列中的應用在大學數學中我們就學過了數列極限的四則運算法則，在中學階段主要學習最基礎的等差數列和等比數列。而在中學的解題過程中同意可以運用極限的思想來解決部分問題。 下面看一下極限在數列中的應用3.1極限在等比數列中的應用例.已知數列an，其中cn=2n+3n,且數列cn+1-p·cn為等比數列，求常數P解：設數列cn+1-p·cn的公比為q，則q=cn+2-p·cn+1cn+1-p·cn=2n+2+3n+2-p·（2n+1+3n+1）2n+1+3n+1-p·（2n+3n）=2n+12-p+3n+1(3-p)2n2-p+3n(3-p) =223n2-p+3(3-p)23n2-p+(3-p)（1） 對上式兩邊求極限當p=3時，q=limn2=2當p3時，q=limn0+3(3-p)0+(3-p)此時cn+2-p·cn+1=3（cn+1-p·cn）即2n+2+3n+2-p·2n+1+3n+1 =3（2n+1+3n+1）-3p·（2n+3n）整理得2n+2-p2n+1=3·2n+1-3p·2n即 4-2p=6-3p所以p=2或p=3解析：此題采用中學數學中的解法：根據等比數列的定義用后一項和前一項之比來表示公比q，經過運算后發(fā)現(xiàn)根據中學數學的常規(guī)計算很難得到公比q，而（1）式正好是大學數學中極限的簡單運算，采用極限的運算很快得出公比q的值。這道題是中學數學解法與極限相輔相成的體現(xiàn)。并不能用兩種方法單獨解答，但是也很好的體現(xiàn)了極限思想在中學數學中的滲透。3.2洛必達法則在等比數列中的應用例.limx1xm-1xn-1=_解：中學數學解法：已知一個公比為x的等比數列的前n項和為： Sn=1+x+x2+xn =1-xn+11-x所以xn+1-1=（1-x）（1+x+x2+xn）所以xn-1=（1-x）（1+x+x2+xn-1）limx1xm-1xn-1=limx1（1-x）（1+x+x2+xm-1）（1-x）（1+x+x2+xn-1） =limx11+x+x2+xm-11+x+x2+xn-1 =mn用極限的思想的解法：洛必達法則是用于無窮比無窮或0/0型，分子分母同時求導，可以多次求導，在求導過程中不斷尋找等價的無窮小，或削去無窮因子。此題符合洛必達法則。limx1xm-1xn-1=limx1（xm-1）'（xn-1）'=limx1mxm-1nxn-1=mn解析：觀察題目的分子分母可知分子分母符合等比數列的前項和公式，再通過極限的計算得出結果。而采用大學數學的極限的方法，我們可以看出整個式子符合運用洛必達法則的條件，所以通過洛必達法則對分子和分母同時求導就可以得出結果。此題是一道填空題，我們通過解答可以看出極限思想的優(yōu)越性。中學數學解法過程比較繁瑣和耗時，而極限的解法簡單省時，甚至可以達到秒殺的效果，應當掌握第四章極限在不等式中的應用不等式是中學數學中一個重要的模塊，在大學數學中不等式的應用十分廣泛，例如極限的證明，夾逼法則的應用等等。而極限同樣也在不等式中有著十分廣泛的應用。4.1極限比較不等式的大小例：已知 p>0，q>0，pq，比較13p+q，313（p3+q3），613（p6+q6）的大小。解：中學數學的解法：采用賦值法，已知p>0，q>0，pq假設p=3，q=6則13p+q=3313（p3+q3）=33613（p6+q6）=3395所以可得13p+q<313（p3+q3）<613（p6+q6）極限的解法：當 p0時，13p+q13q，313（p3+q3）q33， 613（p6+q6）q63由13q<q33<q63 得13p+q<313（p3+q3）<613（p6+q6）解析:中學數學的解法在比較不等式時最先想到的是賦值法，而本題采用賦值法的難點是p，q賦值的大小。