廈門大學(xué)《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》第10章多維標(biāo)度法

第十章 多維標(biāo)度法,第一節(jié) 引 言,第二節(jié) 古典多維標(biāo)度法(Classical MDS),第三節(jié) 權(quán)重多維標(biāo)度(WMDS),第四節(jié) 實(shí)例分析與計(jì)算實(shí)現(xiàn),第一節(jié) 引 言,在實(shí)際中我們會經(jīng)常遇到這些的問題，給你一組城市，你總能從地圖上測出任何一對城市之間的距離。但若給你若干城市的距離，你能否確定這些城市之間的相對位置呢？假定你知道只是哪兩個(gè)城市最近，哪兩個(gè)城市次近等等，你是否還能確定它們之間的相對位置呢？假定通過調(diào)查了解了10種飲料產(chǎn)品在消費(fèi)者心中的相似程度，你能否確定這些產(chǎn)品在消費(fèi)者心理空間中的相對位置呢？在實(shí)際中我們常常會遇到類似這樣的問題。 多維標(biāo)度法（Multidimensional Scaling）就是解決這類問題的一種方法，它是一種在低維空間展示“距離”數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的多元數(shù)據(jù)分析技術(shù)，簡稱MDS。 多維標(biāo)度法起源于心理測度學(xué)，用于理解人們判斷的相似性。Torgerson拓展了Richardson及Klingberg等人在三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多維標(biāo)度法，后經(jīng),Shepard和Kruskal等人進(jìn)一步加以發(fā)展完善。多維標(biāo)度法現(xiàn)在已經(jīng)成為一種廣泛用于心理學(xué)、市場調(diào)查、社會學(xué)、物理學(xué)、政治科學(xué)及生物學(xué)等領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析方法。 多維標(biāo)度法解決的問題是：當(dāng)n個(gè)對象（object）中各對對象之間的相似性（或距離）給定時(shí)，確定這些對象在低維空間中的表示（感知圖Perceptual Mapping），并使其盡可能與原先的相似性（或距離）“大體匹配”，使得由降維所引起的任何變形達(dá)到最小。多維空間中排列的每一個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)對象，因此點(diǎn)間的距離與對象間的相似性高度相關(guān)。也就是說，兩個(gè)相似的對象由多維空間中兩個(gè)距離相近的點(diǎn)表示，而兩個(gè)不相似的對象則由多維空間兩個(gè)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)表示。多維空間通常為二維或三維的歐氏空間，但也可以是非歐氏三維以上空間。,多維標(biāo)度法內(nèi)容豐富、方法較多。按相似性（距離）數(shù)據(jù)測量尺度的不同MDS可分為：度量MDS和非度量MDS。當(dāng)利用原始相似性（距離）的實(shí)際數(shù)值為間隔尺度和比率尺度時(shí)稱為度量MDS(metric MDS)，當(dāng)利用原始相似性（距離）的等級順序（即有序尺度）而非實(shí)際數(shù)值時(shí)稱為非度量MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距離）矩陣的個(gè)數(shù)和MDS模型的性質(zhì)MDS可分為：古典多維標(biāo)度CMDS（一個(gè)矩陣，無權(quán)重模型）、重復(fù)多維標(biāo)度Replicated MDS（幾個(gè)矩陣，無權(quán)重模型）、權(quán)重多維標(biāo)度WMDS（幾個(gè)矩陣，權(quán)重模型）。