中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖象 第14講 函數(shù)的應(yīng)用課件`.ppt

第 14講 函數(shù)的應(yīng)用 浙江專用 1 函數(shù)的應(yīng)用主要涉及到經(jīng)濟(jì)決策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用 2 利用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題的一般步驟 (1)設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的變量； (2)建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系 ， 如：一次函數(shù) ， 二次函數(shù)或其他復(fù)合而成 的函數(shù)式； (3)確定自變量的取值范圍 ， 保證自變量具有實(shí)際意義； (4)利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題； (5)寫出答案 3 利用函數(shù)并與方程 (組 )、不等式 (組 )聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利 潤(rùn)、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問(wèn)題 1 構(gòu)建函數(shù)模型 函數(shù)的圖象與性質(zhì)是研究現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)重要手段 ， 對(duì)于函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題要認(rèn)真 分析 ， 構(gòu)建函數(shù)模型 ， 從而解決實(shí)際問(wèn)題 函數(shù)的圖象與性質(zhì)也是中考重點(diǎn)考查的 一個(gè)方面 2 實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)解析式的求法 設(shè) x為自變量 ， y為 x的函數(shù) ， 在求解析式時(shí) ， 一般與列方程解應(yīng)用題一樣先列出 關(guān)于 x， y的二元方程 ， 再用含 x的代數(shù)式表示 y.利用題中的不等關(guān)系 ， 或結(jié)合實(shí)際求 出自變量 x的取值范圍 3 三種題型 (1)選擇題 關(guān)鍵：讀懂函數(shù)圖象 ， 學(xué)會(huì)聯(lián)系實(shí)際； (2)綜合題 關(guān)鍵：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想； (3)求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的函數(shù)解析式 關(guān)鍵：以靜制動(dòng) 1 (2016孝感 )“ 科學(xué)用眼 ， 保護(hù)視力 ” 是青少年珍愛生命的具體表現(xiàn)科學(xué)證實(shí) ：近視眼鏡的度數(shù) y(度 )與鏡片焦距 x(m)成反比例如果 500度近視眼鏡片的焦距為 0.2 m， 則表示 y與 x函數(shù)關(guān)系的圖象大致是 ( ) B 2 (2016哈爾濱 )明君社區(qū)有一塊空地需要綠化 ， 某綠化組承擔(dān)了此項(xiàng)任務(wù) ， 綠化組工作一段時(shí)間后 ， 提高了工作效率該綠化組完成的綠化面積 S(單位： m2) 與工作時(shí)間 t(單位： h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示 ， 則該綠化組提高工作效率前每小 時(shí)完成的綠化面積是 ( ) A 300 m2 B 150 m2 C 330 m2 D 450 m2 B 3 ( 2016 沈陽(yáng) ) 在一條筆直的公路上有 A ， B ， C 三地 ， C 地位于 A ， B 兩地之間 ， 甲 ， 乙兩車分別從 A ， B 兩地出發(fā) ， 沿這條公路勻速行駛至 C 地 停止從甲車出發(fā)至甲車到達(dá) C 地的過(guò)程 ， 甲、乙兩車各自與 C 地的距離 y ( km ) 與甲車行駛時(shí)間 t( h ) 之間的函數(shù)關(guān)系如圖表示 ， 當(dāng)甲車出發(fā) _ h 時(shí) ， 兩車相 距 350 km . 3 2 4 (2016衢州 )某農(nóng)場(chǎng)擬建三間長(zhǎng)方形種牛飼養(yǎng)室 ， 飼養(yǎng)室的一面靠墻 (墻長(zhǎng) 50 m)， 中間用兩道墻隔開 (如圖 )已知計(jì)劃中的建筑材料可建墻的總長(zhǎng)度為 48 m， 則這三間長(zhǎng)方形種牛飼養(yǎng)室總占地面積的最大值為 _m2. 