D9-5微積分學(xué)基本定理-計(jì)算.ppt

寄 語(yǔ),也不屬于有錢(qián)人,而是屬于有心人.,這個(gè)世界,不屬于有權(quán)人,第一節(jié)、定積分概念,第三節(jié)、可積條件,本章內(nèi)容：,第二節(jié)、牛頓-萊布尼茲公式,第四節(jié)、定積分的性質(zhì),第五節(jié)、微積分學(xué)基本定理-定積分計(jì)算,第九章,定積分,*第六節(jié)、可積性理論補(bǔ)敘,二、定積分的換元法,第五節(jié),一、變限積分與原函數(shù)的存在性,微積分學(xué)基本定理,定積分計(jì)算（續(xù)）,三、定積分的分部積分法,四、泰勒公式的積分型余項(xiàng),一、變限函數(shù)與原函數(shù)的存在性,定理1.,（2）,（1）,證明：,（1）,則有,(2),證畢.,定理1. (2),原函數(shù)的存在性定理,牛頓 萊布尼茲公式再證,證明:,根據(jù)定理 1,故,定理2.,函數(shù) ,則,證明:,得,證畢.,微積分學(xué)基本定理,微積分學(xué)基本公式,小 結(jié),牛頓 萊布尼茲公式,原函數(shù)存在定理,問(wèn)題1,問(wèn)題2,的原函數(shù)如何表示？,兩函數(shù),說(shuō)明:,1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,2) 變限積分求導(dǎo):,例1. 求,解:,原式,例2.,確定常數(shù) a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3(1),(2),(3) 設(shè)函數(shù),是由方程,所確定求,解：方程兩邊同時(shí)對(duì),求導(dǎo)得：,例4 已知,解,例5.,證明,在,內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) .,證:,只要證,定理2. （積分第二中值定理）,設(shè)函數(shù),1）,若函數(shù),在 上可積，,在 上單調(diào)減，且,則存在,使,2）,若函數(shù),在 上單調(diào)增，且,則存在,使,證略！,推論.,設(shè)函數(shù),若函數(shù),在 上可積，,在 上單調(diào)，,則存在,使,證明：,不妨設(shè)函數(shù),在 上單調(diào)減，令,則h為非負(fù)、遞減函數(shù)，由定理2-1）知，存在,使,即,整理即得。,二、定積分的換元法,定理3. 設(shè)函數(shù),函數(shù),滿足:,1),2) 在,上,證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .,是,的原函數(shù) ,因此有,則,則,1) 當(dāng) < , 即區(qū)間換為,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意換元必?fù)Q限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .,3) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即,或配元,配元不換限,4）如果定理?xiàng)l件中只假設(shè),為可積函數(shù)，但還要求,是單調(diào)函數(shù)，則結(jié)論仍然成立。,說(shuō)明,例1. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,且,例2. 計(jì)算,解: 令,則, 原式 =,且,換元必?fù)Q限 不換元?jiǎng)t不換限,例3.計(jì)算,例4.,證:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,例5 計(jì)算下列定積分,解,解,三、定積分的分部積分法,定理4.,則,證:,例1. 計(jì)算,解:,原式 =,例2. 證明,證: 令,n 為偶數(shù),n 為奇數(shù),則,令,則,由此得遞推公式,于是,而,故所證結(jié)論成立 .,例3.計(jì)算,解：,第二項(xiàng)用換元積分法：令,則,一般：,1）佩亞諾(Peano)型 余項(xiàng),四、泰勒公式的積分型余項(xiàng),2）拉格朗日(Lagrange)型余項(xiàng),3）積分型余項(xiàng),階的連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,4）柯西(Cauchy)型余項(xiàng),階的連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,內(nèi)容小結(jié),基本積分法,換元積分法,分部積分法,換元必?fù)Q限 配元不換限 邊積邊代限,思考與練習(xí),1.,提示: 令,則,2. 設(shè),解法1,解法2,對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),思考:,若改題為,提示: 兩邊求導(dǎo), 得,得,3. 設(shè),求,解:,(分部積分),作業(yè),P229 3；4奇數(shù)題 ; 5； 6 ;7,備用題,1. 證明,證：,是以 為周期的函數(shù).,是以 為周期的周期函數(shù).,解：,2.,右端,試證,分部積分積分,再次分部積分,= 左端,