本章僅介紹常用的古典多維標(biāo)度法和權(quán)重多維標(biāo)度法。,第二節(jié) 古典多維標(biāo)度法 (Classical MDS),一 相似與距離的概念,二 古典多維標(biāo)度分析的思想及方法,三 度量MDS的古典解,四 非度量MDS的古典解(nonmetric MDS),首先我們提出這樣一個(gè)問題，表10.1是美國十城市之間的飛行距離，我們?nèi)绾卧谄矫孀鴺?biāo)上據(jù)此標(biāo)出這10城市之間的相對位置，使之盡可能接近表中的距離數(shù)據(jù)呢？,表10.1 美國10城市間的飛行距離,一、相似與距離的概念,在解決上述問題之前，我們首先明確與多維標(biāo)度法相關(guān)的數(shù)據(jù)概念。 1相似數(shù)據(jù)與不相似數(shù)據(jù) 相似數(shù)據(jù)：如果用較大的數(shù)據(jù)表示非常相似，用較小的數(shù)據(jù)表示非常不相似，則數(shù)據(jù)為相似數(shù)據(jù)。如用10表示兩種飲料非常相似，用1表示兩種飲料非常不相似。 不相似數(shù)據(jù)：如果用較大的數(shù)值表示非常不相似，較小的數(shù)值表示非常相似，則數(shù)據(jù)為不相似數(shù)據(jù)，也稱距離數(shù)據(jù)。如用10表示兩種飲料非常不相似，用1表示兩種飲料非常相似。 2距離陣 定義10.1 一個(gè)n n階的矩陣D=(dij ) n n ，如果滿足條件：,在進(jìn)行多維標(biāo)度分析時(shí)，如果數(shù)據(jù)是多個(gè)分析變量的原始數(shù)據(jù)，則要根據(jù)聚類分析中介紹的方法，計(jì)算分析對象間的相似測度；如果數(shù)據(jù)不是廣義距離陣，要通過一定的方法將其轉(zhuǎn)換成廣義距離陣才能進(jìn)行多維標(biāo)度分析。,二、古典多維標(biāo)度分析的思想及方 法,這里需要特別注意，并非所有的距離陣都存在一個(gè)r維的歐氏空間和n個(gè)點(diǎn)，使得n個(gè)點(diǎn)之間的距離等于D。因而，并不是所有的距離陣都是歐氏距離陣，還存在非歐氏距離陣。 當(dāng)距離陣為歐氏時(shí)，可求得一個(gè)D的構(gòu)圖X，當(dāng)距離陣不是歐氏時(shí)，只能求得D的擬合構(gòu)圖。在實(shí)際應(yīng)用中，即使D為歐氏，一般也只求r =2或3的低維擬合構(gòu)圖。 值得注意的是，由于多維標(biāo)度法求解的n個(gè)點(diǎn)僅僅要求它們的相對歐氏距離與D相近，也就是說，只與相對位置相近而與絕對位置無關(guān)，根據(jù)歐氏距離在正交變換和平移變換下的不變性，顯然所求得解并不唯一。,三、度量MDS的古典解,（4）根據(jù)（10.7）式計(jì)算 ，得到r維擬合構(gòu)圖（簡稱古典解）。 這里需要注意，如果i中有負(fù)值，表明D是非歐氏型的。 （一）已知距離矩陣的CMDS計(jì)算 以前述美國10城市間的飛行距離數(shù)據(jù)來說明古典度量多維標(biāo)度法的計(jì)算過程。 表10.1美國10城市間的飛行距離為比率測度。數(shù)值越大表明距離越遠(yuǎn)，數(shù)值越小表明距離越短，符合廣義距離陣的定義，又只涉及一個(gè)距離陣，因此為度量CMDS。 根據(jù)上述度量古典CMDS的計(jì)算方法，首先可求得內(nèi)積矩陣，結(jié)果見表10.2。,表10.2 美國10城市內(nèi)積矩陣,10個(gè)城市的坐標(biāo)分別為： （-718.759，142.9942），（-382.056，-340.84），（481.602，-25.285），（-161.466，572.77），（1203.738，390.100），（-1133.53，581.907），（1072.24，-519.024），（1420.603，112.589），（1341.723，-579.739），（-979.622，-335.473）。 計(jì)算結(jié)果表明，較大的特征值有兩個(gè)，說明在二維平面上表示10城市間的相對位置是合適的。