5 (2016臺(tái)州 )豎直上拋的小球離地高度是它運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二次函數(shù) ， 小軍相隔 1 秒依次豎直向上拋出兩個(gè)小球 ， 假設(shè)兩個(gè)小球離手時(shí)離地高度相同 ， 在各自拋出 后 1.1秒時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度 ， 第一個(gè)小球拋出后 t秒時(shí)在空中與第二個(gè)小球 的離地高度相同 ， 則 t _. 144 1.6 【例 1 】 ( 2016 綏化 ) 周末 ， 小芳騎自行車從家出發(fā)到野外郊游 ， 從家 出發(fā) 0.5 小時(shí)到達(dá)甲地 ， 游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地 ， 小芳離家 1 小時(shí) 20 分鐘后 ， 媽媽駕車沿相同路線前往乙地 ， 行駛 10 分鐘時(shí) ， 恰好經(jīng)過(guò)甲地 ， 如圖是她們距乙地的路程 y( km ) 與小芳離家時(shí)間 x( h ) 的函數(shù)圖象 (1) 小芳騎車的速度為 _ km / h ， H 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2) 小芳從家出發(fā)多少小時(shí)后被媽媽追上？此時(shí)距家的路程多遠(yuǎn)？ (3) 相遇后 ， 媽媽載上小芳和自行車同時(shí)到達(dá)乙地 ( 彼此交流時(shí)間忽略不 計(jì) ) ， 求小芳比預(yù)計(jì)時(shí)間早幾分鐘到達(dá)乙地？ 20 (32， 20) 解： ( 1 ) 由函數(shù)圖可以得出 ， 小芳家距離甲地的路程為 10 km ， 花費(fèi)時(shí)間為 0.5 h ， 故小芳騎車的速度為 10 0.5 20 ( km / h ) ， 由題意可得出 ， 點(diǎn) H 的縱坐標(biāo) 為 20 ， 橫坐標(biāo)為 4 3 1 6 3 2 ， 故點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 ( 3 2 ， 20 ) ； ( 2 ) 設(shè)直線 AB 的解析式為 y 1 k 1 x b 1 ， 將點(diǎn) A ( 0 ， 30 ) ， B ( 0.5 ， 20 ) 代入 得 y 1 20 x 30 ， AB CD ， 設(shè)直 線 CD 的解析式為 y 2 20 x b 2 ， 將 點(diǎn) C ( 1 ， 20 ) 代入得 b 2 40 ， 故 y 2 20 x 40 ， 設(shè)直線 EF 的解析式為 y 3 k 3 x b 3 ， 將點(diǎn) E ( 4 3 ， 30 ) ， H ( 3 2 ， 20 ) 代入得 k 3 60 ， b 3 1 10 ， y 3 60 x 1 10 ， 解方程組 y 60 x 1 10 ， y 20 x 40 ， 得 x 1.75 ， y 5 ， 點(diǎn) D 坐標(biāo)為 ( 1.75 ， 5 ) ， 30 5 25 ( km ) ， 所以小芳出發(fā) 1.75 小時(shí)后被媽媽追上 ， 此時(shí)距家 25 km ； (3) 將 y 0 代入直線 CD 的解析式有 20 x 40 0 ， 解得 x 2 ， 將 y 0 代入直線 EF 的解析式有 60 x 1 10 0 ， 解得 x 11 6 ， 2 11 6 1 6 ( h ) 10( 分鐘 ) ， 故小芳比預(yù)計(jì)時(shí)間早 10 分鐘到達(dá)乙地 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查 了一次函數(shù)的應(yīng)用 ， 解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意 ， 根據(jù)函數(shù)圖象所給的信息求出合適的函數(shù)解析式并求解 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2016齊齊哈爾 )有一科技小組進(jìn)行了機(jī)器人行走性能試驗(yàn) ， 在試驗(yàn)場(chǎng)地有 A ， B， C三點(diǎn)順次在同一筆直的賽道上 ， 甲、乙兩機(jī)器人分別從 A， B兩點(diǎn)同時(shí)同向 出發(fā) ， 歷時(shí) 7分鐘同時(shí)到達(dá) C點(diǎn) ， 乙機(jī)器人始終以 60米 /分的速度行走 ， 如圖是甲、 乙兩機(jī)器人之間的距離 y(米 )與它們的行走時(shí)間 x(分鐘 )之間的函數(shù)圖象 ， 請(qǐng)結(jié)合圖象 ， 回答下列問(wèn)題： (1)A， B兩點(diǎn)之間的距離是 _米 ， 甲機(jī)器人前 2分鐘的速度為 _米 /分； (2)若前 3分鐘甲機(jī)器人的速度不變 ， 求線段 EF所在直線的函數(shù)解析式； (3)若線段 FG x軸 ， 則此段時(shí)間 ， 甲機(jī)器人的速度為 _米 /分； (4)求 