古典概型與幾何概型.doc

概率(古典概型與幾何概型) 【教學(xué)目標(biāo)】1.了解隨機(jī)事件的含義，了解頻率與概率的區(qū)別2.理解古典概型，掌握其概率計(jì)算公式，會求一些隨機(jī)事件發(fā)生的概率3.了解幾何概型的意義及其概率的計(jì)算方法，會計(jì)算簡單幾何概型的概率【教學(xué)重點(diǎn)】對概率含義的正確理解及其在實(shí)際中的應(yīng)用；古典概型與幾何概型【教學(xué)難點(diǎn)】無限過渡到有限，實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為長度、面積、體積等的問題【知識點(diǎn)梳理】1.隨機(jī)事件（1）必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件叫做必然事件。（2）不可能事件：在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件（3）隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件。2.頻率與概率的關(guān)系概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值.3.概率的基本性質(zhì)（1）隨機(jī)事件A的概率：.（2）必然事件的概率為1.（3）不可能事件的概率為0.（4）如果事件A與事件B互斥，則.（5）如果事件A與事件B互為對立事件，那么，即.4.古典概型（1）特點(diǎn)：有限性，等可能性.（2）概率公式：.5.幾何概型（1）特點(diǎn)：無限性，等可能性.（2）概率公式：.古典概型題型一 隨機(jī)事件及概率例1某市地鐵全線共有四個(gè)車站，甲、乙兩個(gè)同時(shí)在地鐵第1號車站(首車站)乘車。假設(shè)每人自第2號車站開始，在每個(gè)車站下車是等可能的。約定用有序數(shù)對表示“甲在x號車站下車，乙在y號車站下車”。（1）用有序數(shù)對把甲、乙兩人下車的所有可能的結(jié)果列舉出來；（2）求甲、乙兩人同在第3號車站下車的概率；（3）求甲、乙兩人同在第4號車站下車的概率 變式1 同時(shí)擲兩顆骰子一次（1）“點(diǎn)數(shù)之和是13”是什么事件？其概率是多少？（2）“點(diǎn)數(shù)之和在213范圍之內(nèi)”是什么事件？其概率是多少？（3）“點(diǎn)數(shù)之和是7”是什么事件？其概率是多少？ 題型二 互斥事件與對立事件例題1：每一萬張有獎(jiǎng)明信片中，有一等獎(jiǎng)5張，二等獎(jiǎng)10張，三等獎(jiǎng)100張。某人買了1張，設(shè)事件A“這張明信片獲一等獎(jiǎng)”，事件B“這張明信片獲二等獎(jiǎng)”，事件C“這張明信片獲三等獎(jiǎng)”，事件D“這張明信片未獲獎(jiǎng)”，事件E“這張明信片獲獎(jiǎng)”，則在這些事件中1 與事件D互斥的有哪些事件？2 與事件D對立的有哪些事件？3 與事件A+B對立的有哪些事件？4 與事件互斥的有哪些事件？ 例題2：某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得一張獎(jiǎng)券，多購多得，每1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位。設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)。設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，求：1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)的概率。 變式2：對立事件求概率某醫(yī)院一天派出醫(yī)生下鄉(xiāng)醫(yī)療，派出醫(yī)生人數(shù)及其概率如下：醫(yī)生人數(shù)012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04求：派出醫(yī)生至多是2人的概率；派出醫(yī)生至少是2人的概率 變式：（2010湖北，理）投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是（ ）A. B. C. D. 題型三 簡單事件的古典概型例題3：無放回抽取、擲骰子、有放回抽取、排隊(duì)問題的古典概型袋中裝有6個(gè)形狀完全相同的小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)紅球，從袋中任意取出兩球，求下列事件的概率A：取出的兩球都是白球；B：取出的兩球一個(gè)是白球，另一個(gè)是紅球 變式3 同時(shí)拋擲兩枚骰子(1)求“點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率；(2)求“至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的概率 題型四 與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合的古典概型例題4 (2010福建卷)設(shè)平面向量，其中（1）請列出有序數(shù)組的所有可能結(jié)果；（2）記“使得成立的”為事件A，求事件A發(fā)生的概率 2(本題滿分12分)(08廣東文)某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？(3)已知y245，z245，求初三年級中女生比男生多的概率 3(本題滿分12分)某中學(xué)團(tuán)委組織了“弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，愛我中華”的知識競賽，從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，90,100后畫出如下部分頻率分布直方圖觀察圖形給出的信息，回答下列問題：(1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；(3)從成績是40,50)和90,100的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率 幾何概型題型一 與長度有關(guān)的幾何概型概率問題例題1：在區(qū)間1,3上任取一數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于等于1.5的概率（ ）A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75變式1：（2010湖南卷理）在區(qū)間-1,2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為 . 題型二 與面積有關(guān)的幾何概型概率問題例題2：如果所示，在一個(gè)邊長為的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、下底分別為與，高為。