中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 方程(組)與不等式(組)第7講 一元二次方程及其應(yīng)用課件1.ppt

數(shù)學(xué) 第 7講 一元二次方程及其應(yīng)用 山西專用 一個未知數(shù) 1 定義 只含有 _， 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 _， 這樣的整式方程 叫做一元二次方程通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问剑?_， 其中 a、 b、 c分別叫做二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項 2 ax2 bx c 0 2 解法 (1) 直接開平方法：方程符合 x 2 m (m 0) 或 ( x m ) 2 n (n 0) 的形式； (2) 配方法： 二次項系數(shù)化為 1 ； 移項； 配方：方程兩邊都加上一次 項系數(shù)一半的平方； 原方程寫成 a (x h ) 2 k 的形式； 當(dāng) k 0 時 ， 直接開平方求解； (3) 公式法： 化為一般形式； 確定 a ， b ， c 的值； 求出 b 2 4a c 的值； 當(dāng) b 2 4ac 0 時 ， 將 a ， b ， c 的值代入得 x _ _ _ _ ； (4) 因式分解法： 將方程右邊化為 0 ； 將方程左邊進(jìn)行因式分解； 令 每個因式為零 ， 得兩個一元一次方程； 解這兩個一元一次方程 ， 得原 方程的兩個根 b b 2 4a c 2a 3 一元二次方程的根的判別式 對于一元二次方程 ax2 bx c 0(a0)， 其根的判別式為 b2 4ac(或記為 “ ” ) (1)b2 4ac 0方程有兩個 _的實數(shù)根； (2)b2 4ac 0方程有 _的實數(shù)根； (3)b2 4ac 0方程沒有實數(shù)根； (4)b2 4ac0方程有實數(shù)根 不相等 兩個相等 4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 若一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的兩根分別為 x 1 ， x 2 ， 則有 x 1 x 2 _ _ _ ， x 1 x 2 _ _ _ ba c a 5 一元二次方程的實際應(yīng)用常見類型及關(guān)系 (1) 增長率問題：設(shè) a 為原來量 ， m 為平均增長率 ， n 為增長次數(shù) ， b 為增長 后的量 ， 則 a(1 m) n b ；當(dāng) m 為平均下降率時 ， n 為下降次數(shù) ， b 為下降后 的量 ， 則有 a(1 m) n b. (2) 幾何圖形問題： 面積問題： S 長方形 ab(a ， b 分別表示長和寬 ) ； S 正方形 a 2 (a 表示邊長 ) ； S 圓 r 2 (r 表示圓的半徑 ) ； 體積問題： V 長方體 abh(a 、 b 、 h 分別表示長、寬、高 ) ； V 正方體 a 3 (a 表示邊長 ) ； V 圓錐 1 3 r 2 h ( r 表示底面圓的半徑 ， h 表示高 ) ； 其他幾何圖形問題：如線段 、 周長等 (3)面積問題常見類型： 如圖 ， 陰影部分面積為： S (a 2x)(b 2x)； 圖 如圖 ， ， 陰影部分的面積為： S (a x)(b x) A 命題點(diǎn) 1：一元二次方程的解法 1 (2015山西 5題 3分 )我們解一元二次方程 3x2 6x 0時 ， 可利用因式 分解法 ， 將此方程化為 3x(x 2) 0， 從而得兩個一元一次方程： 3x 0 或 x 2 0， 進(jìn)而得到原方程的解為 x1 0， x2 2， 這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué) 思想是 ( ) A 轉(zhuǎn)化思想 B 函數(shù)思想 C 數(shù)形結(jié)合思想 D 公理化思想 (導(dǎo)學(xué)號 02052083) 2 (2013山西 20題 7分 )解方程： (2x 1)2 x(3x 2) 7. 