A， C兩點(diǎn)之間的距離； (5)直接寫出兩機(jī)器人出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間相距 28米 70 95 60 解： (1) 由圖象可知 ， A ， B 兩點(diǎn)之間的距離是 70 米 ， 甲機(jī)器人前 2 分鐘 的速度為 (70 60 2) 2 95 米 / 分； (2) 設(shè)線段 EF 所在直線的函數(shù)解析式為 y kx b ， 1 (95 60) 35 ， 點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 (3 ， 35 ) ， 則 2k b 0 ， 3k b 35 ， 解得 k 35 ， b 70 ， 線段 EF 所在直線的函數(shù)解析式為 y 35x 70 ； (3) 線段 FG x 軸 ， 甲、乙兩機(jī)器人的速度都是 60 米 / 分； ( 4 ) A ， C 兩點(diǎn)之間的距離為 70 60 7 490 米； ( 5 ) 設(shè)前 2 分鐘 ， 兩機(jī)器人出發(fā) x 分鐘相距 28 米 ， 由題意得 ， 60 x 70 95x 28 ， 解得 x 1.2 ；前 2 分鐘 3 分鐘 ， 兩機(jī)器人相距 28 米時(shí) ， 35x 70 28 ， 解得 x 2.8 ； 4 分鐘 7 分鐘 ， 兩機(jī)器人相距 28 米時(shí) ， 直線 GH 解析式為 y 35 3 x 245 3 ， 當(dāng) 35 3 x 245 3 28 時(shí) ， 解得 x 4.6. 答：兩機(jī)器人出發(fā) 1.2 分鐘 或 2.8 分鐘或 4.6 分鐘相距 28 米 【 例 2】 (2016連云港 )環(huán)保局對(duì)某企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè) ， 結(jié)果顯示：所排污 水中硫化物的濃度超標(biāo) ， 即硫化物的濃度超過(guò)最高允許的 1.0 mg/L.環(huán)保局要求該企 業(yè)立即整改 ， 在 15天以內(nèi) (含 15天 )排污達(dá)標(biāo)整改過(guò)程中 ， 所排污水中硫化物的濃 度 y(mg/L)與時(shí)間 x(天 )的變化規(guī)律如圖所示 ， 其中線段 AB表示前 3天的變化規(guī)律 ， 從 第 3天起 ， 所排污水中硫化物的濃度 y與時(shí)間 x成反比例關(guān)系 (1)求整改過(guò)程中硫化物的濃度 y與時(shí)間 x的函數(shù)表達(dá)式； (2)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度 ， 能否在 15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的 1.0 mg/L ？為什么？ 解： ( 1 ) 分情況討論： 當(dāng) 0 x 3 時(shí) ， 設(shè)線段 AB 對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為 y kx b ；把 A ( 0 ， 10 ) ， B ( 3 ， 4 ) 代入得 b 10 ， 3k b 4 ， 解得 k 2 ， b 10 ， y 2x 10 ； 當(dāng) x 3 時(shí) ， 設(shè) y m x ， 把 ( 3 ， 4 ) 代入得 m 3 4 12 ， y 12 x ；綜上所述 ， 當(dāng) 0 x 3 時(shí) ， y 2x 10 ；當(dāng) x 3 時(shí) ， y 12 x ； ( 2 ) 能；理由如下：令 y 12 x 1 ， 則 x 12 15 ， 故能在 15 天以內(nèi)不超過(guò) 最高允許的 1. 0 mg / L . 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (2016德州 )某中學(xué)組織學(xué)生到商場(chǎng)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng) ， 他們參與了某種品牌 運(yùn)動(dòng)鞋的銷售工作 ， 已知該運(yùn)動(dòng)鞋每雙的進(jìn)價(jià)為 120元 ， 為尋求合適的銷售價(jià)格進(jìn) 行了 4天的試銷 ， 試銷情況如表所示： (1)觀察表中數(shù)據(jù) ， x， y滿足什么函數(shù)關(guān)系？請(qǐng)求出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式； (2)若商場(chǎng)計(jì)劃每天的銷售利潤(rùn)為 3 000元 ， 則其單價(jià)應(yīng)定為多少元？ 