由于有特征值小于零，表明距離陣不是歐氏型，其結(jié)果為擬合構(gòu)圖。在此，城市是“對象”，飛行里程是“相似性”。圖10.1給出了MDS反映美國10座城市相對位置的感知圖。圖中的10個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)代表一個(gè)城市，相近的點(diǎn)代表飛行距離短的城市，相距較遠(yuǎn)的點(diǎn)代表飛行距離遠(yuǎn)的城市。,圖10.1 10城市坐標(biāo)感知圖,相關(guān)系數(shù)的值越大，表示課程越相似，相關(guān)系數(shù)值越小，表明課程越不相似，顯而易見，相關(guān)系數(shù)矩陣為相似系數(shù)矩陣，記為C。,表10.3 6門課程相關(guān)系數(shù)陣,根據(jù)變換（10.8）式可得到距離陣D，見表10.4。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)（10.5）式得到內(nèi)積矩陣B，具體結(jié)果見表10.5。,表10.4 距離陣D,表10.5 內(nèi)積矩陣,從結(jié)果知距離陣D不是歐氏型，我們?nèi)=2，由（10.7）式求得D的古典解，結(jié)果如下： 圖10.2大體反映了這六門課程的基本結(jié)構(gòu)，從圖中可以直觀的看出，算術(shù)、代數(shù)、幾何較為相近，英語和蓋爾語較為相近，而歷史課程與其他課程的差異性較大。,圖10.2 六門課程的古典解感知圖,四、非度量MDS的古典解 (nonmetric MDS),在實(shí)際問題中，我們涉及更多的是不易量化的相似性測度，如兩種顏色的相似性，雖然我們可以用1表示顏色非常相似，10表示顏色非常不相似，但是這里的數(shù)字只表示顏色之間的相似或不相似程度，并不表示實(shí)際的數(shù)值大小，因而是定序尺度，這時(shí)是由兩兩顏色間的不相似數(shù)據(jù) ij形成“距離”矩陣。對于非度量的不相似性矩陣，我們?nèi)绾芜M(jìn)行多維標(biāo)度分析呢？假定有一個(gè)n個(gè)對象的不相似矩陣( ij)n n ，要尋找n個(gè)對象的一個(gè)r維擬合構(gòu)造點(diǎn)X。下面介紹Kruskal的非度量MDS分析方法。 為了尋找一個(gè)較好的擬合構(gòu)造點(diǎn)，我們可以從某一個(gè)擬合構(gòu)造點(diǎn)開始，即先將n個(gè)對象隨意放置在r維空間，形成一個(gè)感知圖，用Xi =(Xi 1，Xi 2，Xir) 表示i對象在r維空間的坐標(biāo)，對象i與j在r維空間的距離為 :,也就是說，S應(yīng)力是將（10.9）式中的dij和 用它們的平方代 表后所得到的量度。S應(yīng)力的值介于0和1之間。典型的情況是：此值小于0.1意味著感知圖是n個(gè)對象的一個(gè)好的幾何表示。 在非度量MDS分析過程中，另一個(gè)需要解決的問題是感知圖 空間維數(shù)r的確定。我們可以制作應(yīng)力-r圖確定感知圖的維數(shù) r 。從前述可知，對每一個(gè)r ，可以找到使應(yīng)力達(dá)到最小的點(diǎn) 結(jié)構(gòu)。隨著r的增加，最小應(yīng)力將在運(yùn)算誤差的范圍內(nèi)逐漸下 降，且當(dāng)r =n-1時(shí)達(dá)到零。從r 1開始，可將應(yīng)力S（ r ）對 r作圖。這些點(diǎn)隨r的增加而呈下降排列。若找到一個(gè)r ，上述 下降趨勢到這一點(diǎn)開始接近水平狀態(tài)，即形成一個(gè)“肘”形曲 線，這個(gè)r便是“最佳”維數(shù)。 非度量MDS雖然是基于非度量尺度數(shù)據(jù)的分析方法，但是，當(dāng)定量尺度的距離陣中的數(shù)據(jù)不可靠，而距離大小的順序可靠時(shí)，采用非度量MDS比度量MDS得到的結(jié)果更接近與實(shí)際。