解：原方程可化為 4x2 4x 1 3x2 2x 7， x2 6x 8 0， (x 3)2 1， x 3 1， x1 2， x2 4 3 (2016山西 17題 7分 )解方程： 2(x 3)2 x2 9. (導(dǎo)學(xué)號 02052084) 解：原方程可化為 2(x 3)2 (x 3)(x 3)， 2(x 3)2 (x 3)(x 3) 0， (x 3)2(x 3) (x 3) 0， (x 3)(x 9) 0， x 3 0或 x 9 0， x1 3， x2 9 命題點(diǎn) 2：一元二次方程的實際應(yīng)用 1 (2014山西 22(2)題 5分 )某項綠化工程中有一塊長為 20米 ， 寬為 8米的 矩形空地 ， 計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地 ， 它們的面積之和為 56 米 2， 兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道 (如圖所示 )， 問人行 通道的寬度是多少米 ？ (導(dǎo)學(xué)號 02052085) 解：設(shè)人行通道的寬度是 y 米 根據(jù)題意 ， 得 ( 20 3y ) ( 8 2y ) 56 ， 解 得 y 1 2 ， y 2 26 3 ( 不合題意 ， 舍去 ) ， 答：人行通道的寬度是 2 米 2 (2012山西 24題 10分 )某山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃 ， 其進(jìn)價為每千克 40元 ， 按每千克 60元出售 ， 平均每天可售出 100千克 ， 后來經(jīng)過市場調(diào)查 發(fā)現(xiàn) ， 單價每降價 2元 ， 則平均每天的銷售量可增加 20千克 ， 若該專賣店 銷售這種核桃要想平均每天獲利 2240元 ， 請回答： (1)每千克核桃應(yīng)降價多少元 ？ (2)在平均每天獲利不變的情況下 ， 為盡可能讓利于顧客 ， 贏得市場 ， 該 店應(yīng)按原售價的幾折出售 ？ 解： ( 1) 設(shè)每千克核桃降價 x 元根據(jù)題意 ， 得 ( 60 x 40) (10 0 x 2 20) 2240 ， 化簡得 x 2 10 x 24 0 ， 解得 x 1 4 ， x 2 6 ， 答：每千克核桃 應(yīng)降價 4 元或 6 元； (2) 由 ( 1) 可知 ， 每千克核桃可降價 4 元或 6 元 ， 因為要盡可能多地讓利于 顧客 ， 所以每千克核桃應(yīng)降價 6 元 ， 此時：售價為 60 6 54( 元 ) ， 54 60 100% 90% ， 答：該店應(yīng)按原售價的九折出售 一元二次方程的解法 【例 1 】 解方程 ： (y 3 )(1 3y) 1 2y 2 . 解 ： (y 3)(1 3y) 1 2y 2 ， 化簡得 y 3y 2 3 9y 1 2y 2 ， 5y 2 8y 2 0 ， y 8 104 2 5 4 26 5 ， y 1 4 26 5 ， y 2 4 26 5 【 方法指導(dǎo) 】 一元二次方程有四種解法：因式分解法 、 直接開平方法 、 配方法和公式法 (1)若一元二次方程缺少常數(shù)項 ， 且方程的右邊為 0， 可考慮用因式分解 法求解； (2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次項 ， 可考慮用因式分解法或 直接開平方法求解； (3)若一元二次方程的二次項系數(shù)為 1， 且一次項的系數(shù)是偶數(shù)時或常數(shù) 項非常大時 ， 可考慮用配方法求解； (4)若用以上三種方法都不容易求解時 ， 可考慮用公式法求解 對應(yīng)訓(xùn)練 1 解方程： 3 ( x 5 ) 4x ( x 5 ) ( 導(dǎo)學(xué)號 02 0520 86 ) 解： 3 ( x 5 ) 4x ( x 5 ) 3 ( x 5 ) 4x ( x 5 ) 0 ( x 5 )( 3 4x ) 0 x 5 0 或 3 4x 0 x 5 ， x 2 3 4 2 解方程： ( 6a 15) 2 16( 3a 1) 2 . ( 