第 1天 第 2天 第 3天 第 4天 售價(jià) x(元 /雙 ) 150 200 250 300 銷售量 y(雙 ) 40 30 24 20 解： ( 1 ) 由表中數(shù)據(jù)得： xy 6 000 ， y 6 000 x ， y 是 x 的反比例函數(shù) ， 故所求函數(shù)關(guān)系式為 y 6 000 x ； ( 2 ) 由題意得 ， ( x 120 ) y 3 000 ， 把 y 6 000 x 代入得 ( x 120 ) 6 000 x 3 000 ， 解得 x 240 ， 經(jīng)檢驗(yàn) ， x 240 是原方程的根 答：若商場(chǎng)計(jì)劃每天的銷售利潤(rùn)為 3 000 元 ， 則其單價(jià)應(yīng)定為 240 元 【 例 3】 (2016龍巖 )某網(wǎng)店嘗試用單價(jià)隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售一種商品 ， 利用 30天的時(shí)間銷售一種成本為 10元 /件的商品 ， 售后經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到此商品單價(jià)在 第 x天 (x為正整數(shù) )銷售的相關(guān)信息 ， 如表所示： (1)請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品單價(jià)為 25元 /件？ (2)求網(wǎng)店銷售該商品 30天里所獲利潤(rùn) y(元 )關(guān)于 x(天 )的函數(shù)關(guān)系式； (3)這 30天中第幾天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？ 解： (1) 分兩種情況： 當(dāng) 1 x 20 時(shí) ， 將 m 25 代入 m 20 1 2 x ， 解 得 x 10 ； 當(dāng) 21 x 30 時(shí) ， 25 10 420 x ， 解得 x 28 ， 經(jīng)檢驗(yàn) x 28 是 方程的解 ， x 28 ， 答：第 10 天或第 28 天時(shí)該商品為 25 元 / 件； (2) 分兩種情況： 當(dāng) 1 x 20 時(shí) ， y (m 10 )n (20 1 2 x 10 )(50 x) 1 2 x 2 15x 500 ， 當(dāng) 21 x 30 時(shí) ， y (10 420 x 10 )( 50 x) 21 000 x 420. 綜上所述 ， y 1 2 x 2 15x 500 （ 1 x 20 ） ， 21 000 x 420 （ 21 x 30 ） . ( 3 ) 當(dāng) 1 x 20 時(shí) ， y 1 2 x 2 15x 500 1 2 ( x 15 ) 2 1 225 2 ， a 1 2 0 ， 當(dāng) x 15 時(shí) ， y 最大值 1 125 2 ； 當(dāng) 21 x 30 時(shí) ， 由 y 21 000 x 420 ， 可知 y 隨 x 的增大而減小 當(dāng) x 21 時(shí) ， y 最大值 21 000 21 420 580 元 ， 580< 1 225 2 ， 第 15 天時(shí)獲得利潤(rùn)最大 ， 最大利潤(rùn)為 61 2.5 元 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí) ， 解題的 關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù) ， 利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 2016 麗水 ) 如圖 ， 地面 BD 上兩根等長(zhǎng)立柱 AB ， CD 之間懸掛一 根 近似成拋物線 y 1 10 x 2 4 5 x 3 的繩子 ( 1 ) 求繩子最低點(diǎn)離地面的距離； ( 2 ) 因?qū)嶋H需要 ， 在離 AB 為 3 米的位置處用一根立柱 MN 撐起繩子 ( 如圖 ) ， 使左邊拋物線 F 1 的最低點(diǎn)距 MN 為 1 米 ， 離地面 1.8 米 ， 求 MN 的長(zhǎng)； ( 3 ) 將立柱 MN 的長(zhǎng)度提升為 3 米 ， 通過(guò)調(diào)整 MN 的位置 ， 使拋物線 F 2 對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為 1 4 ， 設(shè) MN 離 AB 的距離為 m ， 拋 物線 F 2 的頂點(diǎn) 離地面距離為 k ， 當(dāng) 2 k 2.5 時(shí) ， 求 m 的取值范圍 解： ( 1 ) a 1 10 0 ， 拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn) ， y 1 10 x 2 4 5 x 3 1 10 ( x 4 ) 2 7 5 ， 繩子最低點(diǎn)離地面的距離為 7 5 m ； ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 ， BD 8 ， 令 x 0 得 y 3 ， A ( 0 ， 3 ) ， C ( 8 ， 3 ) ， 由題意 可得 ， 拋物線 F 1 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 2 ， 1.8 ) ， 設(shè) F 1 的解析式為： y a ( x 2 ) 2 1.8 ， 將 ( 0 ， 3 ) 代入得 4a 1.8 3 ， 解得 a 0.3 ， 拋物線 F 1 的解析式為 y 0.3 ( x 2 ) 2 1.8 ， 當(dāng) x 3 時(shí) ， y 0.3 1 1.8 2.1 ， MN 的長(zhǎng)度為 2. 