傅里葉變換性質證明.doc

 2.6 傅里葉變換的性質 2.6.1線性若信號和的傅里葉變換分別為和， 則對于任意的常數(shù)a和b，有 將其推廣，若,則其中為常數(shù)，n為正整數(shù)。由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質.顯然傅里葉變換也是一種線性運算，在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號乘以常數(shù)a，則信號的傅里葉變換也乘以相同的常數(shù)a，即疊加性表明，幾個信號之和的傅里葉變換等于各個信號的傅里葉變換之和     2.6.2 反褶與共軛性設f(t)的傅里葉變換為，下面我們來討論信號反褶、共軛以及既反褶又共軛后，新信號的傅里葉變換。（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里葉變換為         （2）共軛         （3）既反褶又共軛        本性質還可利用前兩條性質來證明：設g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，則           在上面三條性質的證明中，并沒有特別指明f(t)是實函數(shù)還是復函數(shù)，因此,無論f(t)為實信號還是復信號，其傅里葉變換都滿足下面三條性質  2.6.3 奇偶虛實性已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下，是復函數(shù)，因此可以把它表示成模與相位或者實部與虛部兩部分，即       根據(jù)定義，上式還可以寫成     下面根據(jù)f(t)的虛實性來討論F()的虛實性。(1) f(t)為實函數(shù)對比式(2-33)與(2-34)，由FT的唯一性可得（1.1）f(t)是實的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)X()的積分項是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時X()=0，于是可見，若f(t)是實偶函數(shù)，則F()也是實偶函數(shù)，即 左邊反褶，右邊共軛 （1.2）f(t)是實的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t)R()的積分項是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時R()=0，于是可見，若f(t)是實奇函數(shù)，則F()是虛奇函數(shù)，即左邊反褶，右邊共軛有了上面這兩條性質，下面我們來看看一般實信號（即可能既不是偶信號，又不是奇信號，反正不清楚，或者說是沒有必要關心信號的奇偶特性）的FT頻譜特點。 2.6.4對稱性傅里葉變換與傅里葉反變換之間存在著對稱關系，稱為傅里葉變換的對稱性質。若已知F()=Ff(t)則有 Ff(t)=2f(-)證明：因為 將變量t與互換，再將2乘過來，得上式右邊是傅里葉正變換定義式，被變換函數(shù)是F(t)所以FF(t)=2f(-)若f(t)為偶信號，即f(t)=f(-t)，則有FF(t)=2f()從上式可以看出，當f(t)為偶信號時，頻域和時域的對稱性完全成立即f(t)的頻譜是F()，F(xiàn)(t)的頻譜為f()。若f(t)為奇信號，即f(t)=-f(-t)，則有FF(t)=-2f()利用FT的對稱性，我們可以很方便地一些信號的傅里葉變換。下面我們舉些例子來說明這一點。           2.6.5 尺度變換若Ff(t)=F()，則這里a是非零的實常數(shù)。下面利用FT的定義及積分的性質，分a>0和a<0兩種情形來證明傅里葉變換的尺度變換特性。證明：因為令at=x，當a > 0時 當a < 0時 上述兩種情況可綜合成如下表達式：由上可見，若信號f(t)在時域上壓縮到原來的1/a倍，則其頻譜在頻域上將展寬a倍，同時其幅度減小到原來的1/a。尺度變換性質表明，在時域中信號的壓縮對應于頻域中信號頻帶的擴展，反之，信號的時域擴展對應于頻域的壓縮。對于a=-1的特殊情況，它說明信號在時域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。 對傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實例來說明，在錄音帶快放時，其放音速度比原磁帶的錄制速度要快，這就相當于信號在時間上受到了壓縮，于是其頻譜就擴展，因而聽起來就會感覺到聲音發(fā)尖，即頻率提高了。反之，當慢放時，放音的速度比原來速度要慢，聽起來就會感覺到聲音渾厚，即低頻比原來豐富了（頻域壓縮）。 2.6.6 時間平移(延時)下面進行證明證明：上式右邊的積分項為傅里葉變換定義式，于是可以得到 同理可以得到 2.6.7時域微分若Ff(t)=F()，則            證明：因為 ，兩邊對t求導，可得               所以同理，可以推出由上可見，在時域中f(t)對t取n階導數(shù)等效于在頻域中f(t)的頻譜F()乘以(j)n. 下面舉一個簡單的應用例子。若已知單位階躍信號u(t)的傅里葉變換，可利用此定理求出(t)的FT 2.6.8 頻域微分若Ff(t)=F()，則證明：因為 ，兩邊分別對求導，可得所以           2.6.9 時域積分                  可見，這與利用符號函數(shù)求得的結果一致。2.6.10 頻域積分若Ff(t)=F() ，則有2.6.11 時域卷積定理          2.6.12 頻域卷積定理與時域卷積定理類似， 證明方法同時域卷積定理，在這里不在重復，同學們可自己證明。由上可見，兩個時間函數(shù)頻譜的卷積等效于兩個時間函數(shù)的乘積?；蛘哒f，兩個時間函數(shù)乘積的頻譜等于各個函數(shù)頻譜乘積乘以1/2。顯然，時域與頻域卷積定理是對稱的，這是由傅里葉變換的對稱性決定的。 2.6.13 帕斯瓦爾定理前面我們在講信號分解時，提及帕斯瓦爾定理。下面我們來研究一下該定理在FT中的具體表現(xiàn)形式。若Ff(t)=F() ，則這就是帕斯瓦爾定理在傅里葉變換中體現(xiàn)，它表明了信號的能量在時域與頻域是守恒的。下面利用FT的定義和性質，推導信號能量的求解。        式中 是信號f(t)的總能量，為信號f(t)的能量譜密度。帕斯瓦爾定理表明，這個總能量既可以按每單位時間的能量|f(t)|2在整個時間內(nèi)積分計算出來，也可以按單位頻率內(nèi)的能量/2在整個頻率范圍內(nèi)積分來得到。此定理也可以如下證明。由相關性定理可得取t=0，即得帕斯瓦爾定理。