向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為 變式2：(2011福建卷)如圖11，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自ABE內(nèi)部的概率等于( )圖11A. B. C. D. 題型三 會面問題中的概率例3：兩人約定在20:00到21:00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去.如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20:00至21:00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見的概率.分析：兩人不論誰先到都要等40分鐘，即2/3小時(shí),設(shè)兩人到的時(shí)間分別為x、y,則當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|2/3時(shí)，兩人才能見面，因而此問題轉(zhuǎn)化為面積性幾何概型， 變式3：在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)之和小于的概率是 題型四 與體積有關(guān)的幾何概型概率問題例題4：在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌,今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。 變式4：（2011山東臨沂一中期末）已知正三棱錐的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得的概率是（ ）A. B. C. D. 【方法與技巧總結(jié)】1. 互斥事件與對立事件的關(guān)系：（1）對立一定互斥，互斥未必對立；（2）可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式P(A+B)=P(A)+P(B)來求，也可通過對立事件公式來求P(A).2.古典概型與幾何概型古典概型（1）特點(diǎn)：有限性，等可能性.（2）概率公式：.幾何概型（1）特點(diǎn)：無限性，等可能性.（2）概率公式：課堂練習(xí)一、選擇題1從12個(gè)同類產(chǎn)品中(其中有10個(gè)正品，2個(gè)次品)，任意抽取3個(gè)，下列事件是必然事件的是()A3個(gè)都是正品B至少有一個(gè)是次品C3個(gè)都是次品D至少有一個(gè)是正品2給出關(guān)于滿足AB的非空集合A、B的四個(gè)命題：若任取xA，則xB是必然事件；若任取xA，則xB是不可能事件；若任取xB，則xA是隨機(jī)事件；若任取xB，則xA是必然事件其中正確的是命題有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)34張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A. B. C. D.4(2011威海模擬)一個(gè)袋子里裝有編號為1,2，12的12個(gè)相同大小的小球，其中1到6號球是紅色球，其余為黑色球若從中任意摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號碼后再放回袋子里，然后再摸出一個(gè)球，記錄它的顏色和號碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個(gè)球的號碼是偶數(shù)的概率是()A. B. C. D.5(2010江蘇卷，理)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_6.同時(shí)擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為 ；點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為 。 7. 口袋里裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，這四個(gè)球除顏色外完全相同，四個(gè)人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個(gè)人摸到白球”的概率。9（2010湖南文數(shù)）在區(qū)間-1,2上隨即取一個(gè)數(shù)x，則x0,1的概率為 。 10取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是() A. B. C. D.11（2009遼寧卷文）ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點(diǎn)，在長方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為（A） （B） （C） （D） 12（2009榮成模擬）設(shè)-11,-11,求關(guān)于的方程有實(shí)根的概率.【課后作業(yè)】1、在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5，的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是()A. B. C. D.2、將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，則方程x2bxc0有實(shí)根的概率為()A. B. C. D.3、把一顆骰子投擲兩次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b，向量m(a，b)，n(1,2)，則向量m與向量n不共線的概率是()A. B. C. D.4、有兩個(gè)質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4.把兩個(gè)玩具各拋擲一次，斜向上的面所有數(shù)字之和能被5整除的概率為()A. B. C. D.5、若將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是_6、(09江蘇)現(xiàn)有5根竹稈，它們的長度(單位：m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為_7、我國已經(jīng)正式加入WTO，包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品將最多五年內(nèi)把關(guān)稅全部降低到世貿(mào)組織所要求的水平，其中有21%的進(jìn)口商品恰好5年關(guān)稅達(dá)到要求，18%的進(jìn)口商品恰好4年達(dá)到要求，其余的進(jìn)口商品將在3年或3年內(nèi)達(dá)到要求，求進(jìn)口汽車在不超過4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求的概率8（2009福建卷文）點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長度小于1的概率為 。