1 m ； (3) MN DC 3 ， 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知拋物線 F 2 的頂點(diǎn)在 ND 的 垂直平分線上 ， 拋物線 F 2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1 2 m 4 ， k ) ， 拋物線 F 2 的 解析式 為 y 1 4 (x 1 2 m 4) 2 k ， 把 C(8 ， 3 ) 代入得 1 4 (8 1 2 m 4) 2 k 3 ， 解得 k 1 4 (4 1 2 m) 2 3 ， k 1 16 (m 8) 2 3 ， k 是關(guān)于 m 的二次函數(shù) ， 又 由已知 m 8 ， 在對(duì)稱軸的左側(cè) ， k 隨 m 的增大而增大 ， 當(dāng) k 2 時(shí) ， 1 16 (m 8) 2 3 2 ， 解得 m 1 4 ， m 2 12( 不符合題意 ， 舍去 ) ， 當(dāng) k 2.5 時(shí) ， 1 16 (m 8) 2 3 2.5 ， 解得 m 3 8 2 2 ， m 4 8 2 2 ( 不符合題意 ， 舍去 ) ， m 的取值范 圍是 4 m 8 2 2 . 試題 某游樂(lè)場(chǎng)投資 150萬(wàn)元引進(jìn)一項(xiàng)大型游樂(lè)設(shè)施若不計(jì)維修保養(yǎng)費(fèi)用 ， 預(yù) 計(jì)開放后每月可創(chuàng)收 33萬(wàn)元而該游樂(lè)場(chǎng)開放后 ， 從第 1個(gè)月到第 x個(gè)月的維修保養(yǎng) 費(fèi)用累計(jì)為 y(萬(wàn)元 )， 且 y ax2 bx.若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用稱為游樂(lè)場(chǎng) 的純收益 g(萬(wàn)元 )， g也是關(guān)于 x的二次函數(shù) (1)若維修保養(yǎng)費(fèi)用第 1個(gè)月為 2萬(wàn)元 ， 第 2個(gè)月為 4萬(wàn)元 ， 求 y關(guān)于 x的解析式； (2)求純收益 g關(guān)于 x的解析式； (3)問(wèn)設(shè)施開放幾個(gè)月后 ， 游樂(lè)場(chǎng)的純收益達(dá)到最大？幾個(gè)月后 ， 能收回投資？ 錯(cuò)解 解： (1) 由題意 ， 得 x 1 ， y 2 ； x 2 ， y 4 ， 代入 y ax 2 bx 中 ， 有 a b 2 ， 4a 2b 4 ， 解得 a 0 ， b 2 ， 故 y 2x ； (2) 純收益 g 33x 150 2x 31x 150 ； (3) 由 g 31x 150 可知 ， x 越大 ， g 越大 ， 則純收益無(wú)最大值；要收回成 本 ， 即 g 0 ， x 4 時(shí) ， g 26 0 ； x 5 時(shí) ， g 5 0 ， 5 個(gè)月后 ， 能收 回投資 剖析 這種解法沒(méi)有認(rèn)真讀題、審題 ， 忽略題中 “ 累計(jì) ” 二字 ， 誤以為 x 2 時(shí) ， y 4 ， 而應(yīng)該是 “ x 2 時(shí) ， y 2 4 6 ” ， 這個(gè)理解的失誤 ， 導(dǎo)致后 面的兩問(wèn)雖然思路正確 ， 但由于關(guān)系式出錯(cuò) ， (2)(3 ) 問(wèn)都錯(cuò)了在建立函數(shù)關(guān) 系解實(shí)際問(wèn)題時(shí) ， 要想建立正確的函數(shù)關(guān)系 ， 必須養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣 正解 ( 1 ) 由題意 ， 得 x 1 時(shí) ， y 2 ； x 2 時(shí) ， y 2 4 6 ， 代入 y ax 2 bx 中 ， 有 2 a b ， 6 4a 2b ， 解得 a 1 ， b 1 ， 故 y x 2 x ； ( 2 ) 純收益 g 33x 150 ( x 2 x ) x 2 32x 150 ； ( 3 ) g x 2 32x 150 ( x 16 ) 2 106 ， x 16 時(shí) ， g 有最大值 ， 即設(shè)施開放 16 個(gè)月后游樂(lè)場(chǎng)的 純收益最大 由二次函數(shù)的增減性可知 ， 當(dāng) 0 x 16 時(shí) ， g 隨 x 的增大而增大；又當(dāng) x 5 時(shí) ， g ( 5 16 ) 2 106 15 0 ；當(dāng) x 6 時(shí) ， g ( 6 16 ) 2 106 6 0 ， 所以 6 個(gè)月后 ， 能收回成本