,第三節(jié) 權(quán)重多維標(biāo)度(WMDS),以上我們的討論都是以單個(gè)“距離”陣數(shù)據(jù)出發(fā)進(jìn)行的，但在實(shí)踐中，往往需要確定多個(gè)距離陣數(shù)據(jù)的感知圖，比如由10個(gè)人分別對5種飲料進(jìn)行兩兩相似評測，結(jié)果就會得到10個(gè)相似性矩陣，那么，我們?nèi)绾胃鶕?jù)這10個(gè)人的評測結(jié)構(gòu)得出5種飲料的相似性感知圖呢？顯然，按照古典多維的方法，我們只能是每一個(gè)相似性矩陣確定一個(gè)感知圖，10個(gè)人分別確定10個(gè)感知圖。但是，往往我們想要得到的是這10個(gè)人共同的一個(gè)感知圖而非10個(gè)。這一節(jié)將介紹由Carroll和Chang提出的解決這類問題的多維標(biāo)度方法權(quán)重多維標(biāo)度法（WMDS）?；A(chǔ)權(quán)重多維標(biāo)度法也稱權(quán)重個(gè)體差異歐氏距離模型。,第四節(jié) 實(shí)例分析與計(jì)算實(shí)現(xiàn),一 多維標(biāo)度法在SPSS中的實(shí)現(xiàn),二 利用SPSS對本章美國十城市的例子 進(jìn)行多維標(biāo)度,一、多維標(biāo)度法在SPSS中的實(shí)現(xiàn) 實(shí)例1,以SPSS自帶文件World95.sav為例，對亞洲國家和地區(qū)的17個(gè)國家的人口壽命情況進(jìn)行分析。 （一）操作步驟： 1. 在DataSelect case對話框的If過濾條件中輸入過濾條件 “region=3”。得到17個(gè)國家和地區(qū)。 2. 主菜單中選擇AnalyzeScaleMultidimensional Scaling (ALSCAL) 。就進(jìn)入多維標(biāo)度法的主對話框（圖10.3）。在左上方是變量列表選擇以下變量：urban（城市人口比例），lifeexpf（女性平均壽命），lifeexpm（男性平均壽命），gdp_cap（人均GDP），death_rt（千人死亡率），birth_rt（千人出生率），literacy（受教育人口比例）。由于原始數(shù)據(jù)不是距離陣，因此需要在下方Distances單選項(xiàng)中選擇Create distances from data，這時(shí)Measure子對話框被激活，默認(rèn)計(jì)算Euclidean distance，即歐氏距離。,圖10.3 多維標(biāo)度法的主對話框,3. 點(diǎn)擊進(jìn)入Measure子對話框，對距離陣進(jìn)行設(shè)定，（圖10.4）。由于我們的變量都是連續(xù)數(shù)值型的，所以應(yīng)在Measure單選項(xiàng)中選擇Interval。并在其下方的Transform Values欄中選擇變量標(biāo)準(zhǔn)化變換的方式，這里我們選擇Z scores和By variable，表示對變量進(jìn)行正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)化。然后在Create Distance Matrix單選項(xiàng)中選擇Between cases，表示計(jì)算樣品之間的距離陣。設(shè)置完畢后，點(diǎn)擊Continue回到主對話框。,圖10.4 Measure子對話框,4. 在主對話框中點(diǎn)擊進(jìn)入Model子對話框，如圖10.5。這里可以設(shè)定變量取值的類型。在Level of Measurement中選擇Interval，即連續(xù)取值的數(shù)值型變量。其他設(shè)置無需改變，點(diǎn)擊Continue返回主對話框。,圖10.5 Model子對話框,5. 點(diǎn)擊進(jìn)入Options子對話框（圖10.6），該對話框中提供了一些結(jié)果顯示的選擇。Display欄中默認(rèn)不輸出任何圖表。選擇Group plots項(xiàng)可得到多維標(biāo)度圖,這里圖表的維度由Model中的Dimensions中填入最小維度Minimum和最大維度Maximum決定；擇選Data matrix項(xiàng)可得到距離陣和擬合構(gòu)造點(diǎn)的坐標(biāo)；而Model and options summary是顯示出多維標(biāo)度法中的參數(shù)設(shè)置，計(jì)算方法等。