導(dǎo)學(xué)號 02 0520 87) 解： ( 6a 15) 2 16( 3a 1) 2 ， ( 6a 15) 2 ( 12a 4) 2 ， 6a 15 ( 12a 4) ， 6a 15 12a 4 或 6a 15 12a 4 ， 6a 11 或 18a 19 ， a 1 11 6 ， a 2 19 18 一元二次方程的實際應(yīng)用 【 例 2】 (2015淮安 )水果店張阿姨以每斤 2元的價格購進(jìn)某種水果若干 斤 ， 然后以每斤 4元的價格出售 ， 每天可售出 100斤 ， 通過調(diào)查發(fā)現(xiàn) ， 這 種水果每斤的售價每降低 0.1元 ， 每天可多售出 20斤為保證每天至少售 出 260斤 ， 張阿姨決定降價銷售 (1)若將這種水果每斤的售價降低 x元 ， 則每天的銷售量是 _斤 (用 含 x的代數(shù)式表示 )； (2)銷售這種水果要想每天盈利 300元 ， 張阿姨需將每斤的售價降低多少 元？ 【 分析 】 (1)根據(jù)每降低 0.1元 ， 可多售出 20斤 ， 則每降低 x元 ， 可多售 出 200 x， 加上原來每天的銷量即可； (2)根據(jù)每斤利潤 銷量總利潤列 方程求解 100 200 x 解： ( 2 ) 根據(jù)題意得： ( 4 2 x )( 100 200 x ) 300 ， 解得： x 1 2 或 x 1 ， 每天至少售出 260 斤 ， 即 100 200 x 260 ， x 0. 8 ， x 1. 答：張阿姨需將每斤的售 價降低 1 元 【 方法指導(dǎo) 】 利用一元二次方程解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)題干 尋找等量關(guān)系 ， 從而建立方程；解方程時要注意檢驗方程的根是否符合 實際意義 對應(yīng)訓(xùn)練 1 某公司在 2014年的盈利額為 100萬元 ， 預(yù)計 2016年的盈利額將達(dá)到 121 萬元 若每年比上一年盈利額增長的百分率相同 ， 那么該公司在 2015年 的盈利額為 _萬元 110 2 ( 20 16 赤峰 ) 如圖 ， 一塊長 5 米、寬 4 米的地毯 ， 為了美觀設(shè)計了兩橫、 兩縱的配色條紋 ( 圖中陰影部分 ) ， 已知配色條紋的寬度相同 ， 所占面積是 整個地毯面積的 17 80 . (1) 求配色條紋的寬度； (2) 如果地毯配色條紋部分每平方米造價 200 元 ， 其余部分每平方米造價 100 元 ， 求地毯的總造價 ( 導(dǎo)學(xué)號 02 0520 88) 解： ( 1) 設(shè)條紋的寬度為 x 米 ， 由題意得： 2x 5 2x 4 4x 2 17 80 5 4 ， 解得： x 1 17 4 ( 不合題意舍去 ) ， x 2 1 4 . 答：配色條紋寬度為 1 4 米 (2) 條紋造價： 17 80 5 4 200 850( 元 ) ， 其余部分造價： (1 17 80 ) 4 5 100 1575 ( 元 ) ， 總造價為： 850 1575 2425( 元 ) ， 答：地毯的總造價為 2425 元 4.解一元二次方程 “ 失根 ” 現(xiàn)象 ) 試題 解方程： 3x( x 2) 5(x 2) 錯解 解： 3x (x 2) 5(x 2) ， 兩邊同時除以 (x 2) ， 得 3x 5 ， 解得 x 5 3 . 剖析 解方程 3x( x 2) 5(x 2) 時 ， 方程兩邊同時除以含 x 的代數(shù)式破 壞了方程的同解性 ， 遺失了一個根 x 2 . 正解 解： 3x(x 2) 5(x 2) 3x (x 2) 5(x 2) 0 (x 2)( 3x 5) 0 x 2 0 或 3x 5 0 ， x 1 2 ， x 2 5 3 3. 解一元二次方程 ) 試題 解方程： (3x 5) 2 5(3 x 5) 4 0. 審題視角 本題考查一元二次方程的解法 ， 先對方程進(jìn)行化簡 ， 再觀察 方程適合采用哪種方法進(jìn)行求解 規(guī)范答 題 解： (3x 5) 2 5(3 x 5) 4 0 ， (3x 5 1)(3x 5 4) 0 ， (3x 4)(3x 1) 0 ， 3x 4 0 或 3x 1 0 ， x 1 4 3 ， x 2 1 3 .