9在長為10cm的線段AB上取一點(diǎn)G，并以AG為半徑作一個(gè)圓，求圓的面積介于36cm2 到64cm2 的概率10(2011西安模擬)如圖所示，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為() A. B. C. D無法計(jì)算11送報(bào)人每天早上6：30至7：30之間把劉師傅訂的報(bào)紙送到劉師傅家，若劉師傅離開家去上班的時(shí)間在7：00至8：00之間，問：劉師傅在離家前收到報(bào)紙的概率是多少？【參考答案】1、鞏固練習(xí)答案1.答案D解析在基本事件空間中，每一個(gè)事件中正品的個(gè)數(shù)可能是1,2,3，而不可能沒有2.答案C3.答案C解析從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，P.4、答案B解析據(jù)題意由于是有放回地抽取，故共有1212144種取法，其中兩次取到紅球且至少有一次號碼是偶數(shù)的情況共有663327種可能，故其概率為.5.答案解析設(shè)3只白球?yàn)锳，B，C,1只黑球?yàn)閐，則從中隨機(jī)摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為.6答案：； 7答案：把四人依次編號為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號1、2，把兩黑球也編上序號1、2，于是四個(gè)人按順序依次從袋內(nèi)摸出一個(gè)球的所有可能結(jié)果，可用樹形圖直觀地表示出來如下：白2白1黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白1白1白1白1黑1黑2甲乙丙丁白1白2黑1黑2黑1黑2黑2黑2黑1黑1白2白2白2白2黑1黑2甲乙丙丁黑1白1白2黑2白2黑2黑2黑2白2白1白1白2白2白1白1黑2甲乙丙丁黑2白1白2白2黑1黑1黑1白2黑1白1白1白2白2白1白1黑1甲乙丙丁從上面的樹形圖可以看出，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)為24，第二人摸到白球的結(jié)果有12種，記“第二個(gè)人摸到白球”為事件A，則。8【答案】 9【解析】把繩子4等分，當(dāng)剪斷點(diǎn)位于中間兩部分時(shí)，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P. 【答案】 C10【解析】長方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為2，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為【答案】B11【解析】由題意知方程有實(shí)根滿足條件：-11，-11， 0，作平面區(qū)域如圖.由圖知陰影面積為1，總的事件對應(yīng)面積為正方形的面積4，故概率為 .2、課后作業(yè)答案1、答案A解析從分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球中隨機(jī)取出2個(gè)小球的基本事件數(shù)分別為：123,134,145,156,235,246,257,347,358,459共10種不同情形；而其和為3或6的共3種情形，故取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是.2、答案A解析若方程有實(shí)根，則b24c0，當(dāng)有序?qū)崝?shù)對(b，c)的取值為(6,6)，(6,5)，(6,1)，(5,6)，(5,5)，(5,1)，(4,4)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)時(shí)方程有實(shí)根，共19種情況，而(b，c)等可能的取值共有36種情況，所以，方程有實(shí)根的概率為P.3、答案B解析若m與n共線，則2ab0，而(a，b)的可能性情況為6636個(gè)符合2ab的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三個(gè)故共線的概率是，從而不共線的概率是1.4、答案B解析“斜向上的所有數(shù)字之和能被5整除”，等價(jià)于：兩個(gè)底面數(shù)字之和能被5整除，而兩底數(shù)所有的情況有4416(種)，而兩底數(shù)和為5，包括(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4種情況，P.5、答案解析本題基本事件共66個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4的有3個(gè)事件為(1,3)、(2,2)、(3,1)，故P.6、答案0.2解析從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根竹竿共有C10種抽取方法，而抽取的兩根竹竿長度恰好相差0.3 m的種數(shù)為2，P0.2.7、解法一設(shè)“進(jìn)口汽車恰好4年關(guān)稅達(dá)到要求”為事件A，“不到4年達(dá)到要求”為事件B，則“進(jìn)口汽車不超過4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求”就是事件AB，顯然A與B是互斥事件，所以P(AB)P(A)P(B)0.18(10.210.18)0.79.解法二設(shè)“進(jìn)口汽車在不超過4年的時(shí)間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求”為事件M，則為“進(jìn)口汽車5年關(guān)稅達(dá)到要求”，所以P(M)1P()10.210.79.8【解析】如圖可設(shè),則,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長，則其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】 9【解析】圓的面積介于36cm2 到64cm2，則圓的半徑介于6cm 到8cm之間，所以【答案】10【解析】由幾何概型知，故S陰22. 【答案】 B11【解析】設(shè)“劉師傅在離家前收到報(bào)紙”為事件A，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以x和y分別表示報(bào)紙送到的時(shí)間和劉師傅離家的時(shí)間，則劉師傅能收到報(bào)紙的充要條件是xy，而（x,y）的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形，劉師傅在離家前收到報(bào)紙的可能結(jié)果為圖中的陰影部分.【答案】13