這里我們選擇Group plots和Data matrix項(xiàng)后，點(diǎn)擊Continue返回主對話框，再點(diǎn)擊OK運(yùn)行。,圖10.6 Options子對話框,（二）結(jié)果分析： 1. 樣品驗(yàn)證表，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)樣品存在缺失值。查原始數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)Taiwan缺少千人死亡率，該樣品被去除。國家地區(qū)的編號如下（表10.6）。,表10.6 國家和地區(qū)的編號,2. SPSS會依次輸出原始距離陣（表10.7），古典解的迭代過程和有關(guān)壓力指標(biāo)值（表10.8），擬合構(gòu)造點(diǎn)在二維空間中的坐標(biāo)（表10.9），以及最優(yōu)標(biāo)度的距離陣（表10.10）。在表3中，Young氏壓力指標(biāo)值為0.02289，K壓力指標(biāo)為0.03880，都小于0.05。RSQ=0.99485。這些都說明模型擬合效果很好。,表10.7 原始距離陣（部分）,表10.8 壓力指標(biāo)檢驗(yàn),表10.9 擬合點(diǎn)的在2維標(biāo)度中的坐標(biāo)（部分）,3. 接下來是歐氏距離下的16個(gè)國家和地區(qū)的擬合構(gòu)造點(diǎn)的二維圖（圖10.7），從圖上可以看出比較發(fā)達(dá)的地區(qū)基本都在第三個(gè)象限，如香港，日本，新加坡。而中國和泰國，菲律賓等國較為接近。而線性擬合散點(diǎn)圖（圖10.8）從圖形上告訴我們采用歐氏距離來擬合原始數(shù)據(jù)的距離陣是非常合適的。,表10.10 最優(yōu)標(biāo)度的距離陣（部分）,圖10.7 擬合構(gòu)造點(diǎn)的二維坐標(biāo)圖,圖10.8 歐氏距離下的線性擬合散點(diǎn)圖,二、利用SPSS對本章美國十城市的例子進(jìn)行多維標(biāo)度,（一）操作步驟： 1. 打開文件之后，在主對話框的distances單選項(xiàng)中選擇Data are distances，此時(shí)shape對話框被激活（圖10.9），默認(rèn)距離形式為Square symmetric。 若原始數(shù)據(jù)的距離是對稱的，則只需要輸入三角陣即可，運(yùn)算中SPSS會自動(dòng)填充，如本例；Square asymmetric表示不對稱的距離陣；而Rectangular表示距離陣不是方陣，這時(shí)需要指定矩陣使用的行數(shù)Number of rows，該數(shù)值必需大于等于4。本例中選擇Square symmetric，點(diǎn)擊Continue返回主對話框。,圖10.9 shape子對話框,2. 在Options子對話框中選中Group plots，點(diǎn)擊Continue返回，再點(diǎn)擊OK運(yùn)行。 （二）結(jié)果分析： 1. 首先觀察壓力指標(biāo)（表10.11），Young氏指標(biāo)值為0.00291，K氏指標(biāo)值為0.00272，RSQ=0.99996，說明歐氏距離模型擬合效果很好。,表10.11 壓力指標(biāo)檢驗(yàn),2. 擬合點(diǎn)的坐標(biāo)（表10.12），二維坐標(biāo)圖（圖10.10）以及線性擬合散點(diǎn)圖（圖10.11）。從圖10.11可以看出采用歐氏距離的擬合標(biāo)度非常符合原始距離陣。各個(gè)城市之間的距離可以非常好地用圖10.10中的散點(diǎn)來表示。,圖10.10 歐氏距離模型下的二維散點(diǎn)圖,表10.12 擬合點(diǎn)坐標(biāo),圖10.11 擬合散點(diǎn)圖,本章結(jié)束,