我們看到根號里的分母是3，后兩個式子又分別開3次冪和6次冪，這就時比較大小變得不容易，所以我們必須使p,q的值假設為3的倍數，為了減小計算量，設p=3，q=6，通過計算就可以比較出不等式的大小。采用極限的解法，假設其中的一個值 p0，把不等式轉化成與q有關的值，求出不等式的極限值就可以直接比較大小。賦值法在一般情況下簡單實用，但是比較考察賦值的把握能力。本題采用極限法只是應用了極限的簡單思想和進行了簡單的計算，值得掌握。4.2證明不等式設n為自然數，求證：19+125+1（2n+1）2<14解：用數學歸納法當 n=1時，不等式顯然成立。設n=k(k1)時，不等式成立，即19+125+1（2n+1）2<14 （1）那么，當n=k+1時，19+125+1(2k+1)2+1(2k+3)2<14+1(2k+3)2由于14+1(2k+3)2>14所以，數學歸納法不可行之所以用數學歸納法思路行不通，其原因在于14是一個常數，從k 到(k+1)右邊常量不變，而左邊在增大，這樣，無法使用歸納假設。當聯(lián)想limnn4n+1=14，且當n=1時，n4(n+1)=18>19，可以將題目轉化為: 19+125+1（2n+1）2<n4(n+1) （2）證明：當n=1時，n4(n+1)=18>19，不等式（2）成立，設n=k(k1)時，不等式（2）成立，即19+125+1（2n+1）2<n4(n+1)那么，當n=k+1時，19+125+1(2k+1)2+1(2k+3)2<k4k+1+12k+32<14kk+1+12k+32<14kk+1+12k+22k+4=k+14（k+2）即當n=k+1時，不等式（2）成立即原式19+125+12n+12<n4n+1<14解析：中學數學的解法：采用數學歸納法，我們可以看出n=1時，不等式顯然成立，假設n=k時不等式也成立，如果再證明出n=k+1時，不等式成立，則假設的n=k就成立，那么就可以用數學歸納法證明出不等式成立，但此題在證明n=k+1時，使不等式的左邊的值增大了，所以就達不到證明不等式左邊小于右邊的效果。極限的方法使不等式的右邊的常數值轉化成了一個等價的變量，使在證明n=k+1時，不等式左右兩邊的值同時增大，通過比較不等式的大小就證明出了n=k+1時不等式成立，繼而得出假設的n=k時的不等式也同樣成立，所以不等式就成立了。此題如果一味的采用數學歸納法是證明不出不等式成立的，而引入極限的思想，用極限值來構造新的不等式就可以證明出了不等式成立，本題中引入的極限可以說是達到了一個四兩撥千斤的效果，作用非常大，這也正是極限的思想在中學數學中的滲透的一個體現(xiàn)。第五章極限在立體幾何中的應用5.1極限確定角度的大小立體幾何作為中學數學中一個重要的模塊，往往因為抽象而讓學生感覺學習難度較大。極限思想也成為了解決這類問題重要的一種方法。例。正三棱錐相鄰兩個側面所成的角為，則的取值范圍是（）A（0，） B.(0,/3) C.( /3,/2) D.( /3,)解：利用中學數學的解法：首先作SO底面ABC于O點。因為SABC為正三棱錐，所以ABC為正三角形，O點為ABC的中心。作ADSC于D點，連接BD，則BDSC所以ADB為相鄰的兩個側面ASC-B的二面角ADB=設AB=AC=BC=m,SCB=所以AD=BD=msin由余弦定理可得cos=AD2+BD2-AB22AD·BD=1-12sin2所以的余弦值與的值有關。再由余弦定理得cosBOC=BO2+CO2-BC22BO·1-222cosBSC=22-22BS·SC1-222因為BO<所以cosBOC< cosBSC因為BC23并且余弦函數在0，上是減函數。所以BSC<23在中，由三角形的內角和定理2BSC所以>3所以3<<2即-1<cos1-12sin2<12即3<<所以答案為利用極限的思想求解如圖所示，O為正三角形ABC的中心，SO為正三棱錐S-ABC的高，把O看作定點,S看作動點，當0OS時，兩相鄰側面趨向于一個平面，此時相鄰兩側面的夾角；當OS時，正三棱錐無限趨向正三棱柱，兩相鄰側面的夾角愈來愈小，趨向于底面三角形ABC的一個內角，即/3 所以（/3,），答案即為D解析：中學數學的解法：首先構造出相鄰兩個側面的二面角的平面角ADB，然后通過余弦定理來探求和之間的關系，由三角形的內角和定理確定的取值范圍，繼而確定出了的取值范圍，就可以得出答案，思路比較簡單明了，但是計算過程比較繁瑣。采用極限的解法:通過動點S的移動，把相鄰的兩個側面轉化為一個平面，把二面角的平面角轉化為三角形的內角，再根據動點的極限狀態(tài)求出極限值這是一道選擇題，采用中學數學的人解法步驟復雜，計算耗時較長，而采用極限的方法求解不僅簡單省時，而且有利于鍛煉學生的靈活性和創(chuàng)造性，此題充分體現(xiàn)了極限方法的優(yōu)越性。5.2極限在計算立體幾何面積中的應用例.設三棱柱ABC-DEF的體積為V，P、Q分別是側棱AD、CF上的點，且PA=QF，則四棱錐B-APQC的體積為（ ）A.V B.V C.V D.V結論 中學數學是大學數學的基礎，許多中學數學的內容都是大學數學的模型。大學數學正是在中學數學的基礎上發(fā)展起來的。所以說中學數學與大學數學之間存在著必然的聯(lián)系，許多在中學數學中無法解決的問題在大學數學中得以解決，這就要求中學生在中學學習階段必須掌握大學數學的一些基礎知識。本文通過站在大學數學的角度，運用大學數學的知識、方法和思想，從不同角度重新去審視，分析和解決中學數學的問題。大學四年的學習對我來說是一個知識的儲備過程。我在學習大學數學的同時，吸收了許多蘊含在數學知識中的數學思想，數學方法，正是這些數學思想和方法鍛煉了我的思維的條理性和連貫性，加強了邏輯思維在分析問題和解決問題的能力。通過對大學數學中的極限思想在中學數學中的滲透的研究，我發(fā)現(xiàn)大學數學極限思想能夠化繁為簡，具有較強的應用性，深受人們的喜愛。極限思想可以用在我們中學數學的方方面面。在解題過程中，它能化無限為有限，節(jié)省大量運算，提高解題速度和準確性。靈活巧妙、正確的運用數學極限思想能提高人們解題的正確率和策略意識，從而加深知識的理解和掌握。      對于中學生來說，能否熟練地應用和掌握極限的思想和方法就要看我們是否有去用它的意識，而且能否掌握其中的技巧，如果我們具備了就會使復雜問題簡化，解題更加方便、快捷，收到事半功倍的效果。根據問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是關鍵，而極限思想的靈活運用就成為減少運算量的一條重要途徑。致謝四年的讀書生活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。從開始進入課題到論文的順利完成，有多少可敬的師長、同學、朋友給了我許多的幫助，通過對本課題的研究，我自己學到了許多東西。在此，我特別感謝爸爸媽媽在我四年的學習生活中對我的關愛和支持。感謝朋友幫助我使用幾何畫板畫出數學圖形。感謝舍友在查找和研究資料時對我的幫助。感謝學校提供的學習環(huán)境。更非常感謝導師對我的課題的指導。參考文獻1.歐陽光中，朱學炎：數學分析，高等教育出版社1983年版2.劉來剛：圖解基礎數學手冊，吉林大學出版社2011年版3.李朝東：高中數學選修2-1，中國少年兒童出版社2009年版4孫翔峰：三維設計2015新課標高考總復習，光明日報出版社2015年版5章建躍：數學必修4，人民教育出版社2007年版6.李建華：數學必修5，人民教育出版社2007年版7王申懷：數學必修2，人民教育出版社2007年版